二輪復(fù)習(xí)函數(shù)與方程思想.

1、二輪函數(shù)與方程思想【知識要點】1.應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列,不等式 ,圓錐曲線等方面的問題.2.應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決有關(guān)的實際問題.【典型例題精析】例 1.已知集合 A( x, y) | x 2mxy20,B( x, y) | x y1 0,且0 x2 .如果 AB,求實數(shù) m 的取值范圍 .解：由xx2mxy20,得 x2( m1) x10y10(0x2) AB,方程在區(qū)間 0,2上至少有一個實根 .由(m1)24 0 ,得 m 3或 m 1.當(dāng) m3時 ,由 x1x2(m1)0 及 x1 x210 知 ,方程只有負(fù)根 ,不符合要求 .當(dāng) m1時 ,由 x1x2(m1)0及 x1 x21

2、0 知 ,方程只有正根 ,且必有一根在區(qū)間(0,1 內(nèi),從而方程至少有一個實根在區(qū)間0,2 內(nèi) .綜上所述 , m 的取值范圍是 (,1 .例 2.設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項的和為 Sn ,已知 a312, S120, S130 .(1) 求公差 d 的取值范圍；(2) 指出 S1 , S2 ,.,S12 中哪一個值最大 ,并說明理由 .【分析】第 (1)問利用公式 an 與 Sn 建立不等式 ,容易求解 d 的范圍；第 (2) 問利用 Sn 是 n 的二次函數(shù) ,將 Sn 中哪一個值最大 ,變成求二次函數(shù)中n 為何值時 Sn 取最大值的函數(shù)最值問題 .解： (1) 由212 ,得到,da

3、1122da3 a1所以 S1212a166d12(122d )66d14442d0 ,S1313a178d13(122d )78d15652d0 ,24解得 :d3.7(2) Snna11n(122d )11) dn(n 1)dn(n22d n1 (524)2 d 1 (524) 2 ,22d2 2d因為 d0 ,故 n1 (524 ) 2 最小時 , Sn 最大 .由24d32d7得 61 (524 )6.5 6<1,故正整數(shù) n6 時 n1 (524)2 最小 ,2d22d所以 S6最大 .【點評】 數(shù)列的通項公式及前n 項和公式實質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù),因此可利用函數(shù)思想來

4、分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題.也可以利用方程的思想,設(shè)出未知的量 ,建立等式關(guān)系即方程 , 將問題進(jìn)行算式化,從而簡潔明快 .由次可見 ,利用函數(shù)與方程的思想來解決問題,要求靈活地運(yùn)用、巧妙的結(jié)合,發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨創(chuàng)性.例 3.設(shè) f ( x)12 x4 x a(,1 時 f (x) 有意義 ,求實數(shù) a 的取值范圍 .3,如果當(dāng) x【分析】當(dāng) x(,1 時 , f (x)12x4x a3有意義的函數(shù)問題 ,轉(zhuǎn)化為1 2 x4x a0 在 x(,1 上恒成立的不等式問題 .解: 由題設(shè)可知,不等式 12 x4x a0 在 x(,1 上恒成立 ,即： (1) 2 x(1) xa0

5、 在 x(,1 上恒成立 .22設(shè) t( 1) x ,則 t1,又設(shè) g(t )t 2ta ,其對稱軸為 t1,222 ( 1) 2x( 1 ) xa0在1,) 上無實根 ,即 g( 1 )(1)21a 0 ,得 a3.22232224所以 a 的取值范圍是a.4【點評】對于不等式恒成立問題,引入新的參數(shù)化簡了不等式后,構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性解決問題 ,其中也聯(lián)系到了方程無解,體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想.一般地 ,我們在解題中要抓住二次函數(shù)及其圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系,將問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化 .例 4.求過定點 P(0,1) 且與拋物線 y22x只有一個公共點的直線方

6、程 .解：當(dāng)直線斜率不存在時,直線方程為x0 ,直線與拋物線相切,符合條件 .當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線方程為ykx1 ,ykx1k 2 x22(k1) x10由方程組y2消去 y 得2x直線與拋物線只有一個公共點,方程只有一個實根.若 k0 ,則方程為2x 10 , 解得 x1, y1 ,2此時直線方程為y 1,直線與拋物線只有一個公共點( 1 ,1) ,符合條件 .2若 k0,由直線與拋物線只有一個公共點,得4(k1)2420 ,k k1,所求直線方程為y1 x1.22綜上所述 ,所求直線方程為x0 或 y1或 y1 x1.2例 5.如圖 , AB 是圓 O 的直徑 , PA 垂直于圓 O

7、所在平面 , C 是圓周上任一點 ,設(shè) BAC, PAAB2r ,求異面直線 PB 和 AC 的距離 .【分析】異面直線 PB 和 AC 的距離可看成求直線PB 上任意一點到AC 的距離的最小值 ,從而設(shè)定變量 ,建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值 .解：在 PB上任取一點 M ,作MD AC于 D,MH AB于H ,P設(shè) MHx ,則 MH 平面 ABC , AC HD .MD2x2( 2rx) sin 2MAHB(sin21)x24rx sin24r2sin2DC(sin 21)x 2 x2r sin 2 24r 2 sin 21 sin 21 sin 2即當(dāng) x2r sin 2時 , MD 取最

8、小值2r sin 1 sin 21sin2為兩異面直線的距離 .【點評】 本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離 ”變成 “求異面直線上兩點之間距離的最小值 ”,并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題 ”一.般地 ,對于求最大值、最小值的實際問題 ,先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言后,再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式,然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識進(jìn)行解答.比如再現(xiàn)性題組第8 題就是典型的例子 .例 6.設(shè)計一幅宣傳畫 ,要求畫面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為(1) ,畫面的上 ,下各留 8cm 空白 , 左 ,右各留 5cm 空白 ,怎樣確定畫面的高與寬的尺寸, 使宣傳畫所用紙張面

9、積最??？解: 設(shè)畫面的高為xcm,則畫面的寬為4840 cm ,所用紙張的面積為ycm2,2)( 4840x4840由題設(shè) ,得 y( x852)484010x16160 ,xx500010 x16484050002101648406760 ,x當(dāng)且僅當(dāng) 10x164840,即 x88(cm) 時取等號 ,此時484055(cm) .xx當(dāng)畫面高為88cm ,寬為 5cm 時 ,所用紙張面積最小.【當(dāng)堂反饋】1.已知函數(shù) yf ( x) 有反函數(shù) ,則方程 f ( x)a(a為常數(shù) )（B ）A. 有且僅有一個實根B. 至多有一個實根C. 至少有一個實根D. 沒有實根2.方程 ax22x 10

10、 至少有一個負(fù)根的充要條件是（C）A. 0 a 1B. a 1C. a 1D. a 0或 0 a 13.對于滿足0p4 的一切實數(shù) ,不等式 x2px4xp3恒成立 ,則 x 的取值范（B）.A. (,0)B. (,1)(3,)C.(1,3)D. (3,)4.已知是方程 x2x4的根,是方程 x log 2x4 的根 ,那么所在的區(qū)間為（ C）A.(0,1)B. (1,3)C. (3,5)D. (5,)5.設(shè) f (x)x 22 xlg a (lg a)21,若 f ( x) 對應(yīng)于0x1的曲線段位于x 軸的上方 , 則a 滿足（D ）A. a1B. a10 2C.10 2a10D.0a10

11、2 或 a106. 若 直 線 y kx1 與 曲 線 xy 2 1 有 兩 個 不 同 的 交 點 , 則 實 數(shù) k 的 取 值 范 圍 是（C）A.2k2B. 1k2C.2k1D.k2或 k27.a, bR ,3231a3216b15 ,b 的值為Ca9a40和 b6b（）已知且滿足則 aA.0B.5C. 5D.558.如果函數(shù) f (x)x2bxc 對于任意實數(shù)t ,都有 f (2t )f ( 2t ) ,那么(A)A. f (2)f (1)f (4)B. f (1)f (2)f (4)C.f ( 2)f (4)f (1)D. f (4)f (2)f (1)9.已知函數(shù) f (x)x2

12、2xa1,) ,當(dāng) a17x, x2時,函數(shù) f ( x) 的最小值是 _.210.若正數(shù)a, b滿足aba b3 則 ab 的取值范圍是_. 9,),11.設(shè)函數(shù) f ( x)| x | xbxc , 給出下列命題：b0,c0 時 ,f ( x)0只一個實根； c0 時 ,f (x) 是奇函數(shù)；yf (x) 的圖象關(guān)于點(0,c)對稱；方程f (x)0 至多有2 個實根 .上述命題中的所有正確命題的序號是_.12.將長度為1 的鐵絲分成兩段 ,分別圍成一個正方形和一個圓形,要使正方形和圓形的面積之和最小 ,正方形的周長應(yīng)為 _.4413.求函數(shù) yx23x1的值域 .x2x1解:函數(shù)的定義域

13、為R,由 yx23x1得 ( y1)x 2( y3) x( y1)0.x2x1 xR ,方程有實數(shù)根 ,因此 ,（1）當(dāng) y1時 ,方程有實數(shù)根 x0 ；（2）當(dāng) y1時 ,方程有實數(shù)根等價與其判別式0 ,即( y3) 24( y1)20 , 解得 1y5 且 y1.3綜合（ 1） ,（ 2）得原函數(shù)的值域是1,5 .3點評：將函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化為二次方程有解問題,最終轉(zhuǎn)化為解的判別式問題,這是典型的用方程知識尋求函數(shù)結(jié)論的解題方法.14.設(shè) a 0,a1,試求方程 log a ( xak ) loga 2 ( x2a 2 ) 有實數(shù)解的 k 的范圍 .解：將原方程化為：log a ( xak

14、)log ax 2a2,等價于xak02 (a0,a1), kx( x )21(| x |1) .xakx2aaaa設(shè) xcos,(,0)(0,) ,則 kf ()csc| cot| .a22當(dāng)(,0) 時, f ( )csccotcot故 k1；1,22當(dāng)(0,) 時, f ()csccottan(0,1)故 0k1.22,綜上所述 , k 的取值范圍是： k1或 0k1.【點評】 求參數(shù)的范圍 ,分離參數(shù)后變成函數(shù)值yC 1域的問題 ,觀察所求函數(shù)式,引入新的變量, 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題,在進(jìn)行三角換元時,要注C 2意新的變量的范圍.一般地 ,此種思路可以解決有關(guān)不等式、 方程、 最大

15、值和最小值、 參數(shù)范圍之類的問題 .本題還用到了分離參數(shù)法、三角換元-ak法、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.-aa15. 已知 ABC 三內(nèi)角 A 、 B 、 C 的大小成等差數(shù)列 ,且 tan A tanC23,又知頂點 C 的對邊c上的高等于4 3求ABC 的三邊a、 b、c及三內(nèi)角.,解:由 A、 B、C成等差數(shù)列 ,可得 B60 ；由ABC 中 tan Atan Btan Ctan Atan B tan C ,得tan AtanC tan B(tan A tanC1)3(13) .設(shè) tan A, tan C 是方程 x2(33)x 2 30 的兩根 ,解得 x11, x2 2 3 ,設(shè)

16、 AC ,則 tan A1,tanC23 , A,C54,12由此容易得到 a8,b46,c434 .16.已知 (0,5) 是中心在原點 ,長軸在 x 軸上的橢圓的一個頂點3,離心率為.2(1) 求橢圓的方程；（ 2）直線 y1 xm 與橢圓交于 A, B 兩點 ,橢圓的左 ,右焦點分別為F1和 F2 ,求以 F1F2 和2AB 為對角線的四邊形F1 AF2 B 面積的最大值 .解: （ 1）設(shè)橢圓方程為x2y21,由已知 b5, ec3a2b2a,2e2c 2a2a 2b 21b2, 153 , 解得 a220 ,a 2a 2a 24x2y21.故所求橢圓方程為520x2y 212052m

17、x2m20 ,(2) 由方程組消去 y ,得 x210y1 xm24m24(2m210)4m2400 ,解得10m10 ,令 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,S四邊形 F AFB1 | F1F2 | | y1y2 | 12 15 | 1 x11 x2 |15 | x1 x2 | 15 10 m21222222當(dāng) m0 時 , S四邊形 F1 AF2B 的最大值為 5 6 .【課外練習(xí)】1.若定義在區(qū)間 (1,0) 內(nèi)的函數(shù)f ( x)log 2a (x1) 滿足 f ( x)0,則 a的取值范圍是（ A ）A. (0,1)B.(0, 1C.(1,)D.(0,)2222.設(shè)

18、 xR ,如果 alg | x3 | x 7 |) 恒成立 ,那么（ D）A. a 0B. a 1C.0 a 1D.0 a 13.若關(guān)于 x的方程 2x1x2a0 有實數(shù)解 ,則 a 的取值范圍是（ B ）A. (,1)B.(,1 )C. (1 ,)D.(1,)224.已知函數(shù) yf (2x1)是偶函數(shù) ,則函數(shù) yf ( x) 的對稱軸一定是（ C）A. x0B. x1C. x1D. x1221已知sincos,則 tan 的值是(A)5.() ,52A.4B.3C.43343D.46.方程 lg xx3的解所在的區(qū)間為(C)A. (0,1)B. (1,2)C. ( 2,3)D. (3,)已

19、知函數(shù)f (x)| 2x1|,abc 且f (a)則(A)7.,f (b) f (c) ,A. a 0,b0,c0B.a0, b0, c0C.2 a2cD. 2a2c28.方程 sin 2xsin x 在區(qū)間 (0,2) 內(nèi)解的個數(shù)是(C)A.1B.2C.3D.49.曲線 y2x 4 上的點到直線 yx1 的距離的最小值為（ D）A. 22C.2D.52B.316210. （ 2004年江蘇卷12 ）設(shè)函數(shù)xR) ,區(qū)間 M a,b( ab) ,集合f ( x)( x1| x |N y | yf (x), xM ,則使 MN 成立的實數(shù)對(a,b) 有（A ）A.0 個B.1 個C.2 個D.

20、無數(shù)多個11.若方程x2(2a)x(5 a)0的兩個根都大.2,a_.(5,4)）于 2 則實數(shù)12.若實數(shù) x, y3x22 y26x ,x2y2 的取值范圍是_. 0,4則13. 對于滿足 0 p 4 的所有實數(shù) ,使不等式 x2 ( p 4)x p 3 成立的 x 的取值范圍是_.14.已知點P( x, y)在曲線x24 y24,M (0,3)的距離的最大值為_.4上則點P到點15.某中學(xué)的一個研究性學(xué)習(xí)小組共有10 名同學(xué) ,其中男生 x (3x 9) 名 , 現(xiàn)在從中選出 3人參加一項調(diào)查活動,若至少有一名女生去參加的概率為f ( x),則 f (x)max719_.72016. 建

21、造一個容積為 8m3 ,深為 2m 的長方體無蓋水池 ,如果池底和池壁的造價每平方米分別為 120 元和 80 元 ,則水池的最低造價為_.176017.對于任意的xR 均有x4ax2a300( aR) ,x的方程| a 1| 12求關(guān)于xa3的根的范圍 .解: x242300 對任意的 xR 均成立 且 aR,ax a,1624( 230)0, 即 2a2a 15 0 ,解得5a 3 .aa2原方程化為 x(| a1| 1)( a 3) . 令 xf (a) ,當(dāng)5a1時 , f ( a) (2 a)(a 3)a2a 6(a1)2 25 ,224 f (5)9 , f (1 )25,f (1

22、)4f (5 ) ,9x25.2424244當(dāng) 1 a 3 時 , f (a) a(a 3) (a3) 29 ,324(1,3,f (1)4, f(3)18 , 4 x18 .29綜上所述 ,原方程的根x 的取值范圍是 ,18 .18.已知函數(shù) f ( x)x22x .(1) 若 f (x)a在 1,3 上有解 ,求實數(shù) a 的取值范圍；（ 2）若 f (x)a 在1,3上恒成立 ,求實數(shù) a 的取值范圍 .解：（ 1） f (x)a 在1,3上有解 ,只要 a f ( x) max 即可 .而 f ( x)x22x 在 1,3上有最大值f (3)15 , a15 .(2) f ( x)a 在

23、 1,3 上恒成立 ,必須 a f ( x) min .而 f (x)x 22x在 1,3 上有最小值 f (1)3 , a3 .注意：第（ 1） ,（ 2）小題的區(qū)別 ,一般地 , yf (x) 在閉區(qū)間上有如下結(jié)論（a 為常數(shù)）： a f ( x) af ( x)有解a f ( x) max ； af ( x) 有解a f (x) min ；恒成立a f (x) min ； af (x) 恒成立a f ( x) max .19. 已知函數(shù) f ( x)x32x 2x4, g( x)ax 2x8 .(1) 若對任意的 x 0,) 都有 f ( x)g ( x),求實數(shù) a 的取值范圍；（ 2

24、）若對任意的 x1, x2 0,) 都有 f ( x1 )g( x2 ) ,求實數(shù) a 的取值范圍 .解：（ 1）令( )()()3(2)24,F xfxg xxa x F ( x)0在0,) 上恒成立 F (x) min0( x 0,) .F ( x)3x 22(2a)x3x x2(a2) .3當(dāng) a2 時 , F (x)0 , F (x) 在 (0,)上遞增 , F (x) minF (0)40 , a2符合題意 .當(dāng) a2 0 ,即 a2 時,且當(dāng) 0x2a 4時 , F (x)0 ；32a4當(dāng) x時 ,F (x)0 .3F (2a4 )當(dāng) x 0, ) 時, F ( x) min0 , ( a3) 327 2 a 5 .3綜上所述 ,實數(shù) a 的取值范圍為 (,5 .20.一動直線和圓 C : x2y 22x 2 y 0 相切 ,此直線和 x 軸 , y 軸的交點分別為A,B ,且OA a, OB b(a 2, b2).(1) 問 a,b 之間滿足什么等量關(guān)系式？（ 2）求 OAB 面積的最小值 .解：圓的方程為( x 1) 2( y1) 21,圓心為