北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)-5高階線性ppt課件

1、高階線性微分方程一、概念的引入一、概念的引入例例: :設(shè)有一彈簧下掛一重物設(shè)有一彈簧下掛一重物,如果使物體具有一個(gè)初如果使物體具有一個(gè)初始速度始速度00 v,物體便離開平衡位置物體便離開平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振動(dòng)附近作上下振動(dòng).試確定物體的振動(dòng)規(guī)律試確定物體的振動(dòng)規(guī)律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢復(fù)力恢復(fù)力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物體自由振動(dòng)的微分方程物體自由振動(dòng)的微分方程,sin ptHF 若若受受到到鉛鉛直直干干擾擾力力pthxkdtdxndtxdsin2222

2、強(qiáng)迫振動(dòng)的方程強(qiáng)迫振動(dòng)的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串聯(lián)電路的振蕩方程串聯(lián)電路的振蕩方程二階線性微分方程二階線性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次方程解的結(jié)構(gòu): :定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(1xy與與)(2xy是方程

3、是方程(1)(1)的兩個(gè)的兩個(gè)解解, ,那末那末2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是常是常數(shù)）數(shù)）)1(0)()( yxQyxPy )(11yCxP )(11yCxQ0證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊代入方程左邊, 得得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC 不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy那么為解決通解的判別

4、問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念. 問題問題: :一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211yCyCy 定義：設(shè)定義：設(shè)nyyy,21為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的n個(gè)函數(shù)如果存在個(gè)函數(shù)如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)，使得個(gè)不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)當(dāng)x在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立 02211 nnykykyk，那么稱這那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間個(gè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)線性相關(guān)線性相關(guān)否則否則稱稱線性無關(guān)線性無關(guān)例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無關(guān)線性無關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)),( x例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sinco

5、s122xx故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都線性相關(guān);又如，,12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān).思索思索:)(),(21xyxy若中有一個(gè)恒為中有一個(gè)恒為 0, 那那么么)(),(21xyxy必線性必線性相關(guān)相關(guān)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:)(),(21xyxy線性相關(guān)線性相關(guān)存在不全為存在不全為 0 的的21, kk使使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設(shè))01k)(),(

6、21xyxy線性無關(guān)線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)常數(shù)0)()()()(2121xyxyxyxy(證明略)21, yy可微函數(shù)線性無關(guān)線性無關(guān)定理定理 2 2：如果：如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)線的兩個(gè)線性無關(guān)的特解性無關(guān)的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)且 xyy.sincos21xCxCy 推論推論. nyyy,21若是是 n 階齊次方程階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 個(gè)線性無關(guān)解個(gè)線性無關(guān)解

7、, 則方程的通解為則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCy2.2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu): :定定理理 3 3 設(shè)設(shè)*y是是二二階階非非齊齊次次線線性性方方程程)2()()()(xfyxQyxPy 的的一一個(gè)個(gè)特特解解, , Y是是與與( (2 2) )對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*yYy 是是二二階階非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. .證證: 將將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYx

8、PY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對(duì)應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因此 也是通解 .定理定理 4 4 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是幾個(gè)函是幾個(gè)函數(shù)之和數(shù)之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原

9、方程的特解就是原方程的特解. .解的疊加原理解的疊加原理推行.), ,2, 1()(nkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1則)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 常數(shù)常數(shù), 則該方程的通解是則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線都是二階非齊次線性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyC

10、yCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . (反證法可證)3322311)()()(yyyCyyCC 3322311)()()(yyyCyyCD例例4. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 個(gè)解個(gè)解,2321xxeyeyxy求此方程滿足初始條件求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .解解:1312yyyy與是對(duì)應(yīng)齊次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常數(shù)因而線性無關(guān), 故原方程通解為)()(221xeCxeCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2,

11、121CC得.22xxeey故所求特解為有三有三 三、降階法與常數(shù)變易法三、降階法與常數(shù)變易法1.1.齊次線性方程求線性無關(guān)特解齊次線性方程求線性無關(guān)特解-降階法降階法的的一一個(gè)個(gè)非非零零特特解解，是是方方程程設(shè)設(shè))1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 劉維爾公式劉維爾公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(211

12、211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降階法降階法的一階方程的一階方程 v2.2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-常數(shù)變易法常數(shù)變易法設(shè)對(duì)應(yīng)齊次方程通解為設(shè)對(duì)應(yīng)齊次方程通解為2211yCyCy (3)設(shè)非齊次方程通解為設(shè)非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 設(shè)設(shè)0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyx

13、QyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系系數(shù)數(shù)行行列列式式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 積分可得積分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齊次方程通解為非齊次方程通解為.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx對(duì)應(yīng)齊方一特解為對(duì)應(yīng)

14、齊方一特解為,1xey 由劉維爾公式由劉維爾公式 dxeeeydxxxxx1221,x 對(duì)應(yīng)齊方通解為對(duì)應(yīng)齊方通解為.21xeCxCY 例例,)()(21xexcxxcy 設(shè)原方程的通解為設(shè)原方程的通解為應(yīng)應(yīng)滿滿足足方方程程組組，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解為原方程的通解為. 1221 xxeCxCyx思考題思考題 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所

15、所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的通通解解.解答解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是對(duì)應(yīng)齊次方程的解是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,21223xeyyyyx 常數(shù)常數(shù)所求通解為所求通解為.221xCeCx 122231yyCyyCy 四、小結(jié)四、小結(jié)主要內(nèi)容主要內(nèi)容線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性相關(guān)與線性無關(guān)；線性相關(guān)與線性無關(guān)；降階法與常數(shù)變易法；降階法與常數(shù)變易法；例5.0) 1( yyxyx的通解為,21xeCxCY 的通解.解解: 將所給方程化為將所給方程化為:1111 xyxyxxy已知齊次方程求2) 1() 1( xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用,建立方程組: 021vevxx121xvevx, 121xexvv解得積分得xexCvxCv) 1(,2211故所求