復變函數與積分變換ppt課件

1、復變函數與積分變換第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 引言引言: : 在十六世紀中葉，在十六世紀中葉，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次在研究一元二次方程方程 時引進了復數。他發(fā)現這個方程沒有根，并時引進了復數。他發(fā)現這個方程沒有根，并把這個方程的兩個根形式地表為把這個方程的兩個根形式地表為 。在當時，。在當時，包括他自己在內，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。事實上，包括他自己在內，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。事實上，復數被復數被Cardano引入后，在很長一段時間內不被人們所理睬，并引入后，在很長一段時間內不被人們所理睬，并被認為是沒有意義的，不能接受的被認為是沒

2、有意義的，不能接受的“虛數虛數”。直到十七與十八世紀，。直到十七與十八世紀，隨著微積分的產生與發(fā)展，情況才有好轉。特別是由于隨著微積分的產生與發(fā)展，情況才有好轉。特別是由于 L.Euler的研究結果，復數終于起了重要的作用。例如大家所熟知的的研究結果，復數終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式公式 揭示了復指數函數與三角函數之間的關系。揭示了復指數函數與三角函數之間的關系。然而一直到威瑟爾然而一直到威瑟爾( C.Wessel 挪威挪威.1745-1818)和阿爾岡和阿爾岡( R.Argand法國法國.1768-1822將復數用平面向量或點來表示，以及將復數用平面向量或點來表示，以及

3、K.F.Gauss (德國德國1777-1855)與漢密爾頓與漢密爾頓W.R.Hamilton (愛爾蘭愛爾蘭1805-1865)定義定義 為一對有序實數后，才消除人們對復數真實性的長久為一對有序實數后，才消除人們對復數真實性的長久疑慮，疑慮，“復變函數這一數學分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。復變函數這一數學分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。1040 xx515515與cossinieiaib復數復數第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 意大利醫(yī)生、數學家、占星術家。一般稱其英文拼法名字卡當意大利醫(yī)生、數學家、占星術家。一般稱其英文拼法名字卡當(Cardan)(Cardan)。15011501年

4、年9 9月月2424日生于帕維亞，日生于帕維亞，15761576年年9 9月月2121日死于羅馬。日死于羅馬。早年學習古典文學、數學和星占學，后入帕維亞大學讀醫(yī)學，早年學習古典文學、數學和星占學，后入帕維亞大學讀醫(yī)學，15261526年獲醫(yī)學博士學位。年獲醫(yī)學博士學位。15341534年成為數學教師。年成為數學教師。15391539年到米蘭醫(yī)學年到米蘭醫(yī)學院任教，院任教，15431543年成為帕維亞大學醫(yī)學教授。他在醫(yī)學上曾是聞名全歐的醫(yī)生，也是第一個記載斑疹傷寒病醫(yī)療方法的人。年成為帕維亞大學醫(yī)學教授。他在醫(yī)學上曾是聞名全歐的醫(yī)生，也是第一個記載斑疹傷寒病醫(yī)療方法的人。 在數學上以記載三次和

5、四次代數方程的一般解法而著稱，發(fā)表在在數學上以記載三次和四次代數方程的一般解法而著稱，發(fā)表在15451545年出版的年出版的 一書中。他說明解法取自另一數學家塔一書中。他說明解法取自另一數學家塔爾塔利亞，并且一名叫費羅的人在爾塔利亞，并且一名叫費羅的人在 3030年前已得知，但都沒有證明，他本人用幾何方法對三次方程求解公式進行了證明。實際上年前已得知，但都沒有證明，他本人用幾何方法對三次方程求解公式進行了證明。實際上塔爾塔利亞只告知了兩種特例情形，而卡爾達諾敘述的公式具有一般性，因此后人稱這一公式為卡爾達諾公式或卡當公塔爾塔利亞只告知了兩種特例情形，而卡爾達諾敘述的公式具有一般性，因此后人稱這

6、一公式為卡爾達諾公式或卡當公式。式。 書中還記載了他的學生費拉里發(fā)現的四次代數方程的一般解法，還有代數基本定理和韋達定理的初級形式，解方程中虛根的書中還記載了他的學生費拉里發(fā)現的四次代數方程的一般解法，還有代數基本定理和韋達定理的初級形式，解方程中虛根的使用等許多方程的基本理論。使用等許多方程的基本理論。 他被譽為他被譽為1616世紀文藝復興時期人文主義的代表人物和百科全書式的學者，一生共寫了各種類型論著世紀文藝復興時期人文主義的代表人物和百科全書式的學者，一生共寫了各種類型論著200200多種，內容涉及力學、多種，內容涉及力學、機械學、天文學、化學、生物學、密碼術、及占星術等等。機械學、天文

7、學、化學、生物學、密碼術、及占星術等等。 卡爾達諾卡爾達諾Cardano, Girolamo, 1501-1576Cardano, Girolamo, 1501-1576）第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 復變函數的理論和方法在數學，自然科學和工程技術中有著復變函數的理論和方法在數學，自然科學和工程技術中有著廣泛的應用，是解決諸如流體力學，電磁學，熱學彈性理論中平廣泛的應用，是解決諸如流體力學，電磁學，熱學彈性理論中平面問題的有力工具。面問題的有力工具。 復變函數中的許多概念，理論和方法是實變函數在復數領域復變函數中的許多概念，理論和方法是實變函數在復數領域 的推廣和發(fā)展。的推廣和發(fā)展。

8、自變量為復數的函數就是復變函數自變量為復數的函數就是復變函數, , 它是本課程的研究對它是本課程的研究對象象. .由于在中學階段已經學過復數的概念和復數的運算由于在中學階段已經學過復數的概念和復數的運算, ,第一章第一章將在原有的基礎上作簡要的復習和補充將在原有的基礎上作簡要的復習和補充; ; 然后再介紹復平面上然后再介紹復平面上的區(qū)域以及復變函數的極限與連續(xù)性的概念的區(qū)域以及復變函數的極限與連續(xù)性的概念, , 為進一步研究解為進一步研究解析函數理論和方法奠定必要的基礎析函數理論和方法奠定必要的基礎. .第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 第一章第一章 復數與復變函數復數與復變函數1.11.

9、1復數及其表示法復數及其表示法iyxz 一對有序實數（一對有序實數（ ）構成一個復數，記為）構成一個復數，記為 . .yx,x, y 分別稱為分別稱為 Z 的實部和虛部的實部和虛部, 記作記作x=Re(Z), y=Im(Z), .1i zxiy稱為稱為 Z Z 的共軛復數。的共軛復數。與實數不同與實數不同, 一般說來一般說來, 任意兩個復數不能比較大小任意兩個復數不能比較大小.兩個復數相等兩個復數相等他們的實部和虛部都相等他們的實部和虛部都相等特別地，特別地，00yxiyxz第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1.1.代數形式代數形式 : :iyxz復數的表示法復數的表示法1)點表示：點表示

10、：iyxz復數( , )XOYz x y 平面上的點y yz(x,y)z(x,y)x xx x0 0y yr r復平面復平面實軸實軸虛軸虛軸第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2) 2) 向量表示：向量表示：-復數復數z z的輻角的輻角(argument) (argument) 記作記作Arg z=q .Arg z=q . 任何一個復數任何一個復數z z0 0有無窮多個幅角有無窮多個幅角, ,將滿足將滿足 復數z=x+iy矢徑z0 xyxyz=x+iy|z|=rz22zzrxy-復數復數z z的模的模zx與 軸正向的夾角|,| |,| | |,| |22zzz zyxzzyzx- q0- q

11、0 的的q0 q0 稱為稱為Arg zArg z的主值的主值, , 記作記作q0=arg z .q0=arg z .那那么么Arg z=q0+2k =arg z +2k (kArg z=q0+2k =arg z +2k (k為任意整數為任意整數) )第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanarg 當當 z = 0 時時, | z | = 0, 而幅角不確定而幅角不確定. arg z可由下列關系確定可由下列關系確定:arctan22yx其中闡明：當闡明：當 z 在第二象限時，在第二象限時，arg022z

12、tan()tan()tanyxarctanyx arctan.yx第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2. 2. 指數形式與三角形式指數形式與三角形式),(zArgzr)sin(cosirzirez 利用直角坐標與極坐標的關系利用直角坐標與極坐標的關系: x r cos, y r sin,: x r cos, y r sin, 可以將可以將z z表示成三角表示式表示成三角表示式: : 利用歐拉公式利用歐拉公式 e iq = cosq + i sinq 得指數表示式得指數表示式:例例1 將下列復數化為三角表示式與指數表示式將下列復數化為三角表示式與指數表示式.1)122 ;2)sincos.5

13、5zizi 解解1)|1244.rzz在第三象限在第三象限, 因此因此235arctanarctan.3612 因此因此56554cos()sin()466izie第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2) 顯然顯然, r = | z | = 1, 又又3sincoscos,525103cossinsin.52510因此因此31033cossin1010izie練習：練習： 寫出寫出 的輻角和它的指數形式。的輻角和它的指數形式。132iz解：解：3 22argarctanarctan3,1 233z 2arg22,3ArgzzkkkZ1,rz23.ize第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1

14、.2 1.2 復數的運算復數的運算222111,iyxziyxz設設)0()()()(22222211222222121211221212121212121zyxyxyxiyxyyxxzzyxyxiyyxxzzyyixxzzz1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ；z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 復數運算滿足交換律復數運算滿足交換律,結合律和分配律結合律和分配律:1 . 四則運算：四則運算：第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 加減法與平行四邊形加減法與平行四邊形法則的幾何意義法則的幾何意義:

15、 :乘、除法的幾何意義乘、除法的幾何意義: :111izr e222izr e12()121 2iz zrr e,121 2121212rgz zr rzzArgz zAzArgz,1z2z12zz12zz,定理定理1 兩個復數乘積的模等于它們的模的乘積兩個復數乘積的模等于它們的模的乘積, 兩個復兩個復 數乘積的幅角等于它們幅角的和數乘積的幅角等于它們幅角的和.第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 等式等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,的意思是等的意思是等式的兩式的兩 邊都是無限集合邊都是無限集合, 兩邊的集合相等兩邊的集合相等, 即每給定等式左邊即每給定等式左邊 的一個數

16、的一個數, 就有等式右邊的一個數與之對應就有等式右邊的一個數與之對應, 反之亦然反之亦然.幾何上幾何上 z1z2 相當于將相當于將 z2 的模擴大的模擴大 |z1| 倍并旋轉一個倍并旋轉一個角度角度Arg z1 .011z2z1 2z z1r2r1 2rr12112 xy1iz12z第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例2：設：設121,.zzi 求求1 2;1 2.z zArgz z212;iz zie 12,Argzn22,2Argzm解：解：121222,Argz zArgzArgzkk m nZ 若取若取1,k 那那么么1,1,;nmnm 若取若取0,mn那那么么1.k 第二節(jié) 目

17、錄 上頁 下頁 前往 終了 22112211122110zzzzzzzzzzArgzArgArgzz21()2211izrezr22112211zzzzzArgArgzArgzz;按照乘積的定義按照乘積的定義, 當當z10時時, 有有定理定理2 兩個復數的商的模等于它們的模的商兩個復數的商的模等于它們的模的商, 兩個復數兩個復數 的商的輻角等于被除數與除數的幅角之差的商的輻角等于被除數與除數的幅角之差.第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2 . 乘方與開方運算乘方與開方運算1乘方乘方cossinnninnzr erninDe Moivre （棣摩佛公式：（棣摩佛公式：cossincossin

18、ninin第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2 ）開方）開方: 若滿足，若滿足，則稱則稱w w為為z z的的n n次方根，次方根，nwz記為記為 .nwzziArgwinArgnezew2(0,1,2,1)nwzargzkArgwnkn于是于是推得推得第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2122cossin(0,1,1)arg zkinnnnzzeargzkargzkrinnkn從而從而幾何解釋：幾何解釋：z1/n的的n個值就是以原點為中心個值就是以原點為中心, r1/n為半徑的圓為半徑的圓 的內接正的內接正n邊形的邊形的n個頂點。個頂點。例例2 求求41. i解解 由于由于12 cos

19、sin,44ii 所以所以84224412 cossin,(0,1,2,3)44kkiik 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 即即808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwi注：四個根是內接于中心在原點半徑注：四個根是內接于中心在原點半徑為為21/8的圓的正方形的四個頂點的圓的正方形的四個頂點.2821+iw0w1w2w3Oxy第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1.3 1.3 復數形式的代數方程與平面幾何圖形復數形式的代數方程與平面幾何圖形 很多平面圖形能用復數形式的方程很多

20、平面圖形能用復數形式的方程(或不等式或不等式)來表來表示示; 也可以由給定的復數形式的方程也可以由給定的復數形式的方程(或不等式或不等式)來確定來確定 它所表示的平面圖形它所表示的平面圖形. 例例3 將通過兩點將通過兩點z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的直線用復數形的直線用復數形式式 的方程來表示的方程來表示. 解解 ：通過點：通過點(x1,y1)與與(x2,y2)的直線可用參數方程表示的直線可用參數方程表示為為121121(),()().xxt xxtyyt yy 因此因此, 它的復數形式的參數方程為它的復數形式的參數方程為z=z1+t(z2-z1). (-t+)第二節(jié) 目錄 上頁

21、下頁 前往 終了 由此得知由由此得知由z1到到z2的直線段的參數方程可以寫成的直線段的參數方程可以寫成z=z1+t(z2-z1). (0t1)取取12t 得知線段得知線段1 2z z的中點為的中點為122zzz 例例4 求下列方程所表示的曲線求下列方程所表示的曲線:1)|2;2)|2 | |2|;3)Im()4.ziziziz第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 解：解：1)| 2zi 設設 z = x + i y , 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?222|(1) | 2(1)2,(1)4xyixyxyiOxy2)|2 | |2|ziz 幾何上幾何上, 該方程表示到點該方程表示到點2i和和-2的距離相等的

22、點的軌跡的距離相等的點的軌跡, 所所以方程表示的曲線就是連接點以方程表示的曲線就是連接點2i和和-2的線段的垂直平分線的線段的垂直平分線, 方方程為程為 y = - x , 也可用代數的方法求出。也可用代數的方法求出。第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 Oxy22iy=-x3)Im()4.iz設設 z = x + i y , 那末那末(1)Im()1izxy iizy 可得所求曲線的方程為可得所求曲線的方程為 y = -3 .Oyxy=-3第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 復數域的幾何模型復數域的幾何模型-復球面復球面 0N除了復數的平面表除了復數的平面表示方法外示方法外, 還可以還可以

23、用球面上的點來表用球面上的點來表示復數示復數.第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 x2x3oz(x,y)x1yP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)對復平面內任一點對復平面內任一點z, 用直線將用直線將z與與N相相連連, 與球面相交于與球面相交于P點點, 則球面上除則球面上除N點點外的所有點和復平外的所有點和復平面上的所有點有一面上的所有點有一一對應的關系一對應的關系, 而而N點本身可代表點本身可代表無窮遠點無窮遠點, 記作記作.這樣的球面稱作復這樣的球面稱作復球面球面.x第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 擴充復數域擴充復數域 - 引進一個引進一個“新的數新的數: 擴充復平

24、面擴充復平面 - 引進一個引進一個“理想點理想點”: 無窮遠點無窮遠點 .商定商定: : ),0(0aa),(0aa)(aa)0( aaa)(aaa第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1.4 1.4 區(qū)域區(qū)域 1. 區(qū)域的概念區(qū)域的概念 平面上以平面上以 z0為中心為中心, d (任意的正數任意的正數)為半徑的圓為半徑的圓: |z-z0|d 內內部的點的集合稱為部的點的集合稱為z0的鄰域的鄰域, 而稱由不等式而稱由不等式 0|z-z0|M 的所有點的集合的所有點的集合, 其中實數其中實數 M0 , 稱為無窮遠點的鄰域稱為無窮遠點的鄰域. 即它是圓即它是圓 |z|=M 的外部且包含的外部且包含

25、無窮遠點本身無窮遠點本身. 不包括無窮遠點本身不包括無窮遠點本身的僅滿足的僅滿足 |z|M 的所有點稱為無窮的所有點稱為無窮遠點的去心鄰域遠點的去心鄰域, 也記作也記作 M|z|M第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 設設G為一平面點集為一平面點集, z0為為G中任意一點中任意一點. 如果存在如果存在z0的一個的一個鄰域鄰域, 該鄰域內的所有點都屬于該鄰域內的所有點都屬于G, 則稱則稱z0為為G的內點的內點. 如果如果G內內的每個點都是它的內點的每個點都是它的內點, 則稱則稱G為開集為開集 平面點集平面點集D稱為一個區(qū)域稱為一個區(qū)域, 如果它滿足下列兩個條件如果它滿足下列兩個條件:1) D是一

26、個開集是一個開集;2) D是連通的。就是說是連通的。就是說D中任何兩點都可以用完全屬于中任何兩點都可以用完全屬于D 的一條折線連接起來的一條折線連接起來. 設設D為復平面內的一個區(qū)域為復平面內的一個區(qū)域, 如果點如果點P不屬于不屬于D, 但在但在P的任意的任意小的鄰域內總包含有小的鄰域內總包含有D中的點中的點, 這樣的點這樣的點P稱為稱為D的邊界點的邊界點. D的所的所有邊界點組成有邊界點組成D的邊界的邊界. 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的的點所組成的.第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 區(qū)域區(qū)域 D與它的邊界一起構成閉區(qū)域或閉域與它的邊

27、界一起構成閉區(qū)域或閉域, 記作記作D.如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面, 即即存在正數存在正數 M, 使區(qū)域使區(qū)域 D的每個點的每個點z都滿足都滿足 |z|M, 則稱則稱 D為有為有界的界的, 否則稱為無界的否則稱為無界的. 平面曲線在數學上平面曲線在數學上, 經常用參數方程來表示各種平面曲線經常用參數方程來表示各種平面曲線. 如果如果x(t)和和y(t)是兩個連續(xù)的實變函數是兩個連續(xù)的實變函數, 則方程組則方程組x=x(t), y=y(t), (atb)代表一條平面曲線代表一條平面曲線, 稱為連續(xù)曲線稱為連續(xù)曲線. 如果令如果令

28、z(t)=x(t)+iy(t)則此曲線可用一個方程則此曲線可用一個方程z=z(t) (atb)來代表來代表. 這就是平面曲線的復數表示式這就是平面曲線的復數表示式.2. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 設設C: z=z(t) (atb)為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線, z(a)與與z(b)分別分別為為C的起點與終點的起點與終點. 對于滿足對于滿足 at1b, at2b 的的 t1與與 t2, 當當 t1t2而有而有 z(t1)=z(t2) 時時, 點點 z(t1)稱為曲線稱為曲線 C的重點的重點. 沒有重點的連續(xù)曲線沒有重點的連續(xù)曲線 C, 稱為簡單曲線

29、或若爾當稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線曲線. 如果簡單曲線如果簡單曲線 C的起點與終點閉合的起點與終點閉合, 即即 z(a)=z(b) , 則曲線則曲線 C 稱為簡單閉曲線稱為簡單閉曲線.z(a)=z(b)簡單簡單,閉閉z(a)z(b)簡單簡單,不閉不閉z(a)=z(b) 不簡單不簡單,閉閉不簡單不簡單,不閉不閉z(a)z(b)第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 C 把整個復平面唯一地分成三把整個復平面唯一地分成三個互不相交的點集個互不相交的點集, 其中除去其中除去 C 外外, 一個是有界區(qū)域一個是有界區(qū)域, 稱稱為為 C 的內部的內部, 另一

30、個是無界區(qū)域另一個是無界區(qū)域, 稱為稱為 C 的外部的外部, C 為它為它們的公共邊界們的公共邊界. 簡單閉曲線的這一性質簡單閉曲線的這一性質, 其幾何直觀意義其幾何直觀意義是很清楚的是很清楚的.內部外部C第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定義定義 復平面上的一個區(qū)域復平面上的一個區(qū)域 B, 如果在其中任作一條如果在其中任作一條簡單閉曲線簡單閉曲線, 而曲線的內部總屬于而曲線的內部總屬于B, 就稱為單連通域就稱為單連通域, 一個區(qū)域如果不是單連通域一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通域就稱為多連通域.單連通域單連通域多連通域多連通域第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1.5 復變函數復變函數1. 復變函數的定義復變函數的定義定義定義 設設 D 是復平面中的一個點集是復平面中的一個點集, :DWfzw復數 ,wf zf xiyu x yiv x y稱為復變函數稱為復變函數. .其確定了自變量為其確定了自變量為x和和y的兩個二元實變函數的兩個二元實變函數 u ,v .例如例如, 考察函數考察函數 w = z2.令令 z = x+i