復(fù)變函數(shù)第四章泰勒級數(shù)ppt課件

1、4.3 泰勒級數(shù) 上節(jié)看到，一個冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有解析的和函數(shù)，即，它在收斂圓內(nèi)代表一個解析函數(shù)。 反過來，對于圓內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開為級數(shù)呢？定理4.7內(nèi)內(nèi)解析，則在在圓盤設(shè)函數(shù)DRzzDzf 0:)( 00nnnzzczf)()(),(!)()()(0101211zfndszssficnCnn 成立，其中210101,: nRRzzC的泰勒級數(shù)在0zzf)(泰勒展開式RD0z1C1R證明思路：0zC1CzR1R圍成的閉區(qū)域內(nèi)解析，在曲線函數(shù)1)(CzfdszssfizfC 121)()(（柯西積分公式）nCnnzzdszssfi)()()(0010121 nnnzzzs)()(00

2、101 0000011111zszzzszzzszs )()()(）zRzzdszssfiNnCNnn()()()( 01010121s. 1110 zzznn根據(jù)定理前提條件,知）zRzzdszssfiNnCnNn()()()( 01010121）（zRzznzfNnNnn)(!)(0100)(高階導(dǎo)數(shù)公式）定理:.5(3 )(zRN其中nCNnnzzdszssfi)()()(010121 ),()( NzRN0可以證明.)(!)()(000)(nnnzznzfzf（2） 假如 f (z)在z0解析, 則使 f (z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑 R等于從z0到 f (z)的距z0最近

3、一個奇點a 的距離, 即R=|a-z0|. 注：（1泰勒展開式的唯一性?！径ɡ?.8】(采用反證 法證明）（1直接展開法 利用泰勒展開式, 我們可以直接通過計算系數(shù):), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn把 f (z)在z0展開成冪級數(shù)。的泰勒展開式在處解析，計算在00zzfzzf)()(例1：處的泰勒展開式在函數(shù)0 zez,)()(210 neeznz10 znze)()(!)()(nnecznzn10 !nzzzenz212在復(fù)平面上處處解析，因為ze R收斂半徑 z類似地，3521242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzzz

4、nzzzzzn 處的泰勒展開式在0zcos,sin zz11112 zzzzzn解：（二間接展開法 借助一些已知函數(shù)的展開式, 利用冪級數(shù)的運算加法，乘法，積分，求導(dǎo)等運算和分析性質(zhì), 以唯一性為依據(jù)來得出一個函數(shù)的泰勒展開式,003521011( )()sin(ee)22!( 1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn 處的泰勒展開式在：例0zsin z2處的泰勒展開式在：函數(shù)例013 zzez, 1 z函數(shù)有一奇點。收斂半徑1 R內(nèi)解析，函數(shù)在1 z !nzzzenz21211112 zzzzzn兩式相乘得， nzznzze)!()!(12111111111

5、1 z解：（方法二 待定系數(shù)法） 01nnnzzcze為假設(shè)所求的泰勒展開式那么， 01nnnzzcze)( 11nnnz! 110nnnnzccc)(同次冪系數(shù)相等，10 c! nccnn11 nzznzze)!()!(12111111111處的泰勒展開式。在（：求函數(shù)例0z) 2114z解 由于函數(shù)有一奇點z=-1, 而在|z|1內(nèi)處處解析, 所以可在|z|1內(nèi)展開成z的冪級數(shù). 211( 1),| 1.1nnzzzzz 對于多值函數(shù)，要先求出單值分支主值），再計算相應(yīng)的泰勒展開式。處的泰勒展開式。在：求函數(shù)例0zz)n(1)( Lzf5 ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實軸剪開的平面內(nèi)是解

6、析的, -1是它的奇點, 所以可在|z|1展開為z的冪級數(shù).1OR=1xy解：)ln(1)(zzLn 的主值為10001dd( 1)d,1zzznnz231ln(1)( 1)| 1.231nnzzzzzzn 即 01111nnnzzz)()ln(逐項積分得ikzzLn211 )ln()( 11322132nzzzziknn)(1 z而如果把函數(shù)中的x換成z, 在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù)211z1-z2+z4-它有兩個奇點i, 而這兩個奇點都在此函數(shù)展開式的收斂圓周上, 所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等于1. 因而, 即使我們只關(guān)心z的實數(shù)值, 但復(fù)平面上的奇點形成了限制. 在實變函數(shù)中有些不易理解的問題,

7、 一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情, 例如在實數(shù)范圍內(nèi), 展開式242211( 1)1nnxxxx 的成立必須受|x|1的限制, 這一點往往使人難以理解, 因為上式左端的函數(shù)對任何實數(shù)都是確定的且可導(dǎo)的.4.4 羅朗級數(shù) 一個以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù) f (z), 可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù). 假如 f (z)在z0處不解析, 則在z0 的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示. 但是這種情況在實際問題中卻經(jīng)常遇到. 因而, 在本節(jié)中將討論在以 z0 為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法.的去心鄰域內(nèi)圍繞為其中計算積分01 zcdzecz,曲線。的任意一條正向簡單閉0 z例：處不

8、解析。在0z ze1行計算。則可代入積分運算中進(jìn)，內(nèi)對應(yīng)的冪級數(shù)表達(dá)式在若知道z 01ze !nzzzenz212 z nzznzzze!1312111321 z0dzzzdzzndzecncncz! 2111)1(!1201 i24.4.1 羅朗級數(shù)的概念定義4.6的級數(shù)稱為羅朗級數(shù)。形如nnnzzc)(0 nnnzzc)(0 )()(101nnnzzc )()(200nnnzzc 收斂。收斂，則稱羅朗級數(shù)在）同時在）（若級數(shù)（zz21則（令10 )zz,)(101nnnnnnczzcnnnc1R的收斂半徑為:)(01nnnzzc時收斂，Rzz10 .時發(fā)散Rzz10 ,RR11 若令為2R

9、nnnzzc)(00的收斂半徑，2:RR 1若則.內(nèi)收斂在201RzzR nnnzzc)(0.為收斂圓環(huán)此時，稱圓環(huán)201RzzR 在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有. 例如, 可以證明, 上述級數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項求積和逐項求導(dǎo).冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì), 級數(shù)100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz現(xiàn)在反問, 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù)?94.定理上解析，：在圓環(huán)域設(shè)201RzzRDzf )(,)()(0nnnzzczf其中),(,)()(102110 ndzzzzficcnn的任意實數(shù)。是滿足是正向圓周210R

10、RzzC ,內(nèi)則在D2R1R0zz上的羅朗展開式。在圓環(huán)域201RzzRzf )(注:(1)羅朗級數(shù)在形式上與泰勒級數(shù)類似,它的證明也是類似的.階導(dǎo)數(shù)公式的條件。上的積分不滿足應(yīng)用高此時上有奇點，一般在圓域因為CRz-zzf10 )(2)一般地,即使正冪項的系數(shù)也不能利用高階導(dǎo)數(shù)形式表示.),)()(上無奇點（處處解析在特例，如果103Rzzzf 上解析。在圓域結(jié)合定理的前提條件，20Rzzzf )(此時,羅朗級數(shù)退化為泰勒級數(shù)。),(,)()()(21021211010 ndzfidzficnCcnn),(,!)()()()(21021010 nnzfdzficncnn柯西基本定理高階導(dǎo)數(shù)公

11、式（4唯一性羅朗展式唯一。在該圓環(huán)內(nèi)的內(nèi)解析，那么在若)()(zfRzzRzf201 133234321111e(1)2!3!4!110.2!3!4!zzzzzzzzzzzz 23e12!3!nzzzzzn 內(nèi)展開為羅朗級數(shù)。在：將函數(shù)例 z)(0613zezzf解：因為內(nèi)展開為羅朗級數(shù)。與在圓環(huán)：將函數(shù)例 z-iz-iizzzf110172)()(解：討論的圓環(huán)域以 i圓心，n-nnizc)( 為：所求解的羅朗級數(shù)形式211zizzf )(.)(內(nèi)在iiz 01)(iziz 11iizi 11111112 zzzzzn 011nnniizi)()(nnnizii)( 01)(zz112 ）此

12、時，1 iiz(112111 nnnizniizz)()(所以，211zizzf )(211 nnnizni)( 132nnnizin)()(10 iz111 nnnizni)(.)(內(nèi)在 iz12)(iziz 11iizi 11111112 zzzzzn（但iiz 1不能得到相應(yīng)的級數(shù)形式。）)(iziz 11)(iziiz 111)(1 izi此時，nnniziiz)()( 011103 nnnizi)(2032111 nnnizinzz)()()(所以，211zizzf )(3031 nnnizin)()( iz1級數(shù)。的解析鄰域內(nèi)展為羅朗在點將函數(shù)例 zzzzzzf,)()(02218

13、30-2解： zzzzf,)(02點在擴充復(fù)平面上不解析2202 )(的解析鄰域：z-z200 zz的解析鄰域： zz2的解析鄰域：內(nèi)在2201 )()(zn-nnzc)(2 為：所求解的羅朗級數(shù)形式zzzf1213 )()()()(2211 zz221121 )(z)(122 z此時， 02221nnz)(所以，zzzf1213 )()(301221 nnnz)(220 )(z內(nèi)在202 z)(n-nnzc)( 為：所求解的羅朗級數(shù)形式zzzf1213 )()(22121)()( zz323221)()( zz)()(2121213 zz2112121zz )(12 z此時，nnnz)()( 02121)()(2121213 zz2212141 nnnznn)()(zzzf1213 )