分離變量通關(guān)50題（含答案）.doc

1、分離變量通關(guān)50題（含答案）|_| 分離變量通關(guān) 50 題（含答案） 1.已知函數(shù) ƒ _ = ln_ − a ，其中 a ∈ R _ （1） 當(dāng) a = 時(shí)，求函數(shù) ƒ _ 的圖象在點(diǎn) 1 ƒ 1 處的切線方程； （2） 如果對(duì)于任意 _ ∈ 1 h ∞ ，都有 ƒ _ gt;− _ h ，求 a 的取值范圍 2.已知定義在 R 上的函數(shù) ƒ _ _ − 1 （1） 若 &fnof

2、; _ = 3 ，求 _ 的值； （2） 若 t ƒ t h ƒ t ≤ 0 對(duì)于 t ∈ 1 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 3.已知函數(shù) ƒ _ = _ h _ h a （1） 當(dāng) a = 1 時(shí)，求不等式 ƒ _ gt; 1 的解集； （2） 若對(duì)于任意 _ ∈ 1 h ∞ ƒ _ gt; 0 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 4.已知函數(shù) ƒ _ = _ − ， g _ = ln_ _ （1） 當(dāng)

3、 = 時(shí)，求曲線 y = ƒ _ 在點(diǎn) 1 ƒ 1 處的切線方程； （2） 若 _ ∈ 1 e 時(shí)，不等式 ƒ _ − g _ 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 5.設(shè)函數(shù) ƒ _ = _ h h ln _ ，已知曲線 y = ƒ _ 在點(diǎn) 1 ƒ 1 處的切線與直線 _ h y = 0 垂直 （1） 求 h 的值； （2） 若函數(shù) g _ = e _ 取值范圍 − a a G 0 ，且 g _ 在區(qū)間 0 h ∞

4、上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的 6.設(shè)函數(shù) ƒ _ = _ 3 − 9a _ h t_ （1） 當(dāng) a = 1 時(shí)，求函數(shù) ƒ _ 的單調(diào)區(qū)間； （2） 若對(duì) _ ∈ 1 h 都有 ƒ _ gt; 0 成立，求 a 的取值范圍 ƒ _ _h1 _ 7.已知函數(shù) ， ƒ _ = _ _ ≤ 1 1 0 _ 1 ，g _ = aƒ _ − _ − ，a ∈ R _ （1） 當(dāng) a =

5、0 時(shí)，若 g _ ≤ _ − 1 h h 對(duì)任意 _ ∈ 0 h ∞ 恒成立，求實(shí)數(shù) h 的取值范圍； （2） 當(dāng) a = 1 時(shí)，求函數(shù) y = g _ 的最小值 8.已知 a ¯ = t sin _ 1 ， ¯ h = sin _ h cos _ 1 ，函數(shù) ƒ _ = a¯ · ¯ h ，且 _ ∈ （1） 若 t = 1 ，求 ƒ _ 的最大值； 0 π （2） 若

6、對(duì)任意 _ ∈ 0 π ，函數(shù) ƒ _ ≤ 恒成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 9.已知函數(shù) ƒ _ = 3 h1 （1） 求 a 的值； h a a ∈ R 為奇函數(shù) （2） 當(dāng) 0 ≤ _ ≤ 1 時(shí)，關(guān)于 _ 的方程 ƒ _ h 1 = t 有解，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 10.已知 ƒ _ = ln e _ h 1 h a_ 是偶函數(shù)， g _ = e _ − he −_ 是奇函數(shù) （1）

7、求 a，h 的值； （2） 判斷 g _ 的單調(diào)性（不要求證明）； （3） 若不等式 g ƒ _ gt; g − _ 在 1 h ∞ 上恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 11.定義 g _ = ƒ _ − _ 的零點(diǎn) _ 0 為 ƒ _ 的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù) ƒ _ = a_ h h h 1 _ h h − 1 a G 0 （1） 當(dāng) a = 1 ， h =− 時(shí)，求函數(shù) ƒ _ 的不動(dòng)點(diǎn)； （2） 對(duì)于任意實(shí)數(shù)

8、h ，函數(shù) ƒ _ 恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （3） 若函數(shù) g _ 只有一個(gè)零點(diǎn)且 h gt; 1，求實(shí)數(shù) a 的最小值 12.已知函數(shù) ƒ _ = _ h aln_ （1） 當(dāng) a =− 時(shí)，求函數(shù) ƒ _ 的單調(diào)區(qū)間； （2） 若 g _ = ƒ _ h 在 1 h ∞ 上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 _ 1 h 13.設(shè)函數(shù) ƒ _ = ln_ h k ， k ∈ R _ （1） 若曲線 y = &fno

9、f; _ 在點(diǎn) e ƒ e 處的切線與直線 _ − = 0 垂直，求 ƒ _ 的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值（其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）； （2） 若對(duì)任意 _ 1 gt; _ gt; 0 ， ƒ _1 − ƒ _ _1 − _ 恒成立，求 k 的取值范圍 14.設(shè)函數(shù) ƒ _ = ln_ h ， ∈ R _ （1） 當(dāng) = e （ e 為自然數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求 ƒ _ 的極小值； （2） 討論函數(shù) g _ = &am

10、p;fnof;" _ − _ 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； 3 （3） 若對(duì)任意 h gt; a gt; 0 ， ƒ h −ƒ a h−a 1 恒成立，求 的取值范圍 15.已知定義在 − 1 1 上的函數(shù) ƒ _ 滿足：對(duì)任意 _ y ∈ − 1 1 都有 ƒ _ h ƒ y = ƒ _ h y （1） 求證：函數(shù) ƒ _ 是奇函數(shù)； （2） 如果當(dāng) _ &

11、amp;isin; − 1 0 時(shí)，有 ƒ _ 0 ，試判斷 ƒ _ 在 − 1 1 上的單調(diào)性，并用定義證明你的判斷； （3） 在（）的條件下，若 a − 8_ h 1 gt; 0 對(duì)滿足不等式 ƒ _ − 恒成立，求 a 的取值范圍 h ƒ − _ 0 的任意 _ 1 −g _ 1hg _ 16.函數(shù) ƒ _ = a_ − _ h ln_ ， a 為常數(shù) （1）

12、當(dāng) a = 1 時(shí)，求 ƒ _ 的最大值； （2） 若函數(shù) ƒ _ 在區(qū)間 1 上為單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍 17.已知函數(shù) ƒ _ = _ − 1 _ （1） 用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù) ƒ _ 在區(qū)間 0 h ∞ 上為增函數(shù)； （2） 方程 t · ƒ h t − ƒ t = 0 ，當(dāng) t ∈ 1 時(shí)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 18.奇函數(shù) ƒ _ = 的定義域?yàn)?R ，其中 y

13、 = g _ 為指數(shù)函數(shù)且圖象過(guò)點(diǎn) 9 （1） 求函數(shù) y = ƒ _ 的解析式； （2） 若對(duì)任意的 t ∈ 0 h ，不等式 ƒ t h t h k h ƒ − t h t − h gt; 0 恒成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍 19.設(shè) ƒ _ = _e _ ， g _ = 1 _ h _ （1） 令 F _ = ƒ _ h g _ ，求 F _ 的最小值； （2） 若任意 _ 1 _ ∈ − 1 h &am

14、p;infin; 且 _ 1 gt; _ 有 ƒ _ 1 − ƒ _ gt; g _ 1 − g _ 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 20.已知二次函數(shù) g _ = _ − _ h h 1 gt; 0 在區(qū)間 （1） 求函數(shù) g _ 的解析式； 0 3 上有最大值 h，最小值 0 （2） 設(shè) ƒ _ = g _ − _ 若 ƒ _ − k · _ ≤ 0 在 _ ∈ _ &min

15、us; 3 3 時(shí)恒成立，求 k 的取值范圍 21.設(shè)數(shù)列 a 的前 項(xiàng)和為 S ， a1 = 1，當(dāng) ≤ 時(shí)，a = a S − S （1） 求數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式； （2） 是否存在正數(shù) k ，使 1 h S 1 1 h S 1 h S ≤ k 在，求 k 的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 對(duì)一切正整數(shù) 都成立?若存 h1 22.己知函數(shù) ƒ _ = _ h e − _ （ ∈ R ， e 是自然對(duì)數(shù)的底） （1） 若函數(shù) ƒ _ 在點(diǎn) 1 ƒ 1 處

16、的切線方程為 _ h e y − 3 = 0 ，試確定函數(shù) ƒ _ 單調(diào)區(qū)間； （2） 當(dāng) =− 1 ， ∈ R 時(shí)，若對(duì)于任意 _ ∈ 1 ，都有 ƒ _ ≤ _ 恒成立，求實(shí)數(shù) 的最小 值； 當(dāng) = = 1 時(shí)，設(shè)函數(shù) g _ = _ ƒ _ h t ƒ " _ h e − _ t ∈ R ，是否存在實(shí)數(shù) a h a ∈ 0 1 ， 使得 g a h g h g a

17、 ? 若存在，求出 t 的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由 23.已知函數(shù) ƒ _ = ln_ − _ k ∈ R （1） 若曲線 y = ƒ _ 在點(diǎn) 1 ƒ 1 處的切線斜率為 10 ，求函數(shù) ƒ _ 的最大值； （2） 若不等式 _ ƒ _ h 1 _h1 ≤ 0 與 k ≤ 1 _ h e − _ − e _ − 7 在 1 h ∞ 上均恒成立，求實(shí) 數(shù) k

18、 的取值范圍 24.已知函數(shù) ƒ _ = _ h h aln_ _ （1） 若 ƒ _ 在區(qū)間 3 上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （2） 設(shè) ƒ _ 的導(dǎo)函數(shù) ƒ " _ 的圖象為曲線 C ，曲線 C 上的不同兩點(diǎn) A _ 1 y 1 ， B _ y 所在直線的斜率為 k，求證：當(dāng) a ≤ h 時(shí)，|k| gt; 1 k _ 25.已知函數(shù) ƒ _ = a_ h ln_ ，其中 a 為常數(shù)，設(shè) e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) （1） 當(dāng) a =− 1 時(shí)，求 &a

19、mp;fnof; _ 的最大值； （2） 設(shè) g _ = _ƒ _ ， h _ = a_ − a − 1 _ h a − 1 ，若 _ ≤ 1 時(shí)， g _ ≤ h _ 恒成立 ， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 26.已知函數(shù) ƒ _ = _ − e _ h a_ a ∈ R （1） 試確定函數(shù) ƒ _ 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； （2） 設(shè) _ 1 ， _ 是函數(shù) ƒ _ 的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng) _1 h _ &le

20、; 時(shí)，求 a 的取值范圍 27.已知函數(shù) ƒ _ = _ h _ h aln_ a ∈ R （1） 討論函數(shù) ƒ _ 的單調(diào)性； （2） 當(dāng) t ≤ 1 時(shí)，不等式 ƒ t − 1 ≤ ƒ t − 3 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 28.已知函數(shù) ƒ _ = _ − aln_ （1） 若 ƒ _ 在 3 h 上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （2） 記 g _ = &a

21、mp;fnof; _ h h a ln_ − h − 1 _ ，并設(shè) _ 1 ， _ _1 _ 是函數(shù) g _ 的兩個(gè)極 值點(diǎn)，若 h ≤ 7 ，求 g _ 1 − g _ 的最小值 π _ 29.已知函數(shù) ƒ _ = _ ，曲線 y = ƒ _ 在點(diǎn) e ƒ e 處的切線與直線 _ h y = 0 垂直（其中 e 為 ln_ 自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） （1） 求 ƒ _ 的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間； （2） 是否存在常數(shù) k ，使得對(duì)于定義域內(nèi)的

22、任意 _ ， ƒ _ gt; k h ln_ 恒成立，若存在，求出 k 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 30.已知函數(shù) ƒ _ = _ − aln_ a ∈ R （1） 當(dāng) a = 時(shí)，求曲線 ƒ _ 在 _ = 1 處的切線方程； （2） 設(shè)函數(shù) h _ = ƒ _ h 1ha ，求函數(shù) h _ 的單調(diào)區(qū)間； _ （3） 若 g _ =− 1 h a ，在 1 e e = .718 8 上存在一點(diǎn) _ 0 ，使得 ƒ _ 0 ≤ g _

23、 0 成立，求 a 的取值范圍 31.已知函數(shù) ƒ _ = cos _ − ， g _ = e _ · ƒ ′ _ ，其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) （1） 求曲線 y = g _ 在點(diǎn) 0 g 0 處的切線方程； （2） 若對(duì)任意 _ ∈ − π 0 ，不等式 g _ ≤ _ · ƒ _ h 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍； （3） 試探究當(dāng) _ ∈ π π 時(shí)，方程 g _

24、= _ƒ _ 的解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由 h _ 32.已知 a ∈ R ，函數(shù) ƒ _ = e _ − a_ （ e = .718 8是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） （1） 若函數(shù) ƒ _ 在區(qū)間 − e − 1 上是減函數(shù)，求 a 的取值范圍； （2） 若函數(shù) F _ = ƒ _ − e _ − a _ h ln _ h a 在區(qū)間 0 1 內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，求 a 的最大值 33.已知函數(shù) ƒ _ = ln

25、 _ h h _ − a ， ƒ _ 在點(diǎn) 1 ƒ 1 處的切線方程為 _ h y h h = 0 （1） 求 ƒ _ 的解析式； （2） 求 ƒ _ 的單調(diào)區(qū)間； （3） 若函數(shù) ƒ _ 在定義域內(nèi)恒有 ƒ _ ≤ ln_ h k_ 成立，求 k 的取值范圍 34.設(shè)函數(shù) ƒ _ = ln_ − 1 a_ − h_ （1） 當(dāng) a = h = 1 時(shí)，求函數(shù) ƒ _ 的單調(diào)區(qū)間

26、； （2） 令 F _ = ƒ _ h 1 a_ h h_ h a 0 _ ≤ 3 ，其圖象上任意一點(diǎn) P _ 0 y 0 處切線的斜率 _ k ≤ 1 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 （3） 當(dāng) a = 0 ， h =− 1 時(shí)，方程 ƒ _ = _ 在區(qū)間 1 e 內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的取值 范圍 35.已知函數(shù) ƒ _ = ln_ ，函數(shù) y = g _ 為函數(shù) ƒ _ 的反函數(shù) （1） 當(dāng) _ gt; 1 時(shí)， g _ gt; a_ h 1 恒成立，求 a 的取值

27、范圍； （2） 對(duì)于 _ gt; 0 ，均有 ƒ _ ≤ h_ ≤ g _ ，求 h 的取值范圍 36.設(shè)函數(shù) ƒ _ = ln _ h 1 ，若對(duì)任意 _ ≤ 1 ，都有 ƒ _ ≤ a_ ∈ N _恒成立 （1） 求 a 的取值范圍； （2） 求證：對(duì)任意 _ ≤ 1 ， ln e _ − _ h 1 ≤ ∈ N _ 37.已知函數(shù) ƒ _ = aln_ − _

28、， g _ = λ − 1 _ h λ − 1 _ − （1） 討論函數(shù) ƒ _ 的單調(diào)性； （2） 當(dāng) a = 時(shí)，有 ƒ _ ≤ g _ 恒成立，求整數(shù) λ 的最小值 e _ −_ e−1 38.已知函數(shù) ƒ _ = 1 _ − aln_ h a − _ ， a ∈ R （1） 當(dāng) a =− 1 時(shí)，求函數(shù) ƒ _ 的極值； （2） 當(dāng) a 0 時(shí)，討論函數(shù) ƒ _ 單調(diào)性； （3） 是否存在實(shí)數(shù) a ，對(duì)任意的 ∈ 0 h ∞ ，且 G ，有 ƒ &am