多元函數(shù)的極值與最值ppt課件

1、7.5多元函數(shù)的極值與最值一、問題的提出二、多元函數(shù)的極值與最值三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大利潤(rùn)？取得最大利潤(rùn)？xyyx4570 yx7680 每天的利潤(rùn)為

2、每天的利潤(rùn)為 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大利潤(rùn)即為求二元函數(shù)的最大值求最大利潤(rùn)即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 播放播放二、多元函數(shù)的極值和最值1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). .例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz

3、定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不不妨妨設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處有有極極大大值值,則則對(duì)對(duì)于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一

4、元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推推廣廣 如如果果三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxP具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則它它在在),(000zyxP有有極極值值的的必必要要條條件件為為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.例例如如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是是函函數(shù)數(shù)xyz 的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)的

5、點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：注意： 對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，定定理理 2 2（充充分分條條件件）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，例例2 2 設(shè)設(shè) 是常數(shù)，求是常數(shù)，求 z z 的極值。的極值。解：解：解方程組解方程組 得實(shí)數(shù)解為得實(shí)數(shù)解為222()(2)02()(2)

6、0 xyfaxbyyfbyaxx( , )(0,0)(0,2 )(2 ,0)(2 ,2 )a bbaab22(2)xxfbyy 4()()xyfax by22(2)yyfaxx 2(2)(2)0zaxxbyyab、且對(duì)駐點(diǎn)對(duì)駐點(diǎn)(a,b)(a,b)有有所以點(diǎn)所以點(diǎn)(a,b)(a,b)是極大值點(diǎn)，極值為是極大值點(diǎn)，極值為2( , )20 xxAfa bb( , )0 xyBfa b2( , )20yyCfa ba22240BAa bC22maxx ay bzza b對(duì)駐點(diǎn)對(duì)駐點(diǎn)(0,0)(0,0)有有所以點(diǎn)所以點(diǎn)(0,0)(0,0)不是極值點(diǎn)。不是極值點(diǎn)。 對(duì)駐點(diǎn)對(duì)駐點(diǎn)(0,2b)(0,2b)、

7、 (2a,0) (2a,0)、 (2a,2b) (2a,2b)可用類可用類似方法判斷，并得到它們均不是極值點(diǎn)。似方法判斷，并得到它們均不是極值點(diǎn)。22204160ACBabBACa b求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第一步第一步 解方程組解方程組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點(diǎn)點(diǎn).第第二二步步 對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)),(00yx，求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C.求最值的一般方法：求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在及在D D的邊界上的最大值和最小值相

8、互比的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值為最小值. . 若若D D內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則必為最值內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則必為最值點(diǎn)。點(diǎn)。 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值例例3 3 某企業(yè)生產(chǎn)兩種商品的產(chǎn)量分別為某企業(yè)生產(chǎn)兩種商品的產(chǎn)量分別為x x單位和單位和y y單單 位，利潤(rùn)函數(shù)為位，利潤(rùn)函數(shù)為 L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14 L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14

9、， 求最大利潤(rùn)。求最大利潤(rùn)。解：解：0064440(,)(40,24)48320 xyLxyx yLxymax(40,24)1650LL(x0,y0)=(40,24)(x0,y0)=(40,24)為極大值點(diǎn)，就為極大值點(diǎn)，就 是最大值點(diǎn)。是最大值點(diǎn)。(40,24)440 xxxxLAL(40,244)4xyxyBLL8(40,24)8yyyyLCL 20016BACA, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,解解 由由即即邊邊界界上上的的值值為為零零.,21)21,21( z,21

10、)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .因?yàn)橐驗(yàn)?1lim22 yxyxyx無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件域內(nèi)外，并無其他條件.實(shí)例：實(shí)例： 小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效用函數(shù)為效用函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果xyy

11、xyxUlnln),( 問題的實(shí)質(zhì)：求問題的實(shí)質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)yxyxUlnln),( 200108 yx三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值值解解223323020012xyzLx y zLx yzLx yLxyz 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(，.691224623max u那那么么故故最最大大值值為為 例例6 設(shè)某工廠生產(chǎn)設(shè)某工廠生產(chǎn)A和和B兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量?jī)煞N產(chǎn)品，產(chǎn)量分別分別 為為x x和和y y單位：千件），利潤(rùn)函數(shù)為單位：千件），利潤(rùn)函數(shù)為22( , )61642L x yxxyy（

12、單位：萬元）（單位：萬元） 已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時(shí)，每千件產(chǎn)品均已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時(shí)，每千件產(chǎn)品均 需消耗某種原料需消耗某種原料20002000公斤，現(xiàn)有該原料公斤，現(xiàn)有該原料 12000 12000公斤，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少千公斤，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少千 件時(shí)，總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？件時(shí)，總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？解：由題意，解：由題意，1200012000公斤原料能生產(chǎn)公斤原料能生產(chǎn) 千件產(chǎn)品。千件產(chǎn)品。 因此因此1200012000公斤原料，所生產(chǎn)的兩種產(chǎn)品的千件數(shù)公斤原料，所生產(chǎn)的兩種產(chǎn)品的千件數(shù) x x，y y 須滿足條件須滿足條件 x + y = 6 x + y = 6120

13、006200022( , , )(61642)(6)F x yxxyyxy6201.616803.82.260 xyFxFyxyFxy這樣，問題就是：在這樣，問題就是：在x+y=6的條件下，求的條件下，求 L(x,y)的最大值。的最大值。 當(dāng)當(dāng) x0=3.8千件），千件），y0=2.2千件時(shí)千件時(shí),總利潤(rùn)最大，總利潤(rùn)最大， 最大利潤(rùn)為最大利潤(rùn)為 L(3.8, 2.2) = 36.72萬元）萬元）的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz