有限元網(wǎng)格技巧.

1、有限元網(wǎng)格技巧1. 引言有限元法是求解復(fù)雜工程問(wèn)題的一種近似數(shù)值解法 ，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用到力學(xué)、熱 學(xué)、電磁學(xué)等各個(gè)學(xué)科，主要分析工作環(huán)境下物體的線性和非線性靜動(dòng)態(tài)特性等性 能。有限元法求解問(wèn)題的基本過(guò)程主要包括：分析對(duì)象的離散化？有限元求解？計(jì)算 結(jié)果的處理三部分。曾經(jīng)有人做過(guò)統(tǒng)計(jì)：三個(gè)階段所用的時(shí)間分別占總時(shí)間的 40%50%、5%及 50%55%。也就是說(shuō),當(dāng)利用有限元分析對(duì)象時(shí)，主要時(shí)間是用于對(duì)象的離散及結(jié)果 的處理。如果采用人工方法離散對(duì)象和處理計(jì)算結(jié)果，勢(shì)必費(fèi)力、費(fèi)時(shí)且極易出錯(cuò), 尤其當(dāng)分析模型復(fù)雜時(shí)，采用人工方法甚至很難進(jìn)行，這將嚴(yán)重影響高級(jí)有限元分析 程序的推廣和使用。因此，開(kāi)展自

2、動(dòng)離散對(duì)象及結(jié)果的計(jì)算機(jī)可視化顯示的研究是 一項(xiàng)重要而緊迫的任務(wù)?？上驳氖?隨著計(jì)算機(jī)及計(jì)算技術(shù)的飛速發(fā)展，出現(xiàn)了開(kāi)發(fā)對(duì)象的自動(dòng)離散及有 限元分析結(jié)果的計(jì)算機(jī)可視化顯示的熱潮，使有限元分析的 瓶頸”現(xiàn)象得以逐步解 決，對(duì)象的離散從手工到半自動(dòng)到全自動(dòng)，從簡(jiǎn)單對(duì)象的單維單一網(wǎng)格到復(fù)雜對(duì)象的 多維多種網(wǎng)格單元，從單材料到多種材料，從單純的離散到自適應(yīng)離散，從對(duì)象的性能 校核到自動(dòng)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)/分析,這些重大發(fā)展使有限元分析擺脫了僅為性能校核 工具的原始階段，計(jì)算結(jié)果的計(jì)算機(jī)可視化顯示從簡(jiǎn)單的應(yīng)力、位移和溫度等場(chǎng)的 靜動(dòng)態(tài)顯示、彩色調(diào)色顯示一躍成為對(duì)受載對(duì)象可能出現(xiàn)缺陷（裂紋等的位置、形狀、大小及

3、其可能波及區(qū)域的顯示等，這種從抽象數(shù)據(jù)到計(jì)算機(jī)形象化顯示的飛躍 是現(xiàn)在甚至將來(lái)計(jì)算機(jī)集成設(shè)計(jì)/分析的重要組成部分。2. 有限元分析對(duì)網(wǎng)格剖分的要求有限元網(wǎng)格生成就是將工作環(huán)境下的物體離散成簡(jiǎn)單單元的過(guò)程，常用的簡(jiǎn)單單元包括：一維桿元及集中質(zhì)量元、二維三角形、四邊形元和三維四面體元、五面體元和六面體元。他們的邊界形狀主要有直線型、曲線型和曲面型。對(duì)于邊界為曲 線（面型的單元，有限元分析要求各邊或面上有若干點(diǎn)，這樣，既可保證單元的形狀，同 時(shí)，又可提高求解精度、準(zhǔn)確性及加快收斂速度。不同維數(shù)的同一物體可以剖分為 由多種單元混合而成的網(wǎng)格。網(wǎng)格剖分應(yīng)滿足以下要求：合法性。一個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)不能落入其他單

4、元內(nèi)部，在單元邊界上的結(jié)點(diǎn)均應(yīng)作為單元的結(jié)點(diǎn)，不可丟棄。相容 性。單元必須落在待分區(qū)域內(nèi)部，不能落入外部，且單元并集等于待分區(qū)域。逼近精 確性。待分區(qū)域的頂點(diǎn)（包括特殊點(diǎn)必須是單元的結(jié)點(diǎn)，待分區(qū)域的邊界（包括特殊邊 及面被單元邊界所逼近。良好的單元形狀。單元最佳形狀是正多邊形或正多面體。 良好的剖分過(guò)渡性。單元之間過(guò)渡應(yīng)相對(duì)平穩(wěn)，否則,將影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性甚至 使有限元計(jì)算無(wú)法計(jì)算下去。網(wǎng)格剖分的自適應(yīng)性。在幾何尖角處、應(yīng)力溫度等變 化大處網(wǎng)格應(yīng)密，其他部位應(yīng)較稀疏，這樣可保證計(jì)算解精確可靠。3. 現(xiàn)有有限元網(wǎng)格剖分方法K. Ho-Le對(duì)網(wǎng)格生成算法進(jìn)行了系統(tǒng)分類(lèi)，該分類(lèi)方法可沿用至今，它們

5、是拓?fù)?分解法、結(jié)點(diǎn)連元法、網(wǎng)格模板法、映射法和幾何分解法五種。目前 ，主要是上述 方法的混合使用及現(xiàn)代技術(shù)的綜合應(yīng)用。（1映射法映射法是一種半自動(dòng)網(wǎng)格生成方法，根據(jù)映射函數(shù)的不同，主要可分為超限映射 和等參映射。因前一種映射在幾何逼近精度上比后一種高，故被廣泛采用。映射法 的基本思想是:在簡(jiǎn)單區(qū)域內(nèi)采用某種映射函數(shù)構(gòu)造簡(jiǎn)單區(qū)域的邊界點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)，并按 某種規(guī)則連接結(jié)點(diǎn)構(gòu)成網(wǎng)格單元。這種方法可以很方便地生成四邊形和六面體單元 若需要，也很容易轉(zhuǎn)換成三角形和四面體單元。該法的主要缺點(diǎn)：首先必須將待分區(qū) 域子劃分為所要求的簡(jiǎn)單區(qū)域，這是一個(gè)十分復(fù)雜且很難實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化的過(guò)程。對(duì)復(fù) 雜域采用手工方法劃分甚至

6、不可能。通常各簡(jiǎn)單區(qū)域邊界采用等份劃分。另外，該法在控制單元形狀及網(wǎng)格密度方面是困難的。鑒于簡(jiǎn)單區(qū)域自動(dòng)劃分的困難 性Blacker試圖采用知識(shí)系統(tǒng)和聯(lián)合體素方法解決，但在復(fù)雜多孔域上仍難以處理, 主要是體素?cái)?shù)量和形狀有限，將待分區(qū)域全自動(dòng)劃分為有限的預(yù)定體素并集是很難 完全實(shí)現(xiàn)的。(2拓?fù)浞纸夥ㄔ诓豢紤]網(wǎng)格單元大小和形狀情況下，Worde nweber提出了使用三種算子連接 多邊形各頂點(diǎn)形成粗三角形的二維拓?fù)浞纸夥?，然后?xì)化粗單元至預(yù)定規(guī)定的網(wǎng)格 密度為止。三種算子使用順序?yàn)?opj?opl?opO。同時(shí),Wordenweber也提出了在三維 域使用opj(i=0,1,2,3和opp五種算子

7、剖分實(shí)體。Woo、Thomasma和Saxena等擴(kuò)充 了該法并將其有效地應(yīng)用到多面體實(shí)體有限元自動(dòng)網(wǎng)格生成中。Saxe na稱(chēng)該法為EE法,并已與RSD法混合使用構(gòu)成RSD/EE法。單一的拓?fù)浞纸夥ㄒ蛑灰蕾囉趲缀?體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)使網(wǎng)格剖分不理想，有時(shí)甚至很差。(3幾何分解法凡在產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)的同時(shí)也確定結(jié)點(diǎn)間連接關(guān)系的方法均稱(chēng)為幾何分解法，常用的有兩種:遞歸法和迭代法。遞歸法：Tracy、左建政和Chae等先離散二維物體邊界，然后沿離散邊界向物體內(nèi)挖掉 一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)三角形，重復(fù)此操作直到區(qū)域挖空為止。Lindhom、Blacker和B.P. Johnston等使用的迭代法不同于前者，首先從物體中

8、挖掉邊界層而不是單元，然后三 角化邊界層。上述為二維迭代法,Chae在此基礎(chǔ)上發(fā)展了三維迭代幾何分解法，主 要分兩步：采用二維迭代幾何分解法生成表面三角形，然后采用三種算子挖切凸體為 四面體。在挖切時(shí)，突出的特點(diǎn)在于采用新方法生成關(guān)鍵點(diǎn)。關(guān)鍵點(diǎn)的生成分兩步 考慮:一是考慮新點(diǎn)對(duì)周?chē)婧瓦叺挠绊?；二是通過(guò)調(diào)整比例因子來(lái)確定新點(diǎn)位置。 Chae也將所提出的算法成功地應(yīng)用于自適應(yīng)網(wǎng)格生成中，但由于被剖分物體形狀必 須是單連通凸域，因此，不能實(shí)現(xiàn)全自動(dòng)網(wǎng)格生成。迭代法:Bykat采用該法。他首先將物體劃分為凸體(手工或自動(dòng),隨后根據(jù)網(wǎng)格密度分 布,在每個(gè)凸體邊界上插入結(jié)點(diǎn)，然后將物體中間 最長(zhǎng)軸”一分

9、為二,在該軸上插入結(jié) 點(diǎn),繼續(xù)對(duì)兩部分做遞歸分割直到最后子域均為三角形為止。商業(yè)網(wǎng)格生成軟件 Triquamesh仍采用該法,只是分割線的選取與Bykat不同。幾何分解法的最大優(yōu)點(diǎn) 是在離散物體時(shí)考慮網(wǎng)格單元的形狀和大小，因此,所生成的網(wǎng)格單元形狀和分布均 較好。最大缺點(diǎn)是自動(dòng)化程度低，不利于復(fù)雜件網(wǎng)格生成。(4網(wǎng)格模板法(RSD法Shephard Perucchio Saxena Sapidis和Yerry等是這種方法成功運(yùn)用的主要 代表。網(wǎng)格模板法生成有限元網(wǎng)格主要分兩步(以介紹三維實(shí)體為主：其一、將待分實(shí)體用適當(dāng)大小的立方體箱(樹(shù)根完全包容，按一化八”原則遞歸 離散，然后對(duì)每個(gè)八分塊按如

10、下方法進(jìn)行分類(lèi):ProcedureModClassCell(Cell,S=(IN,OUT,NIO If (八分塊中至少有一個(gè)頂點(diǎn)為OUT且至少有 一個(gè)頂點(diǎn)為IN then NIO Else if (Cell (*S=( then OUT Else if (Cell (*S=Cell the IN Else NIO End; procedure對(duì)于IN的八分塊繼續(xù)遞歸離散直到預(yù)定水平級(jí)為 止,OUT的八分塊不再劃分,NIO的八分塊進(jìn)一步子劃分，且分類(lèi)直到預(yù)定水平級(jí)為 止。稱(chēng)終了 IN和NIO八分塊的并集為RSD模型。其二,對(duì)已經(jīng)形成的RSD模型，目前已有多種生成網(wǎng)格的處理方法。主要有三種:RSD

11、/GDT法、RSD/EE法和RSD/DDT法。它們主要有以下特點(diǎn)： RSD/EE法不能處理曲面實(shí)體、非流形體和不連通實(shí)體。與此相反,RSD/DDT法卻能處理有孔的任意曲面實(shí)體、非流形體和不連通實(shí)體，而且所形成四面體形狀質(zhì)量良好。 RSD/DDT法根據(jù)需要以滿足條件為準(zhǔn)則插入新點(diǎn)，因此所插入的新點(diǎn)數(shù)量少 而RSD/GDT法則會(huì)插入許多冗余點(diǎn) RSD/GDT法使用點(diǎn)/實(shí)體分類(lèi)，使時(shí)間復(fù)雜性至少大一個(gè)數(shù)量級(jí)，而RSD/DDT法不使用點(diǎn)/實(shí)體分類(lèi)，因此,RSD/DDT法平均時(shí)間復(fù)雜性為 0(N2,N為實(shí) 體S的總表面數(shù)。RSD/EE法具有不確定的時(shí)間復(fù)雜性。 RSD/DDT法完全建立網(wǎng)格圖素拓?fù)湟灰粚?duì)

12、應(yīng)，因此拓?fù)涫墙∪?，與此相 反,RSD/GDT法是拓?fù)洳唤∪摹８鞣N RSD法的優(yōu)點(diǎn)是網(wǎng)格生成完全自動(dòng)，網(wǎng)格剖 分速度快，非常適用于自適應(yīng)網(wǎng)格生成。主要缺點(diǎn)是邊界單元形狀難于完全保證。 另外,RSD法對(duì)物體的方向特別敏感。(5結(jié)點(diǎn)連元法結(jié)點(diǎn)連元法是先生成結(jié)點(diǎn)，然后連接結(jié)點(diǎn)構(gòu)成單元。最常用的是 DT法和AFM 法。DT法的基本原理：任意給定N個(gè)平面點(diǎn)Pi(i=1,2,，構(gòu)成的點(diǎn)集為S,稱(chēng)滿足下列條件的點(diǎn)集Vi為Voronoi多邊形。其中,Vi滿足下列條件:Vi = X:|X- Pi|(|X- Pj|,X(R2,i(j,j=1,2, 為凸多邊形，稱(chēng) Vimi=1 為 Dirichlet Tess

13、elation 圖或?qū)ε嫉腣oronoi圖。連接相鄰Voronoi多邊形的內(nèi)核點(diǎn)可構(gòu)成三角形 Tk,稱(chēng)集合 Tk 為 Delaunay三角剖分。DT法的最大優(yōu)點(diǎn)是遵循 最小角最大”和空球”準(zhǔn)則。因此，在 各種二維三角剖分中，只有Delaunay三角剖分才同時(shí)滿足全局和局部最優(yōu)。最小角最大”準(zhǔn)則是在不出現(xiàn)奇異性的情況下，Delau nay三角剖分最小角之和均大于任何非 Delaunay剖分所形成三角形最小角之和?？涨颉睖?zhǔn)則是Delaunay三角剖分中任意三角形的外接圓(四面體為外接球內(nèi)不包括其他結(jié)點(diǎn)。實(shí)現(xiàn)Delaunay三角剖分有多鐘方法。Lee和Schachter操作很有效，但很難實(shí)現(xiàn)。而Wa

14、tson、Cline和Renka Sloan因操作容易、時(shí)間效率較好等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛采用。為了進(jìn)一步提高 效率,Sloan研究其算法操作，提出了時(shí)間復(fù)雜性為O(N(N為結(jié)點(diǎn)總數(shù)的操作方法,從 而為快速Delaunay三角剖分提供了有效途徑。雖然 DT法既適用于二維域也適用 于三維域，但直接的Delaunay三角剖分只適用于凸域，不適用于非凸域，因此發(fā)展了 多種非凸域的Delaunay剖分。AFM法的基本原理：設(shè)區(qū)域的有向離散外邊界集和邊界前沿點(diǎn)集已經(jīng)確定，按某種條件沿區(qū)域邊界 向區(qū)域內(nèi)部扣除三角形（四面體直到區(qū)域?yàn)榭占?。AFM法的關(guān)鍵技術(shù)有兩個(gè)：一是區(qū)域的邊界離散和和內(nèi)點(diǎn)的合理生成。二是扣 除三

15、角形條件。目前，扣除三角形的條件有多種。a最短距離條件。選取到該區(qū)域邊界前沿垂直距離最短的點(diǎn)或到邊界前沿端點(diǎn)距離平方和最小的 點(diǎn)構(gòu)成三角形（四面體。b最大角條件。在平面區(qū)域選與有向邊界前沿 BC邊構(gòu)成角（BAC最大的A點(diǎn)。實(shí)體區(qū)域選與 有向邊界前沿三角形（ABC構(gòu)成的四面體ABCD在D點(diǎn)實(shí)體角最大的點(diǎn)。這種選取 點(diǎn)構(gòu)成三角形（四面體方法可靠，但由于對(duì)應(yīng)于同一邊界前沿可能存在多個(gè)最大角情 況，我們稱(chēng)這種現(xiàn)象為奇異現(xiàn)象。c最大形狀質(zhì)量條件。選取與邊界前沿所構(gòu)成的三角形（四面體形狀質(zhì)量最大的點(diǎn)構(gòu)成有效剖分。d最小外接圓（球條件，即空球條件。選取與邊界前沿構(gòu)成的三角形（四面體中外接圓（球半徑最小的點(diǎn)構(gòu)

16、成有效剖 分。即在所形成的三角形（四面體中不包含任何其他邊界前沿點(diǎn)集。單一使用上述 四種四面體扣除條件均會(huì)出現(xiàn)奇異情況。使用后兩者扣除單元都將可能引起剖分不 可靠,如不可剖分及單元相交等。AFM法最大優(yōu)點(diǎn)是不僅在區(qū)域內(nèi)部而且在區(qū)域邊 界所生成的網(wǎng)格單元形狀均優(yōu)良，網(wǎng)格生成全自動(dòng),可剖分任意實(shí)體。如果將板/殼、 實(shí)體和梁采用統(tǒng)一的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，則可采用該原理實(shí)現(xiàn)不同維數(shù)和多種材料等混合工 況結(jié)構(gòu)件的網(wǎng)格自動(dòng)剖分。若配合誤差估計(jì)，則這種方法在自適應(yīng)網(wǎng)格再生技術(shù)中 使用效果甚佳。目前的發(fā)展趨勢(shì)是采用 AFM/DT混合法。在平面域已得到了成功 地實(shí)現(xiàn)，但三維實(shí)體區(qū)域仍存在多鐘問(wèn)題，例如:可能出現(xiàn)剖分不可靠

17、和奇異等現(xiàn)象。4.自動(dòng)自適應(yīng)網(wǎng)格剖分有限元的自適應(yīng)性就是在現(xiàn)有網(wǎng)格基礎(chǔ)上，根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果估計(jì)計(jì)算誤 差、重新剖分網(wǎng)格和再計(jì)算的一個(gè)閉路循環(huán)過(guò)程。當(dāng)誤差達(dá)到預(yù)規(guī)定值時(shí)，自適應(yīng)過(guò)程結(jié)束。因此，有效的誤差估計(jì)和良好的自適應(yīng)網(wǎng)格生成是自適應(yīng)有限元分析兩 大關(guān)鍵技術(shù)。就目前國(guó)外研究來(lái)看，自動(dòng)自適應(yīng)網(wǎng)格生成從大的方面可分為兩類(lèi)：網(wǎng) 格增加技術(shù)和網(wǎng)格再生技術(shù)。(1網(wǎng)格增加技術(shù)該法主要依靠增加自由度總數(shù)來(lái)提高有限元分析的精度。目前主要采用三種類(lèi) 型方法提高有限元分析精度:h-型、p-型、和h-p-型。h-型采用有選擇地進(jìn)一步子劃 分網(wǎng)格單元來(lái)細(xì)化網(wǎng)格以提高自由度。該法使用特別廣泛，RSD模型的網(wǎng)格改進(jìn)正是利用該法。p-型在保持網(wǎng)格劃分不變的情況下，通過(guò)提高插值函數(shù)的階數(shù)獲得高 的求解精度。h-p-型是將h-型和p-型兩種結(jié)合的一種方法。該法雖然實(shí)現(xiàn)不容易 但它卻可使收斂速率明顯加快。實(shí)踐表明，在獲得同一精度時(shí)，上述三種類(lèi)型收斂速 率是按h-型?p-型?h-p-型順序增加的。 形成封閉環(huán)。從內(nèi)部等值線和區(qū)域邊界中獲得邊界鏈，并按正確順序連接邊界鏈和內(nèi)部等值線鏈構(gòu)成圭寸閉環(huán)。 形成子區(qū)域。子區(qū)域的結(jié)點(diǎn)密度等于區(qū)域邊界結(jié)點(diǎn)密度的平均值。 網(wǎng)格生成。采用二維平面網(wǎng)格生成方法構(gòu)成三角形。從理