奧數(shù)精品講義第8講數(shù)陣圖與數(shù)字謎--深圳清華實(shí)驗(yàn)學(xué)校佘珊珊

1、人生的意義就在于人的自我完善高爾基第八講 數(shù)陣圖與數(shù)字謎教學(xué)目標(biāo)1. 熟悉數(shù)陣圖與數(shù)字謎的題目特點(diǎn)；2. 掌握數(shù)陣圖與數(shù)字謎的解題思路。經(jīng)典精講數(shù)陣圖數(shù)陣圖是把一些數(shù)按照一定規(guī)則填在某一特定圖形的規(guī)定位置上而來(lái)的圖形，有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)陣。【例1】 （年“希望杯”第二試）在右圖所示內(nèi)填入不同的數(shù)，使得三條邊上的三個(gè)數(shù)的和都是，若、的和為，則三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)數(shù)的和是_?！痉治觥?由于每條邊上的三個(gè)數(shù)的和都是，所以把這三條邊上的三個(gè)數(shù)的和都加起來(lái)，總和應(yīng)為，在其中，、各算了一次，三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)數(shù)各算了兩次，所以三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)數(shù)的和為?！纠?】 （年天津“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）將這十二個(gè)自然數(shù)分別填

2、入右圖的個(gè)圓圈內(nèi)，使得每條直線上的四個(gè)數(shù)之和都相等，這個(gè)相等的和為_(kāi)?！痉治觥?由于每條直線上的四個(gè)數(shù)之和都相等，設(shè)這個(gè)相等的和為，把所有條直線上的四個(gè)數(shù)之和相加，得到總和為；另一方面，在這樣相加中，由于每個(gè)數(shù)都恰好在兩條直線上，所以每個(gè)數(shù)都被計(jì)算了兩遍。所以，得到，即所求的相等的和為。【例3】 （年“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”決賽）如右圖所示，表示這個(gè)各不相同的數(shù)字。表中的數(shù)為所在行與列的對(duì)應(yīng)字母的和，例如“”。請(qǐng)將表中其它的數(shù)全部填好?！痉治觥?由于，所以，所以和只能是和。因此可以推出：，?？傻糜蚁聢D?！纠?】 （年“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽）從、這個(gè)數(shù)中選出個(gè)不同的數(shù)放入的方格表中，使得每行、

3、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等。這個(gè)數(shù)中最多有_個(gè)質(zhì)數(shù)?！痉治觥?中的質(zhì)數(shù)有、，共個(gè)。如果這個(gè)質(zhì)數(shù)都用上，無(wú)論另外一個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，根據(jù)奇偶性分析，都無(wú)法滿足題目的要求。所以個(gè)質(zhì)數(shù)不可能都用上，最多只能用個(gè)。若用個(gè)，只有用、這個(gè)奇數(shù)，再加上兩個(gè)奇數(shù)和時(shí)，恰好是個(gè)連續(xù)奇數(shù)，方格表可以填出，如右圖。故這個(gè)數(shù)中最多有個(gè)質(zhì)數(shù)。前鋪 在右圖的每個(gè)空格中填入一個(gè)數(shù)字，使得每行、每列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于。分析 我們知道填圖的幻方每行、每列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于，而本題中的幻方每行、每列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于，比填圖的幻方大了，相當(dāng)于每個(gè)數(shù)都大了，所以只需要把填圖的幻

4、方中的每個(gè)數(shù)都加就可以了。前鋪 將、填入的方格內(nèi)，使其構(gòu)成一個(gè)幻方。分析 （法）：中心數(shù)為，然后將其余個(gè)數(shù)分為組，每組兩個(gè)數(shù)的和是，把它們分別填入圖中關(guān)于中心格對(duì)稱(chēng)的格子內(nèi)，實(shí)驗(yàn)可得結(jié)果，如右圖。答案不唯一，僅供參考。（法）：其實(shí)會(huì)學(xué)習(xí)的小朋友知道利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的一些典型題目的結(jié)果加以變形得到新題的答案。事實(shí)上我們可以把本題中的幻方看作是填圖的幻方相應(yīng)位置的數(shù)字乘以再減得來(lái)的。推廣開(kāi)來(lái)可以知道等差數(shù)列填圖的三階幻方幾乎都具有相似的形式?！纠?】 在右圖所示立方體的八個(gè)頂點(diǎn)上標(biāo)出中的八個(gè)，使得每個(gè)面上四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)數(shù)字之和都等于，并且不能被未標(biāo)出的數(shù)整除?！痉治觥?標(biāo)出的八個(gè)數(shù)之和是每面四個(gè)數(shù)之和

5、的倍，是偶數(shù)，的和為 ，因此未標(biāo)出的數(shù)是一個(gè)奇數(shù)，只能是、中的一個(gè)，并使余下八個(gè)數(shù)之和的一半不能被這個(gè)數(shù)整除，由于、都不滿足這一條件，依此可知未標(biāo)出的數(shù)是。下面用余下的個(gè)數(shù)填圖，每面四個(gè)數(shù)之和為：。如果已知某一面上四個(gè)數(shù)的和為，那么與其平行的面上的四數(shù)之和也必為。因此我們只考慮有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面即可。下面我們考慮以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面，由于，不共面，因此在頂點(diǎn)的對(duì)頂點(diǎn)上，有公共點(diǎn)的三個(gè)面上，每面其余三個(gè)數(shù)之和為，且每?jī)蓚€(gè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)，由此試驗(yàn)易得三個(gè)面上的數(shù)分別為：，填圖如右下圖。數(shù)字謎數(shù)字謎，顧名思義就是猜數(shù)字，它是與數(shù)字有關(guān)的一類(lèi)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題?！纠?】 （年湖北省“創(chuàng)新杯”初賽）如右圖

6、，加法算式中，七個(gè)方格中的數(shù)字之和等于_。【分析】 由加法算式中的百位要向千位進(jìn)位知百位的數(shù)字和為，但兩個(gè)加數(shù)的百位之和最大為，由于十位最多向百位進(jìn)，這說(shuō)明兩個(gè)加數(shù)的百位數(shù)字都是。同理可知兩個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字都是，且個(gè)位之和向十位進(jìn)，所以這兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字之和為。所以七個(gè)方格中的數(shù)字之和為?！纠?】 （年“我愛(ài)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)”）右圖加法算式中相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字，那么漢字“我愛(ài)夏令營(yíng)”表示的位數(shù)是_?！痉治觥?兩個(gè)五位數(shù)相加得到一個(gè)六位數(shù)，由于這兩個(gè)五位數(shù)均小于，所以它們的和小于，所以圖中的“數(shù)”小于，故“數(shù)”。由于“我愛(ài)夏令營(yíng)”“數(shù)學(xué)夏令營(yíng)好”“數(shù)學(xué)夏令營(yíng)”“數(shù)學(xué)夏

7、令營(yíng)”“好”，所以“我”。而圖中加法算式的千位最多向萬(wàn)位進(jìn)，所以“學(xué)”只能為或。由于“學(xué)”與“數(shù)”不同，所以“學(xué)”不能為，只能是。圖中算式可簡(jiǎn)化為“愛(ài)夏令營(yíng)”“夏令營(yíng)”“夏令營(yíng)好”，即“愛(ài)”“夏令營(yíng)”“夏令營(yíng)”“夏令營(yíng)”“好”。得“愛(ài)”“夏令營(yíng)”“好”，所以“好”是的倍數(shù)。由于“好”不能是，所以“好”，“夏令營(yíng)”“愛(ài)”。由于“愛(ài)”、“夏”、“令”、“營(yíng)”均不能為、，經(jīng)試驗(yàn)只有當(dāng)“愛(ài)”時(shí)，“夏令營(yíng)”符合條件。所以“我愛(ài)夏令營(yíng)”表示的位數(shù)是。前鋪 （年“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”決賽）如右圖所示，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字?！懊烂顢?shù)學(xué)花園”代表的位數(shù)最小為_(kāi)。分析 本題中個(gè)數(shù)的和

8、是一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都相同的四位數(shù)，由于加法算式中百位上沒(méi)有進(jìn)位，所以和的千位上只能是，因此“好”。要使“美妙數(shù)學(xué)花園”代表的位數(shù)最小，則“美”、“妙”都要盡可能小?！懊烂睢薄皵?shù)學(xué)”“花園”，由于“數(shù)學(xué)”“花園”最大只能為，所以“美妙”不小于。但是“妙”不能與“好”和“美”相同，所以“美妙”最小為，此時(shí)“數(shù)學(xué)”最小為，“花園”為，所以這個(gè)六位數(shù)最小為?！纠?】 （年“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽）請(qǐng)?jiān)谟覉D每個(gè)方框中填入一個(gè)數(shù)字，使乘法豎式成立?！痉治觥?設(shè)被乘數(shù)為，乘數(shù)為。由于，所以，且（這是因?yàn)樽疃嘞蚴贿M(jìn)，而是一個(gè)偶數(shù)，從而不向十位進(jìn)位）。又由且知為奇數(shù)（若為偶數(shù)，那么的十位數(shù)字為，但，這是

9、不可能的），那么向十位進(jìn)，所以最小為，又顯然小于（若大于等于，那么將是四位數(shù)），于是。這時(shí)只能為，只能為。所以。再由知只能為。所以這個(gè)乘法算式的被乘數(shù)與乘數(shù)分別為和，乘法豎式如圖所示。【例9】 （年香港圣公會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）在右圖中的除法算式中，只知道、兩個(gè)數(shù)字，其余殘缺的數(shù)字都用表示。補(bǔ)上殘缺的數(shù)字后，那么被除數(shù)是_。【分析】 這個(gè)除法算式從相除的過(guò)程可以看出，商數(shù)的十位和千位均為；除數(shù)的倍是一個(gè)三位數(shù)，而除數(shù)與商的萬(wàn)位相乘，積為兩位數(shù)，可知萬(wàn)位數(shù)字為，同樣可知商的個(gè)位數(shù)字也為，即商為；又一個(gè)兩位數(shù)的兩倍必小于，故第一次剩余（即被除數(shù)的前三位與除數(shù)之差）為。而一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)之差為，只能是，

10、故被除數(shù)前三位為“”，而除數(shù)為，由此可知，被除數(shù)為?！纠?0】 （年北京“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評(píng)選活動(dòng)決賽）將數(shù)字填入下面方框，每個(gè)數(shù)字恰用一次，使得下列等式成立：現(xiàn)在“”、“”已經(jīng)填入，當(dāng)把其他數(shù)字都填入后，算式中唯一的減數(shù)（處）是_。【分析】 首先可以估算四位數(shù)的取值范圍。四位數(shù)不大于，不小于，所以四位數(shù)的首位數(shù)字只能是。再由四位數(shù)與的和能被整除，可以確定四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是偶數(shù)，只能是或。若為，那么四位數(shù)與的和的個(gè)位數(shù)字為，所以十位數(shù)字必須為偶數(shù)，只能是。這個(gè)四位數(shù)要大于，只能是，而，與相差。但此時(shí)剩下的三個(gè)數(shù)字為、，無(wú)法用這三個(gè)數(shù)字湊出。所以四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字不能是。四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字

11、是時(shí)，十位數(shù)字為奇數(shù)，只能是、或。當(dāng)四位數(shù)的十位數(shù)字為時(shí)，四位數(shù)只能是，而，與相差。但剩下的三個(gè)數(shù)字、不能湊出；當(dāng)四位數(shù)的十位數(shù)字為時(shí)，四位數(shù)只能是，而，與相差。但剩下的三個(gè)數(shù)字、不能湊出；當(dāng)四位數(shù)的十位數(shù)字為時(shí)，四位數(shù)可能是或。若為，則由，與相差，但剩下的三個(gè)數(shù)字、不能湊出；若為，有；當(dāng)四位數(shù)的十位數(shù)字為時(shí)，四位數(shù)只能是，而，與相差。但剩下的三個(gè)數(shù)字、不能湊出。綜上可知本題只有唯一答案。算式中唯一的減數(shù)是。【例11】 表示進(jìn)制中的一個(gè)三位數(shù)，請(qǐng)解決如右所示進(jìn)制中的數(shù)字謎（不同的字母表示不同的數(shù)）。請(qǐng)確定,的值，并帶入下式進(jìn)行計(jì)算：_。（注：此時(shí)的結(jié)果請(qǐng)寫(xiě)成十進(jìn) 制的）。【分析】 在進(jìn)制中，由

12、于個(gè)位的最多向十位進(jìn)，十位的,互不相同，它們最大分別為和，所以，所以十位最多向百位進(jìn)，同理可知百位最多向千位進(jìn)，所以只能為。由于最大為，則，即百位向千位進(jìn)后最多還剩下，即最大為，又因?yàn)椴煌淖帜副硎静煌臄?shù)，不能與相同，所以只能為。而不能為、，所以，即，所以。附加題目【附1】 （年北京“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評(píng)選活動(dòng)初賽）在右圖除法豎式的每個(gè)方格中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字使豎式成立，并使商盡量大。那么，商的最小值是_。【分析】 如果商的個(gè)位數(shù)字為，那么除數(shù)為多。由于除數(shù)乘以商的千位數(shù)字得到一個(gè)四位數(shù)，且這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)字為，所以商的千位數(shù)至少是才可滿足這一條件（如果是，那么乘積為位數(shù)；如果是，那么乘積

13、在與之間，百位數(shù)字不可能是）。如果商的個(gè)位數(shù)字為，則除數(shù)不小于，不大于，同上分析可知，商的千位數(shù)至少是才可滿足式中條件。如果商的個(gè)位數(shù)字大于等于，由于除數(shù)與商的千位數(shù)字之積是一個(gè)四位數(shù)，比除數(shù)與商的個(gè)位數(shù)字之積（多）要大，所以商的千位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字，所以此時(shí)商的千位數(shù)字至少為。由以上分析可知，當(dāng)商的個(gè)位數(shù)字為時(shí)，商的千位數(shù)字可以為，此時(shí)商的千位數(shù)字最小，故商也最小。當(dāng)商的千位數(shù)字為時(shí)，由于十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，此時(shí)除數(shù)為多，商的百位數(shù)字與除數(shù)的乘積也是四位數(shù)，而且這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)字為，所以商的百位數(shù)字不能是、，至少為才能滿足式中條件。所以商的最小值不小于。另外，滿足式中條件，所以商的最小

14、值為?！靖?】 （年首屆全國(guó)數(shù)學(xué)資優(yōu)生思維能力測(cè)試）在右圖的除法算式中，只知道、四個(gè)數(shù)字，補(bǔ)上殘缺的數(shù)字后，那么被除數(shù)是_。【分析】 設(shè)商的百位數(shù)字為，十位為。由于與除數(shù)之積的十位為，所以只可能為、；由于與除數(shù)之積的個(gè)位為，所以只可能為、。取為時(shí)，除數(shù)只能為。若取為，豎式謎中第五行數(shù)為，那么豎式的第四行與第五行的十位數(shù)字之差只可能為或（第四行的十位數(shù)字需向百位數(shù)字借位），這樣第七行的百位數(shù)字為或，而除數(shù)與一位數(shù)的乘積的百位數(shù)字最大只能為。矛盾。所以此時(shí)不能為。若為，則豎式的第五行為，此時(shí)豎式的第四行與第五行的十位數(shù)字之差至少為，所以商的個(gè)位數(shù)只能為或。試驗(yàn)可知滿足條件。用上述方法類(lèi)似分析其他情

15、況，可知和也滿足式中條件。鞏固精練1. 在這十三個(gè)自然數(shù)中選十二個(gè)填在圖中的空格內(nèi)，使每橫行四數(shù)之和相等，每豎行三數(shù)之和相等?！痉治觥?首先由和的整除性質(zhì)，確定使用哪十二個(gè)數(shù)填圖。由于每橫行四數(shù)之和相等，每豎行三數(shù)之和相等，知這十二個(gè)數(shù)之和既是的倍數(shù)也是的倍數(shù)，因此是的倍數(shù)，而，由此可知不用填圖的數(shù)字是，所選十二個(gè)數(shù)之和為：，每橫行四個(gè)數(shù)之和為：，每豎行三個(gè)數(shù)之和為：。由于豎行和為，因此可知，在不同豎行，而只能跟或在同一豎行，由此可確定豎行分組有如下兩種情況：，或，。再根據(jù)橫行和為，易得如下兩種結(jié)果：2. 圖中的正方形的每一個(gè)方格內(nèi)的字母都代表一個(gè)數(shù)，已知其每行、每列以及兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和

16、都相等。若，。那么是多少？【分析】 由于，所以，即，所以。3. 右圖中不同的漢字代表中不同的數(shù)字，當(dāng)算式成立時(shí)，“中國(guó)”這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)最大是多少?【分析】 從圖中可以看出，“新”，因?yàn)橐埂爸袊?guó)”盡量大，所以可以假定“中”。因?yàn)槭幌嗉?含個(gè)位的進(jìn)位)等于，所以“北奧”在中的取值有三種可能：；。再考慮到“國(guó)京運(yùn)”的個(gè)位數(shù)字是，經(jīng)試算，只有“北”、 “奧”等于、時(shí)滿足，此時(shí)“國(guó)”、“京”、“運(yùn)”等于、，“國(guó)”取其中最大的，得到“中國(guó)”最大是。4. 右面式中不同的漢字代表不同的數(shù)字，問(wèn)：“數(shù)學(xué)好玩”表示的四位數(shù)是多少?【分析】 由積的千位數(shù)知“數(shù)”，由積的十位數(shù)知“學(xué)”，由積的百位數(shù)知“

17、玩”。豎式化簡(jiǎn)為下式。由于“真”“好”，所以“真”，“好”，“啊”。所以，“數(shù)學(xué)好玩”。 排球是一位名叫威廉基摩根的體育干事于年在美國(guó)發(fā)明的。半個(gè)多世紀(jì)后的年日本東京奧運(yùn)會(huì)賽場(chǎng)上，男子排球和女子排球比賽同時(shí)亮相奧運(yùn)會(huì)賽場(chǎng)。至年雅典奧運(yùn)會(huì)，奧運(yùn)會(huì)排球比賽的規(guī)模已由最初的支男隊(duì)和支女隊(duì)發(fā)展到男女各支隊(duì)伍。迄今為止，共有支男隊(duì)（蘇聯(lián)、日本、波蘭、美國(guó)、巴西、荷蘭、南斯拉夫）和支女隊(duì)（日本、蘇聯(lián)、中國(guó)、古巴）榮膺過(guò)奧運(yùn)會(huì)排球冠軍的殊榮。排球年進(jìn)入中國(guó)，并在新中國(guó)生長(zhǎng)壯大，中國(guó)女排在年中國(guó)首次參加奧運(yùn)會(huì)時(shí)便一鳴驚人，奪得桂冠，年后又在雅典重溫奧運(yùn)會(huì)冠軍夢(mèng)，將她們的世界冠軍頭銜增加到個(gè)。一個(gè)富有卻很吝嗇的人不幸將自己裝有50萬(wàn)現(xiàn)金的公文包丟失了。他怎么找也找不見(jiàn)，著急得要命，于是，只好報(bào)警，并聲稱(chēng)誰(shuí)要拾到公文包并交還給他，他將獎(jiǎng)給這個(gè)人5萬(wàn)元現(xiàn)金。 不久，便有人將公文包送到警察局，富人見(jiàn)到自己的公文包失而復(fù)得