知識(shí)講解復(fù)數(shù)

1、高考總復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)【考綱要求】1. 理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；2. 了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式及其幾何意義；能將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點(diǎn)或向量表示，并能將 復(fù)平面上的點(diǎn)或向量所對(duì)的復(fù)數(shù)用代數(shù)形式表示。3. 會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解兩個(gè)具體相加、相減的幾何意義【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】加減法：11【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1. 虛數(shù)單位i:(1) 它的平方等于1，即i21 ；(2) i與一1的關(guān)系：i就是一1的一個(gè)平方根，即方程 x21的一個(gè)根，方程x21的另一個(gè)根是i;(3) 實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立；(4) i 的周期性：i4n

2、1，嚴(yán)1 i , i4n 21 , i4n 3 i ( nN *).2. 概念形如a bi （ a,b R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部。說(shuō)明：這里a,b R容易忽視但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)。3. 復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示；復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NW ZW Q三R丘C4.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛、0的關(guān)系:對(duì)于復(fù)數(shù)a bi （ a, bR），當(dāng)且僅當(dāng)0時(shí)，復(fù)數(shù)za bi a是實(shí)數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)0時(shí)，復(fù)數(shù)za bi叫做虛數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)0且b 0時(shí),復(fù)數(shù)z a bi bi叫做純虛數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)b 0時(shí)，復(fù)數(shù)a bi 0就是實(shí)數(shù)0.所以復(fù)數(shù)的分類(lèi)如下：z a b

3、i （ a,b R）實(shí)數(shù)（b 0）； 虛數(shù)（b 0） 當(dāng)a0且 b 0時(shí)為純虛數(shù)5.復(fù)數(shù)相等的充要條件那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。即:兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等,如果 a, b, c,d R，那么 a bi c di a c且 b特別地：a bi 0 a b 0.應(yīng)當(dāng)理解：（1） 一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣（2 ）復(fù)數(shù)相等的充要條件是將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小。如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大?。灰仓挥挟?dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小。6.共軛復(fù)數(shù)：兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而且虛部相

4、反，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)。即：復(fù)數(shù)z a bi和z a bi a bi （ a,b R ）互為共軛復(fù)數(shù)?？键c(diǎn)二：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其四則運(yùn)算1. 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即a bi（ a,b R），把復(fù)數(shù)表示成a bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。2. 四則運(yùn)算(a bi) (c di) (a c) (b d)i ；(a bi )(c di) (ac bd) (bc ad )i ；復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù):考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義1. 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：a bi(a bi )(c di)ac bdbc ad .c di(cdi)(cdi)c2d22| 2匸cdR )

5、可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面,x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸。點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z a bi( a,bz 0 0i 0表示是實(shí)數(shù)。故除了H 叫)! * 6 * s - a - a 復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)， 有唯一的一實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)。對(duì)于虛軸上的點(diǎn)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是對(duì)應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)z a bi 一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)這是因?yàn)?，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái), 個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義

6、，也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法。2. 復(fù)數(shù)的幾何表示(1 )坐標(biāo)表示：在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn) Z(a,b)表示復(fù)數(shù)z a bi( a,b R)；(2)向量表示：以原點(diǎn)O為起點(diǎn)，點(diǎn)Z(a,b)為終點(diǎn)的向量 OZ表示復(fù)數(shù)z a bi .UUU22向量OZ的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z a bi的模，記作|a bi |.即|z| |OZ | ，a2 b2 0.要點(diǎn)詮釋:(1)向量OZ與點(diǎn)Z(a,b)以及復(fù)數(shù)z a bi有對(duì)應(yīng)；(2 )兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小。3. 復(fù)數(shù)加法的幾何意義：UUU UULT如果復(fù)數(shù)乙、Z2分別對(duì)應(yīng)于向量 op、OF2，那么以O(shè)R、OP2為兩邊作平行

7、四邊形 ORSP2，對(duì)角線(xiàn)UUUOS表示的向量OS就是Zi Z2的和所對(duì)應(yīng)的向量。4. 復(fù)數(shù)減法的幾何意義:兩個(gè)復(fù)數(shù)的差 乙z2與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng)。要點(diǎn)詮釋?zhuān)?. 復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算一般用代數(shù)形式進(jìn)行；2. 求解計(jì)算時(shí)，要充分利用 i的性質(zhì)計(jì)算問(wèn)題；3. 在復(fù)數(shù)的求解過(guò)程中，要注意復(fù)數(shù)整體思想的把握和應(yīng)用其依據(jù)是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和兩個(gè)復(fù)4. 復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的最基本也是最重要的思想方法, 數(shù)相等的充要條件。【典型例題】類(lèi)型一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【例1】設(shè)復(fù)數(shù)z lg(m2 2m 2) (m2 3m 2)i，試求實(shí)數(shù) m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z分別滿(mǎn)足:(1) z是純

8、虛數(shù)；(2) z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念易求得?！敬鸢浮?1)當(dāng)lg(m2 2m 2)m2 3m 200即m 3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù);2lg(m2 2m 2)m2 3m 20m 1,3或1、3 m 3時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二2象限.【總結(jié)升華】復(fù)習(xí)中，概念一定要結(jié)合意義落實(shí)到位，對(duì)復(fù)數(shù)的分類(lèi)條件要注意其充要性，對(duì)復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)的概念的運(yùn)用也是這樣；對(duì)一些概念的等價(jià)表達(dá)式要熟知。比如:bi R b2z 0( a, b R) ； z a bi 是純虛數(shù)z20 ；舉一反三:1 ai【變式1】復(fù)數(shù)1 ai2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) a為(A. 2 BD.【答案】

9、Aai【解析】12 i(1ai)(2 i)(2 i)(2 i)2a5由純虛數(shù)的概念知:【變式2】求當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z (m2 m 2)(m3m2)i分別是:(1)實(shí)數(shù);【解析】(2)虛數(shù);(3 )純虛數(shù)。(1 )當(dāng)蘭 m2 3m20即m1或m2時(shí),復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù);(2 )當(dāng)蘭 m2 3m20即m1且m2時(shí),復(fù)數(shù)z為虛數(shù);2m m20(3 )當(dāng)2 -即m1時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)【變式2】已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足| z | 1且z2A.必為純虛數(shù)B.是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)C.必為實(shí)數(shù)D.可能是實(shí)數(shù)也可能是虛數(shù)2m 3m 20【答案】法 1設(shè) z a bi(a,bR )，有 a2 b21,a 0.a bia2

10、 2abib2 1a bi22a 2abi1R，故應(yīng)選Co2a法 2 / z z|z|2 1, Azz2 1z(z z)R.z z1，二zz2 1z z(z2 1) zR.類(lèi)型二：復(fù)數(shù)相等【例2】已知集合同時(shí)滿(mǎn)足Min N MM2 2M= (a+3) + (b-1 ) i, 8,集合 N= 3, (a-1 ) +(b+2) A Nm，求整數(shù) a,b否符合條件?！舅悸伏c(diǎn)撥】先判斷兩集合元素的關(guān)系，再列方程組，進(jìn)而解方程組，最后檢驗(yàn)結(jié)果:【解答】依題意得(a 3) (b2 1)i 3i或 8 (a 1)(b 2)i2 2或 a 3 (b 1)i a 1 (b 2)i由得a=-3,b= ±

11、 2,經(jīng)檢驗(yàn)，a=-3,b=-2 不合題意，舍去。a a=-3 , b=2由得 a= ± 3, b=-2.又 a=-3,b =-2 不合題意，a=3,b=-2;由得2 2：2 31 ：2即 ：2a 40,此方程組無(wú)整數(shù)解。b 3 0Z2.綜合得 a=-3 , b=2或a=3,b=-2 。【總結(jié)升華】1、a+bi=c+dia c,、(a,b,c,d R).b d2、利用復(fù)數(shù)相等可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。解題時(shí)要把等號(hào)兩邊的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式。注：對(duì)于復(fù)數(shù)z，如果沒(méi)有給出代數(shù)形式，可設(shè)z= a+bi(a,b R)。舉一反三：【變式】已知復(fù)數(shù) 乙滿(mǎn)足(z i-2)(1+i)=1-i

12、(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)Z2的虛部為2，且zi Z2是實(shí)數(shù)，求Zi【解 析】 設(shè)Z2=a+2i(a R),由已知復(fù)數(shù) 乙 滿(mǎn)足(z i-2)(1+i)=1-i, 得zi=2-i ，又 已知 -Z2=(2_i) (a+2i)=(2a+2 )+(4-a)i是實(shí)數(shù)，則虛部 4-a=0，即 a=4，則復(fù)數(shù) Z2=4+2i.類(lèi)型三：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算【例3】計(jì)算：(1 2i)(3 4i)【思路點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)?！窘馕觥?1 2i) (3 4i)(12i)(34i)3 82蔦4i 丄衛(wèi)右3 4i(34i)(34i)32422555【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)除法關(guān)鍵是把分母實(shí)數(shù)化，通常上下

13、同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，利用i21進(jìn)行運(yùn)算。舉一反三：2 2i «【變式1】()1“ 3i【答案】：原式=(1 i )81 J3.i2 2(1 i)24i)32(-蟲(chóng)i)22 2 2(2i)41 ；3.i2 216( 1 3)_ 2 _/ 13、/(i)(2 2213、R8 8 3i3448 8 3i5i【變式2】復(fù)數(shù)-()1 2i.2 i B. 1 2i C.2 i D. 1 2i【解析】選C解法5i 5i(1 2i)10 5i 2 i1 2i (1 2i)(1+2i)5解法二：驗(yàn)證法驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)與1-2i的積，正好等于 5i的便是答案【例4】已知Z1，Z2為復(fù)數(shù)，(3 + i)z 1

14、為實(shí)數(shù)，z2=,且|z 2I = 5, 2求z?.【思路點(diǎn)撥】可不設(shè)代數(shù)形式利用整體代換的思想求解z1 = z2(2 + i) , (3 + i)z 廣 z2(2 + i)(3 + i) = z2(5 + 5i) RT |z 2I = 5、. 2|z2(5 + 5i)| = 50, z2(5 + 5i) =± 50,Z2=50 =105 5i 1 i5 5i【總結(jié)升華】1、(1)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類(lèi)比多項(xiàng)式運(yùn)算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的幕寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式.(2)記住以下結(jié)論，可提高運(yùn)算速度：(1 ± i) 2=± 2i : 口

15、i;口 i; b ai；1 i1 ii i4n=1, i4n+1 =i , i 4n+2=-1 , i 4n+3=_i(n N).i的看的特點(diǎn)2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，此時(shí)含有虛數(shù)單位i的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，不含作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，分別合并即可，但要注意把i的幕寫(xiě)成最簡(jiǎn)單的形式，在運(yùn)算過(guò)程中，要熟透及熟練應(yīng)用運(yùn)算技巧。舉一反三:R a11 bi7i【變式1】設(shè)a, bUl12i (i為虛數(shù)單位)，則a b的值為a11 bi7i (117i)(12i)5 3i【解析】因?yàn)镸l12i5所以a5,b3a b8【答案】8【變式2】設(shè)i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)3 4iiA.4 3iB.43i C.4

16、3iD.4 3i【解析】選D.(3 24|)14 3i .ii類(lèi)型三：復(fù)數(shù)的幾何意義【例5】已知復(fù)數(shù)z (3m2 5m 2) (m 1)i ( m R)，若Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍【思路點(diǎn)撥】在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)Z(a,b)表示復(fù)數(shù)z a bi( a, b R)，z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限等價(jià)于z的實(shí)部大于零而虛部小于零?！窘馕觥?z (3m 5m 2) (m 1)i3m25m 20，解得 m 1.(m1) 0 m的取值范圍為 m (1,).【總結(jié)升華】每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)。舉一反三：【變式1】若z m2(1i) m

17、(4 i)6i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.0,3B.,2C.2,0D.3,4【答案】z (m24m) (m2m 6)i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限-m24m0且m2m 60,0 m 4 且 m 3或 m 2m3,4，故選D【變式2】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 6+ 5i , - 2+ 3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為 A, B,若C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. 4 + 8i B 8 + 2i C 2+ 4i D 4+ i【答案】C【解析】復(fù)數(shù)6+ 5i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A(6,5)，復(fù)數(shù)一2+ 3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為巳一2,3).禾U用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C(2,4)，故點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+ 4

18、i.類(lèi)型四：化復(fù)數(shù)問(wèn)題為實(shí)數(shù)問(wèn)題【例6】已知x,y互為共軛復(fù)數(shù)，且(x y)2 3xyi 4 6i ,求x,y.【思路點(diǎn)撥】設(shè) z a bi ( a,b R )代入條件，把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題，易得a、b的兩個(gè)方程。【解析】設(shè)x a bi ( a,b R),則y a bi ,代入原等式得：(2a)2 3(a2 b2)i 4 6i4a24a1亠 a 1 亠a1亠a1，解得：或或或3(a2 b2)6b1b 1b1b1x 1 i或x1i十x或1i十x1或ioy 1 iy1 iy1iy1i【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)定義：“形如z a bi ( a,b R )的數(shù)叫復(fù)數(shù)”就意味凡是復(fù)數(shù)都能寫(xiě)成這樣，求一個(gè)復(fù)數(shù)，使 用一個(gè)復(fù)數(shù)都可通過(guò)這一形式將問(wèn)題化虛為實(shí)；設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)研究 是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的常用方法 。舉一反三：【變式1】已知復(fù)數(shù)z 1i ,求實(shí)數(shù)a, b使az2bz(a 2z)2【答案】:z1i,-az2bz (a 2b)(a2b)i(a2z)2(a2)244(a2)i (a24a)4(a2)ia2ba24aa2亠a 4a,b R,，解得或a2b4(a2)b1b 2【變式2】令zC,求使方程|z|2z 3 6i成立的復(fù)數(shù)z.【答案】：令z x yi ( x, y R)，則原方程化為：. x2y22(x yi)