四邊形知識點復(fù)習(xí)

1、第十九章 四邊形 知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖專題總結(jié)及應(yīng)用一、 知識性專題專題1 平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性質(zhì)【專題解讀】 圍繞平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性質(zhì)進(jìn)行命題.例1 下列說法錯誤的是 ( )A.平行四邊形的對角相等B.等腰梯形的對角線相等C.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形D.對角線互相垂直的四邊形是菱形分析 由平行四邊形、矩形、等腰梯形的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)A，B，C都是正確的.D不正確，對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，還可能是正方形或等腰梯形.答案：D【解題策略】對角線互相垂直的四邊形不一定對角線互相平分.例2 如圖19-125所示，在梯形ABCD中，

2、ABCD，E為BC的中點，設(shè)DEA的面積為，梯形ABCD的面積為，則與的關(guān)系為 .分析 由E為BC的中點，延長DE與AB的延長線交于點F，由CDAB，得，又因為所以CEDBEF，所以DE=EF，所以S菱形ABCD= SDAF.由等底等高的三角形面積相等，得= SAFE=，即或.答案：（或）【解題策略】根據(jù)三角形面積公式，當(dāng)同底三角形的高相等式相同時，可以考慮由底的關(guān)系確定三角形的面積之間的關(guān)系.例3如圖19-126所示，ABCD是正方形，G是BC上一點，于點E，于點F.（1）求證ABFDAE；（2）求證.分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明全等的條件.（2）由全等和，則問題可證.證明：（1）在正方

3、形ABCD中， . ，. 又ABFDAE（AAS）. （2）由（1）可知ABFDAE，即.專題2 平行四邊形（含特殊的平行四邊形）的判定與性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系【專題解讀】 圍繞平行四邊形（含特殊的平行四邊形）的判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用命題.例4 如圖19-127所示，將一張矩形紙片ABCD沿著GF折疊（F在BC邊上，不與B，C重合），使得C點落在矩形ABCD的內(nèi)部點E處，F(xiàn)H平分，則的度數(shù)a滿足 （ ）A.90°a180°B.a=90°C.0°a90°D.a隨關(guān)折痕位置的變化而變化分析 利用矩形的性質(zhì)和三角形全等的性質(zhì)解答本題.由GCFGEF得，又有

4、，所以所以.答案：B例5 如果菱形的一條對角線長是12，面積是30，那么這個菱形的另一條對角線長為 .分析 由于菱形的對角線互相垂直，所以菱形的面積可以用兩條對角線乘積的一半表示，故另一條對角線的長為（）.答案：5例6 如圖19-128所示，的周長為16，AC，BD相交于點O，交AD于點E，則的DCE周長為 （ ）A.4 B.6C.8 D.10分析 因為的周長為16，所以（），因為O為AC的中點，又因為于點O，所以，所以DCE的周長為（）.答案：C二、規(guī)律方法專題專題3 構(gòu)造中位線解決線段的倍分關(guān)系【專題解讀】 題目中涉及或2倍關(guān)系時，常?？紤]構(gòu)造中位線.例7 四邊形ABCD為平行四邊形，AC

5、，DE交AC的延長線于F點，交BE于E點.（1）求證（2）若求BE的長；（3）在（2）的條件下，求四邊形ABED的面積.證明：（1）如圖19-129所示，延長DC交BE于點M， BEAC，ABDC，四邊形ABMC是平行四邊形.C為DM的中點.BEAC，CF是DME的中位線，. 解：（2）由（1）得CF是DME的中位線，故. 又. 四邊形ABMC是平行四邊形，.又，在RtADC中，利用勾股定理得.（3）可將四邊形ABED的面積分為梯形ABMD和三角形DME兩部分. 在RtADC中利用勾股定理得.由CF為DME的中位線得.由四邊形ABMC是平行四邊形得.梯形ABMD的面積為.由和BEAC，得三角形

6、DME是直角三角形，其面積為，四邊形ABED的面積為.專題4 構(gòu)造平行四邊形解決線段相等、角相等的問題【專題解讀】 利用平行四邊形邊、角的性質(zhì)可以解決有關(guān)線段相等、角相等的問題.例8 如圖19-130所示，在中，是DC的中點，E是垂足，求證.分析 添加輔助線MN，交BE于F.N為AB中點，由已知條件證得.由三角形中位數(shù)性質(zhì)證得則，又由四邊形BCMN是菱形，證得，從而結(jié)論得證.證明：取AB的中點N，連接MN，MB.MN交EB于F. 因為四邊形ABCD是平行四邊形， 所以ABDC. 又M，N分別是DC，AB的中點， 所以DMAN，MCNB， 即四邊形ANMD和四邊形MNBC都是平行四邊形. 所以.

7、 因為N是AB中點，NFAE， 所以F是BE的中點. 又，所以， 因為MC=BC，所以是菱形， 所以，即.【解題策略】證明角的和、差、倍、分關(guān)系時，應(yīng)依據(jù)題目的背景經(jīng)觀察分析后適當(dāng)添加輔助線，把較大角分割成若干較小角，最終歸結(jié)到證明兩個角相等的途徑上以解決問題.本題添加輔助線MN，MB后，利用菱形對角線性質(zhì)及等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明有關(guān)角相等，從而解決問題.專題5 有關(guān)四邊形的性質(zhì)與判定的開放探索題【專題解讀】 這類題分為條件開放、結(jié)論開放、條件和結(jié)論雙開放三種類型.例9 如圖19-131所示，在中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，AC分別交BE，DF于點M，N.給出下列結(jié)論：ABMCDN

8、；SAMB SABC.其中正確的結(jié)論是 . （只填序號）分析 四邊形ABCD是平行四邊形，AB CD，又E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，DEBF，四邊表BEDF是平行四邊形，ABMCDN.正確.由可得又ADBC，又AMECNF，.由FNBM，F(xiàn)C=BF，得CN=MN，正確.SAMB SABC.不正確.FN為BMC的中位線，ABMCDN，則.正確.答案：專題6 動手操作題【專題解讀】 這類題的特點是根據(jù)給出的圖形，需要通過裁剪、平移、旋轉(zhuǎn)等方法才能得到題中要求的圖形和結(jié)論.例10 某市要在一塊塊形狀為平行四邊形ABCD的空地上建造一個四邊形花園，要求花園所占面積是面積的一半，并且四邊形花園的四個頂

9、點作為出入口，要求其分別在的四條邊上，請你設(shè)計兩種方案.方案（一）：如圖19-132（1）所示，兩個出入口E，F(xiàn)已確定，請在圖（1）上畫出符合要求的四邊形花園，并簡要說明畫法.方案（二）：如圖19-132（2）所示，一個出入口M已確定，請在圖（2）上畫出符合要求的梯形花園，并簡要說明畫法.解：方案（一） 畫法1：過F作FHAB，交AD于點H.在DC上作取一點G，連接則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形，如圖19-133（1）所示.畫法2：過F作FHAB，交AD于點H.過E作EGAD，交DC于點G，連接則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形，如圖19-133（2）所示.畫法3：在AD上取一點H，使.在

10、CD上任取一點G，連接EF,則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形，如圖19-133（3）所示.方案（二） 畫法：過M點作MPAB，交AD于點P.在AB上取一點Q，連接PQ.過M作MNPQ，交DC于點N，連接QM，PN，則四邊形QMNP就是所要畫的梯形，如圖19-133（4）所示.三、 思想方法專題專題7 轉(zhuǎn)化思想【專題解讀】 本章中轉(zhuǎn)化思想主要是將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形問題來處理.例11 如圖19-134所示，在梯形ABCD中，ABCD，將該梯形折疊，點A恰好與點D重合，BE為折痕，那么AD的長度為 .分析 BD是AB沿BE折疊得到的，.過點D作垂足為F.DCAB，.答案：30【解題策

11、略】在梯形中求線段的長，常作梯形的高為輔助線，使其轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，化整為零，化陌生為熟悉，這是處理梯形問題常見的轉(zhuǎn)化方法.專題8 方程思想【專題解讀】 本章主要體現(xiàn)在通過方程（組）、不等式（組）恒等變形等式代數(shù)方法解決有關(guān)圖形計算的問題.例12 已知兩個多邊形的內(nèi)角和為1440°，且兩多邊形的邊數(shù)之比為1：3，求它們的邊數(shù)分別是多少.分析 先設(shè)某一個多邊形的邊數(shù)為x，由多邊表的內(nèi)角和公式列出關(guān)于x的一元一次方程，求解即可.解：設(shè)其中邊數(shù)較少的多邊形邊數(shù)是x，則另一個多邊形邊數(shù)是3x， 由題意得，解得.答：它們的邊數(shù)分別為3和9.2011中考真題精選1. 如圖，在梯形ABCD中

12、，ADBC，AB=DC，過點D作DEBC，垂足為E，并延長DE至F，使EF=DE連接BF、CD、AC（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；（2）如果DE2=BECE，求證四邊形ABFC是矩形考點：等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：（1）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC=BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得ACBF，利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形；（2）利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對應(yīng)角相等，從而得到直角來證明有一個角是直角的平行四邊

13、形是矩形解答：證明：（1）連接BD，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC=BD，ACB=DBCDEBC，EF=DE，BD=BF，DBC=FBC，AC=BF，ACB=CBFACBF，四邊形ABFC是平行四邊形；（2）DE2=BECE ，DEB=DEC=90°，BDEDECBDC=BFC=90°，四邊形ABFC是矩形點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等及相似三角形的判定及性質(zhì)等，是一道集合了好幾個知識點的綜合題，但題目的難度不算大2. （2011四川廣安，23，8分）如圖5所示，在菱形ABCD中，ABC 60°，DEAC交BC的延長線于點E求證：DEBE圖5考點

14、：菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，線段的倍分關(guān)系專題：四邊形分析：思路一：易知四邊形ACED是平行四邊形，則ADCEBC，從而可知BCBE，要說明DEBE，只需說明DEBC即可思路二：連接BD，先證BDE90°，再證DBE30°，根據(jù)30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半可直接獲得結(jié)論（自己完成證明過程）解答：ABCD是菱形，AD/BC，ABBCCDDA又ABC 60°，BCACADDEACACED為平行四邊形CEADBC，DEACDECEBC，DEBE點評：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，而平行四邊形的對邊相等，由此可以

15、得出相等的線段，可實現(xiàn)線段的等量代換（轉(zhuǎn)移），這就為證明線段相等或倍、分關(guān)系創(chuàng)造了條件3. （2010重慶，24，10分）如圖，梯形ABCD中，ADBC，DCB=45°，CD=2，BDCD過點C作CEAB于E，交對角線BD于F，點G為BC中點，連接EG、AF（1）求EG的長；（2）求證：CF=AB+AFABEGCDF24題圖考點：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理分析：（1）根據(jù)BDCD，DCB=45°，得到DBC=DCB，求出BD=CD=2，根據(jù)勾股定理求出BC=2，根據(jù)CEBE，點G為BC的中點即可求出EG；（2）在線段CF上截取CH=BA，

16、連接DH，根據(jù)BDCD，BECD，推出EBF=DCF，證出ABDHCD，得到AD=BD，ADB=HDC，根據(jù)ADBC，得到ADB=DBC=45°，推出ADB=HDB，證出ADFHDF，即可得到答案解答：（1）解：BDCD，DCB=45°，DBC=45°=DCB，BD=CD=2，在RtBDC中BC=2，CEBE，點G為BC的中點，EG=BC=答：EG的長是（2）證明：在線段CF上截取CH=BA，連接DH，ABEGCDF24題答圖BDCD，BECE，EBF+EFB=90°，DFC+DCF=90°，EFB=DFC，EBF=DCF，DB=CD，BA=C

17、H，ABDHCD，AD=DH，ADB=HDC，ADBC，ADB=DBC=45°，HDC=45°，HDB=BDCHDC=45°，ADB=HDB，AD=HD，DF=DF，ADFHDF，AF=HF，CF=CH+HF=AB+AF，CF=AB+AF點評：本題主要考查對梯形，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵4. （2011泰州，24，10分）如圖，四邊形ABCD是矩形，直線l垂直平分線段AC，垂足為O，直線l分別與線段AD、CB的延長線交于點E、F（1）ABC與FOA相似嗎？為什么？

18、（2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說明理由考點：相似三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：證明題；綜合題。分析：（1）根據(jù)角平分線的定義，同角的余角相等可知AFO=CAB，根據(jù)垂直的定義，矩形的性質(zhì)可知ABC=FOA，由相似三角形的判定可證ABC與FOA相似；（2）先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判斷解答：解：（1）直線l垂直平分線段AC，AFO=CFO，CFO+FCO=CAB+FCO=90°，AFO=CAB，AOF=CBA=90°，ABCFOA（2）直線l垂直平分線段AC，AF=CF，可證AOF

19、AOE，AE=CF，F(xiàn)O=EO四邊形ABCD是矩形，四邊形AFCE是平行四邊形，四邊形AFCE是菱形點評：考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度5. （2010重慶，26，12分）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達(dá)A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點發(fā)發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當(dāng)兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊EFG，使EFG和矩形ABCD

20、在射線PA的同側(cè)設(shè)運動的時間為t秒（t0）（1）當(dāng)?shù)冗匛FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值；（2）在整個運動過程中，設(shè)等邊EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；（3）設(shè)EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使AOH是等腰三角形？若存大，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由ADCOBPFE26題圖考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形分析：（1）當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點C時，CFB=60°，BF=3t，在RtCBF中

21、，解直角三角形可求t的值；（2）按照等邊EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點，分為0t1，1t3，3t4，4t6四種情況，分別寫出函數(shù)關(guān)系式；（3）存在當(dāng)AOH是等腰三角形時，分為AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三種情況，分別畫出圖形，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，列方程求t的值解答：解：（1）當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點C時，CFB=60°，BF=3t，在RtCBF中，BC=2，tanCFB=，即tan60=，解得BF=2，即3t=2，t=1，當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點C時，t=1；ADCOBPFEG26題答圖（2）當(dāng)0t1時，S=2t+4；當(dāng)1t3時，S=t2+3t+；當(dāng)3t4時，S=4t+20；

22、當(dāng)4t6時，S=t212t+36；（3）存在理由如下：在RtABC中，tanCAB=，CAB=30°，又HEO=60°，HAE=AHE=30°，AE=HE=3t或t3，1）當(dāng)AH=AO=3時，（如圖），過點E作EMAH于M，則AM=AH=，在RtAME中，cosMAE，即cos30°=，AE=，即3t=或t3=，t=3或t=3+，ADCOBPEHM26題答圖2）當(dāng)HA=HO時，（如圖）則HOA=HAO=30°，又HEO=60°，EHO=90°，EO=2HE=2AE，又AE+EO=3，AE+2AE=3，AE=1，即3t=1或t

23、3=1，t=2或t=4；ADCOBPEH26題答圖3）當(dāng)OH=OA時，（如圖），則OHA=OAH=30°，HOB=60°=HEB，點E和點O重合，AE=3，即3t=3或t3=3，t=6（舍去）或t=0；ADCO(E)BPH26題答圖綜上所述，存在5個這樣的t值，使AOH是等腰三角形，即t=3或t=3+或t=2或t=2或t=0點評：本題考查了特殊三角形、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的有關(guān)知識關(guān)鍵是根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，分類討論6. （2011湖北咸寧，22，10分）（1）如圖，在正方形ABCD中，AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長

24、相等，求EAF的度數(shù)（2）如圖，在RtABD中，BAD=90°，AB=AD，點M，N是BD邊上的任意兩點，且MAN=45°，將ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）在圖中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的長考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。分析：（1）根據(jù)高AG與正方形的邊長相等，證明三角形相等，進(jìn)而證明角相等，從而求出解（2）用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結(jié)論（3）設(shè)出線段的長，結(jié)合方程思想，用數(shù)形結(jié)合

25、得到結(jié)果解答：（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE 同理，（2）， 又，AMNAHN ， ABCFDEG（圖）MN（3）由（1）知，設(shè)，則，解這個方程，得，（舍去負(fù)根）在（2）中，設(shè)，則即點評：本題考查里正方形的性質(zhì)，四邊相等，對角線平分每一組對角，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的知識點等7.（2011貴港）如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，BAD的平分線AE交BC于點E，連接DE（1）求證：四邊形ABED是菱形；（2）若ABC=60°，CE=2BE，試判斷CDE的形狀，并說明理由考點：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與

26、性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：（1）根據(jù)AB=AD及AE為BAD的平分線可得出1=2，從而證得BAEDAE，這樣就得出四邊形ABED為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得出結(jié)論；（2）過點D作DFAE交BC于點F，可得出DF=AE，AD=EF=BE，再由CE=2BE得出DE=EF，從而結(jié)合ABC=60°，ABDE可判斷出結(jié)論解答：（1）證明：如圖，AE平分BAD，1=2，AB=AD，AE=AE，BAEDAE，BE=DE，ADBC，2=3=1，AB=BE，AB=BE=DE=AD，四邊形ABED是菱形（2）解：CDE是直角三角形如圖，過點D作DFAE交BC于點F，則四邊形AEFD是平行四

27、邊形，DF=AE，AD=EF=BE，CE=2BE，BE=EF=FC，DE=EF，又ABC=60°，ABDE，DEF=60°，DEF是等邊三角形，DF=EF=FC，CDE是直角三角形點評：本題綜合考查了梯形、全等三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)，難度較大，解答本題需要掌握有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半8. （2011安順）如圖，在ABC中，ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE（1）說明四邊形ACEF是平行四邊形；（2）當(dāng)B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形，并說明理

28、由考點：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定。分析：（1）證明AECEAF，即可得到EF=CA，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可判斷；（2）當(dāng)B=30°時，四邊形ACEF是菱形根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可證得AC=EC，根據(jù)菱形的定義即可判斷解答：（1）證明：由題意知FDC=DCA=90°，EFCA，AEF=EAC，AF=CE=AE，F(xiàn)=AEF=EAC=ECA又AE=EA，AECEAF，EF=CA，四邊形ACEF是平行四邊形（2）當(dāng)B=30°時，四邊形ACEF是菱形理由是：B=30°，ACB=90°

29、;，AC=，DE垂直平分BC，BE=CE，又AE=CE，CE=，AC=CE，四邊形ACEF是菱形點評：本題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定方法，正確掌握判定定理是解題的關(guān)鍵9. （2011湘西州）如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線相交于O，ACB=30°，AB=2（1）求AC的長（2）求AOB的度數(shù)（3）以O(shè)B、OC為鄰邊作菱形OBEC，求菱形OBEC的面積考點：矩形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質(zhì)。專題：綜合題。分析：（1）根據(jù)AB的長結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系可得出AC的長度（2）根據(jù)矩形的對角線互相平分可得出OBC為等腰三角形，從而利用外角的知識可得出AOB

30、的度數(shù)（3）分別求出OBC和BCE的面積，從而可求出菱形OBEC的面積解答：解（1）在矩形ABCD中，ABC=90°，RtABC中，ACB=30°，AC=2AB=4（2）在矩形ABCD中，AO=OA=2，又AB=2，AOB是等邊三角形，AOB=60°（3）由勾股定理，得BC=，所以菱形OBEC的面積是2點評：本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及勾股定理的知識，綜合性較強(qiáng)，注意一些基本知識的掌握是關(guān)鍵10.（2011年山東省東營市，19，8分）如圖，在四邊形ABCD中，DB平分ADC，ABC=120°，C=60°，BDC=30°；延長CD到

31、點E，連接AE，使得E=C（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）若DC=12，求AD的長考點：等腰梯形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質(zhì)專題：計算題；證明題分析：（1）可證明ABED，AEBD，即可證明四邊形ABDE是平行四邊形；由ABC=120°，C=60°，得ABED；E= C=BDC=30°，得AEBD；（2）可證得四邊形ABCD是等腰梯形，AD=BC，易證BDC是直角三角形，可得BC= DC=6解答：證明：（1）ABC=120°，C=60°，ABC+BCD=180°，ABDC，即ABED；又C=60

32、°，E= C，BDC=30°，E=BDC=30°，AEBD，四邊形ABDE是平行四邊形；解：（2）ABDC，四邊形ABCD是梯形，DB平分ADC，BDC=30°，ADC=BCD=60°，四邊形ABCD是等腰梯形；BC=AD，在BCD中，C=60°，BDC=30°，DBC=90°，又DC=12，AD=BC= DC=6點評：本題考查了知識點較多，有等腰梯形、直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，只有牢記這些知識才能熟練運用11. （2011浙江寧波，23，？）如圖，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，B

33、D是對角線，過點A作AGDB交CB的延長線于點G（1）求證：DEBF；（2）若G90°，求證：四邊形DEBF是菱形考點：菱形的判定；平行線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）根據(jù)已知條件證明ADECBF，即3CBF，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知BDEFBD，根據(jù)內(nèi)錯角相等，即可證明DEBF，（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可以得出12，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，從而得出結(jié)論解答：證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，4C，ADCB，ABCD點E、F分別是AB、CD的中點，AEAB，CFCDAECF，ADECBF，3CBF，AD

34、BCBD，2FBD，DEBF，（2）G90°，四邊形AGBD是矩形，ADB90°，2+390°，22+23180°12，34DEAEBE，ABCD，DEBF，四邊形DEBF是菱形點評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定、平行的判定、菱形的判定，比較綜合，難度適中10.12. （2011浙江嘉興，23，10分）以四邊形ABCD的邊ABBCCDDA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為EFGH，順次連接這四個點，得四邊形EFGH（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，

35、請判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；（2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設(shè)ADC=（0°90°），試用含的代數(shù)式表示HAE；求證：HE=HG；四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由考點：正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；菱形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形得到角都是直角，且邊都相等即可判斷答案；（2）HAE=90°+a，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，BAD=180°a，根據(jù)HAD和EAB是等腰直角三角形，得到HAD=EAB=45°，求出HAE即可；根據(jù)AEB和DGC是等腰直角三角形，得

36、出AE=AB，DC=CD，平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，求出HDG=90°+a=HAE，證HAEHDC，即可得出HE=HG；由同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，證HAEHDG，求出AHD=90°，EHG=90°，即可推出結(jié)論解答：（1）答：四邊形EFGH的形狀是正方形（2）解：HAE=90°+a，在平行四邊形ABCD中ABCD，BAD=180°ADC=180°a，HAD和EAB是等腰直角三角形，HAD=EAB=45°，HAE=360°HADEABBAD=360

37、6;45°45°（180°a）=90°+a，答：用含的代數(shù)式表示HAE是90°+a證明：AEB和DGC是等腰直角三角形，AE=AB，DC=CD，在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AE=DG，HAD和GDC是等腰直角三角形，HDA=CDG=45°，HDG=HDA+ADC+CDG=90°+a=HAE，HAD是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDC，HE=HG答：四邊形EFGH是正方形，理由是：由同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，HE=HG，GH=GF=EF=HE，四邊形EFGH是菱形，HAEHDG，DHG=AHE，AHD=A

38、HG+DHG=90°，EHG=AHG+AHE=90°，四邊形EFGH是正方形點評：本題主要考查對正方形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵13. （2011梧州，22，8分）如圖，在ABCD中，E為BC的中點，連接DE延長DE交AB的延長線于點F求證：AB=BF考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先證明DECFEB，然后根據(jù)AB=CD，運用等量代換即可得出結(jié)論解答：解：由ABCD是平行四邊形得ABCD，CDE=F，C=E

39、BF又E為BC的中點，DECFEB，DC=FB又AB=CD，AB=BF點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定，難度一般，對于此類題目關(guān)鍵是熟練掌握并運用平行四邊形的性質(zhì)14. （2011玉林，25，10分）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H（1）求證：EB=GD；（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的長考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。分析：（1）在GAD和EAB中，GAD=90°+EAD，EAB=90°+EAD，得到GA

40、D=EAB從而GADEAB，即EB=GD；（2）EBGD，由（1）得ADG=ABE則在BDH中，DHB=90°所以EBGD；（3）設(shè)BD與AC交于點O，由AB=AD=2在RtABD中求得DB，所以得到結(jié)果解答：（1）證明：在GAD和EAB中，GAD=90°+EAD，EAB=90°+EAD，GAD=EAB，又AG=AE，AB=AD，GADEAB，EB=GD；（2）EBGD，理由如下：連接BD，由（1）得：ADG=ABE，則在BDH中，DHB=180°（HDB+HBD）=180°90°=90°，EBGD；（3）設(shè)BD與AC交于點

41、O，AB=AD=2在RtABD中，DB=，EB=GD=點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，考查了利用其性質(zhì)證得三角形全等，并利用證得的條件求得邊長15. （2011安順，25，9分）如圖，在ABC中，ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE（1）說明四邊形ACEF是平行四邊形；（2）當(dāng)B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形，并說明理由考點：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定。分析：（1）證明AECEAF，即可得到EF=CA，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可判斷；（2）當(dāng)B=30°

42、時，四邊形ACEF是菱形根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可證得AC=EC，根據(jù)菱形的定義即可判斷解答：（1）證明：由題意知FDC=DCA=90°，EFCA，AEF=EAC，AF=CE=AE，F(xiàn)=AEF=EAC=ECA又AE=EA，AECEAF，EF=CA，四邊形ACEF是平行四邊形（2）當(dāng)B=30°時，四邊形ACEF是菱形理由是：B=30°，ACB=90°，AC=AB，DE垂直平分BC，BE=CE，又AE=CE，CE=AB ，AC=CE，四邊形ACEF是菱形點評：本題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定方法，正確掌握判定定理是解題的關(guān)鍵16. （2011海南

43、，23，10分）如圖，在菱形ABCD中，A60°，點P、Q分別在邊AB、BC上，且APBQ（1）求證：BDQADP；（2）已知AD3，AP2，求cosBPQ的值（結(jié)果保留根號）考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形。分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，可證得ADAB，ABDCBDABC，ADBC，又由A60°，易得ABD是等邊三角形，然后由SAS即可證得BDQADP；（2）首先過點Q作QEAB，交AB的延長線于E，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得PE與QE的長，又由勾股定理，即可求得PQ的長，則可求得cosBPQ的值解答：解：（1）四邊形ABCD是菱形，ADA

44、B，ABDCBDABC，ADBC，A60°，ABD是等邊三角形，ABC120°，ADBD，CBDA60°，APBQ，BDQADP（SAS）；（2）過點Q作QEAB，交AB的延長線于E，BDQADP，BQAP2，ADBC，QBE60°，QEQBsin60°2×，BEQBcos60°2×1，ABAD3，PBABAP321，PEPBBE2，在RtPQE中，PQ，cosBPQ點評：此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)此題難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用17. （2011黑龍江省哈爾濱,23，6分）如圖，四

45、邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線，BEAC，垂足為E，DFAC，垂足為F求證：DF=BE考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)平行四邊形的對邊相等得出BC=AD，再由兩直線平行內(nèi)錯角相等可得出BCA=DAC，從而可判斷出CEBAFD，利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論解答：證明：四邊形ABCD是平行四邊形BC=AD，BCADBCA=DACBEAC，DEACCEB=AFD=90°CEBAFDBE=DF點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是利用全等的知識證明線段的相等，這是經(jīng)常用到的，同學(xué)們要注意掌握綜合驗收評估

46、測試題 (時間：120分鐘 滿分：120分)一、選擇題1若四邊形的兩條對角線互相垂直，則這個四邊形 ( ) A一定是矩形 B一定是菱形 C一定是正方形 D形狀不確定2如圖19-135所示，設(shè)F為正方形ABCD上一點，交AB的延長線于點E，若正方形ABCD的面積為64，CEF的面積為50，則CBE的面積為 （ ） A20 B24 C25 D263已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論不一定正確的是 （ ） A B C當(dāng)時，它是菱形 D當(dāng)時，它是矩形4如圖19-136所示，ABCD，交CD于點E，.則梯形ABCD的面積為 （ ） A130 B140 C150 D1605下列命題錯誤的是 ( )

47、A平行四邊形的對角相等 B等腰梯形的對角線相等 C兩條對角線相等的平行四邊形是矩形 D對角線互相垂直的四邊形是菱形6在矩形ABCD中，是CD上一點，且則的度數(shù)是（ ）A30° B22.5° C15° D以上都不對7菱形的周長為20，兩鄰角的角度之比為1：2，則較長的對角線的長為 （ ） A4.5 B4 C D8.順次連接等腰梯形的四邊中點，得到一個四邊形，再順次連接所得四邊形四邊的中點，得到的圖形是 （ ） A等腰梯形 B直角梯形 C菱形 D矩形9小明爸爸的風(fēng)箏廠準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格相同但顏色不同的布料，生產(chǎn)一批形狀如圖19-137所示的風(fēng)箏.點分別是四邊形AB

48、CD各邊的中點，其中陰影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪兩種布料時，均不計余料）.若生產(chǎn)這批風(fēng)箏需要甲布料30匹，那么需要乙布料 （ ） A15匹 B20匹 C30匹 D60匹10如圖19-138所示，在中，已知，DE平分，交BC邊于點E，則BE等于 （ ） A2 B4 C6 D8二、填空題11順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，所得的四邊形是 .12矩形的周長為48，長比寬多2，則矩形的面積為 .13如圖19-139所示，在中，AC與BD交于點O，點E是BC邊的中點，OE=1，則AB的長是 .14如圖19-140所示，在中，于點E，于點F，則= .15如圖19-141所示，在等腰梯形A

49、BCD中，ADBC， ，則梯形ABCD的周長是 .16如圖19-142所示，在中，BD為對角線，E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，連接EF，若EF=3，則CD的長為 .17若矩形的一條短邊的長為5，兩條對角線 的夾角為60°，則它的一條較長的邊為 .18如圖19-143所示，折疊矩形紙片ABCD，先折出折痕BD再折疊，使AD落在對角線BD上，得折痕DG，若AB=2，BC=1，則AG= .19若菱形的兩條對角線長分別為16和12，則它的邊長為 ，面積為 20已知等邊三角形ABE在正方形ABCD內(nèi)，DE的延長線交CB于G，則 .三、解答題21如圖19-144所示，在中，點E是AD的中點，連接CE并延長，交BA的延長線于點F.求證.22如圖19-145所示，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，于點E，BFDE，交AG于點F，求證.23如圖19-146所示，的對角線AC，BD相交于點O，于點O，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，且.求證四邊形ABCD為矩形.24在等腰梯形ABCD中，已知ABCD，AD=BC，AC為對角線，且AC平分. （1）求梯形各內(nèi)角的度數(shù)； （2）當(dāng)梯形的周長為30時，求各邊的長； （3）求梯形的面積.25某生活小區(qū)的居民籌集資