數(shù)陣圖與數(shù)字謎問(wèn)題教案

1、數(shù)陣圖與數(shù)字謎問(wèn)題（一）知識(shí)點(diǎn)梳理一 數(shù)陣圖 數(shù)陣圖就是將一些數(shù)，按照一定要求排列而成的某種圖形，有時(shí)簡(jiǎn)稱數(shù)陣 它的類型一般分為三種：輻射型數(shù)陣圖；封閉型數(shù)陣圖；復(fù)合型數(shù)陣圖二、幻方幻方是指橫行、豎列、對(duì)角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質(zhì)的3×3的數(shù)陣稱作三階幻方，三階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六郎賞月半，周圍十五月團(tuán)圓”4×4的數(shù)陣稱作四階幻方，5×5的稱作五階幻方三、數(shù)字謎數(shù)字謎，一般是指那些含有未知數(shù)字或未知運(yùn)算符號(hào)的算式這種不完整的算式，就像“謎”一樣，要解開這樣的謎，就得根據(jù)有關(guān)的運(yùn)算法則，

2、數(shù)的性質(zhì)（和差積商的位數(shù)，數(shù)的整除性，奇偶性，尾數(shù)規(guī)律等）來(lái)進(jìn)行正確的推理，判斷解數(shù)字謎，一般是從某個(gè)數(shù)的首位或末位數(shù)字上尋找突破口推理時(shí)應(yīng)注意：數(shù)字謎中的文字，字母或其它符號(hào)，只取09中的某個(gè)數(shù)字；要認(rèn)真分析算式中所包含的數(shù)量關(guān)系，找出盡可能多的隱蔽條件；必要時(shí)應(yīng)采用枚舉和篩選相結(jié)合的方法（試驗(yàn)法），逐步淘汰掉那些不符合題意的數(shù)字；數(shù)字謎解出之后，最好驗(yàn)算一遍（二）例題【例題】構(gòu)造一個(gè)八階幻方：在8×8的方陣中填入164，使每行每列及兩條對(duì)角線上的8個(gè)數(shù)字之和都相等橫式數(shù)字謎豎式數(shù)字謎習(xí)題輻射式數(shù)陣圖1、請(qǐng)你將17這七個(gè)數(shù)字填入下圖的中，使每條線段上的三個(gè)內(nèi)的數(shù)的和相等。分析：設(shè)中

3、心數(shù)為a，中心數(shù)在計(jì)算和的過(guò)程中用到了3次。解答：每條邊上的3數(shù)之和為k。3k=(1234567)2a=282ak=(282a)÷3當(dāng)a=1時(shí)，k=30÷3=10；當(dāng)a=2時(shí)，k=32÷3，有余數(shù)，舍去；  2、將111這11個(gè)數(shù)字填入下圖的中，使每條線段上的三個(gè)內(nèi)的數(shù)的和相等。解答：設(shè)中心數(shù)為a，中心數(shù)在求和過(guò)程中使用了5次。每條邊上的3數(shù)之和為k。5k=(1234567891011)4a=664ak=(664a)÷5經(jīng)實(shí)驗(yàn)：當(dāng)a=1時(shí)，k=70÷5=14；當(dāng)a=6時(shí)，k=90÷5=18，當(dāng)a=11時(shí)，k=110÷

4、;5=22。答案：封閉式數(shù)陣圖1、將18這八個(gè)數(shù)字填在下圖的8個(gè)內(nèi)，使每條邊上的和都相等。解答：設(shè)頂點(diǎn)上的數(shù)分別為a，b，c，d，每條邊上三個(gè)數(shù)的和為k。4k=(12345678)(abcd)=36abcdk=(36abcd)÷4當(dāng)a=1，b=2，c=3，d=4時(shí)，k=46÷4=11.5，k為整數(shù)，最小值為12。當(dāng)a=5，b=6，c=7，d=8時(shí)，k=62÷4=15.5，k最大值為15。因此，k的值是12、13、14、15。2、把19這九個(gè)數(shù)分別填在三角形三條邊的9個(gè)內(nèi)，使每條邊上4個(gè)內(nèi)的數(shù)的和相等。(求出兩個(gè)基本解)解答：設(shè)頂點(diǎn)上的數(shù)分別為a，b，c，每條邊上四

5、個(gè)數(shù)的和為k。3k=(123456789)(abc)=45abck=(45abc)÷3當(dāng)a=1，b=2，c=3時(shí)，k=51÷3=17（最小值）當(dāng)a=7，b=8，c=9時(shí)，k=69÷3=23（最大值）因此，k的值是17、18、19、20、21、22、23。（1）當(dāng)k=19時(shí)，abc=12，a=2，b=3，c=7。（2）當(dāng)k=21時(shí)，abc=18，a=3，b=7，c=8。復(fù)合型數(shù)陣圖橫式數(shù)字謎豎式數(shù)字謎1.在下面算式的空格內(nèi),各填上一個(gè)合適的數(shù)字,使算式成立. 1 + 3 21. 我們?nèi)园辞懊嫠f(shuō)的三個(gè)步驟進(jìn)行分析.(1)審題 這是一個(gè)兩位數(shù)加三位數(shù),和為四位數(shù)的加法

6、算式.在算式中,個(gè)位上已經(jīng)給出了兩個(gè)數(shù)字,并且個(gè)位上的數(shù)字相加后向十位進(jìn)了1,百位上數(shù)字之和又向千位進(jìn)了1.(2)選擇解題突破口 由上面的分析,顯然選擇個(gè)位上的空格作為突破口.(3)確定各空格中的數(shù)字9填個(gè)位 因?yàn)?+3=12,所以個(gè)位上的空格應(yīng)填9. 9 1 + 3 2填千位 千位數(shù)字只能是百位上數(shù)字之和向前進(jìn)的數(shù),因此只能是1.填百位 第二個(gè)加數(shù)的百位上的數(shù)字最大是9,而和是四位數(shù),因此算式中十位上的數(shù)字之和必須向百位進(jìn)1,所以第二個(gè)加數(shù)的百位上填9,和的百位上填0.9901 1 + 3 2填十位 由于算式中個(gè)位上數(shù)字之和向十位進(jìn)了1,十位上的數(shù)字相加后又向百位進(jìn)1,所以第二個(gè)加數(shù)的十位上

7、的空格,可以填8或9.此題有兩個(gè)解:989001 1 + 3 2999101 1 + 3 214.把下面除法算式缺少的數(shù)字補(bǔ)上. 8 解 (1)設(shè)除數(shù)為,商為.顯然,d=e=0.由´8= , ´c= ,可知c=9.同理,f=9.所以商為90809.因?yàn)?#180;9>99,所以>11.又因?yàn)?#180;8<100,所以<12.5.由于是整數(shù),因此=12.由逆運(yùn)算可知,被除數(shù)為(12´90809=)1089708.除法算式為: 幻方1、把18這8個(gè)數(shù)填入下面的中，使每一橫行、每一豎列相鄰的三個(gè)數(shù)的和相等。解答：設(shè)中心數(shù)為a，中心數(shù)在求和過(guò)程中

8、使用了2次。每條邊上的3數(shù)之和為k。3k=(12345678)a=36ak=(36a)÷3經(jīng)實(shí)驗(yàn)：當(dāng)a=3時(shí)，k=39÷3=13;當(dāng)a=6時(shí)，k=42÷3=14。答案：例1 將19九個(gè)自然數(shù)，填入下圖空格內(nèi)，使橫、堅(jiān)、斜對(duì)角每三個(gè)數(shù)的和都是15。解：在一個(gè)由若干個(gè)排列整齊的數(shù)組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱列及對(duì)角線的幾個(gè)數(shù)之和都相等，具有這種性質(zhì)的圖表，稱為“幻方”。我國(guó)古代稱為“河圖”、“洛書”，又叫“縱橫圖”。由三行三列數(shù)組成的幻方，稱為“三階幻方”。整理這種幻方的方法是：把九個(gè)自然數(shù)，按照從小到大的遞增次序斜排（如圖一），然后把上、下兩數(shù)對(duì)調(diào)，左、右兩

9、數(shù)也對(duì)調(diào)（如圖二），最后再把中部四個(gè)數(shù)各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。如果把圖三制好的幻方，旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°都各成一個(gè)新的幻方。如果畫在透明紙上，反過(guò)來(lái)觀察，再旋轉(zhuǎn)上述角度每次所得到的幻方，也具備上述性質(zhì)。這樣便可得到八個(gè)圖，當(dāng)然，它們并無(wú)實(shí)質(zhì)上的區(qū)別。作業(yè)輻射型數(shù)陣圖1、請(qǐng)你將17這七個(gè)數(shù)分別填在內(nèi)，使每條線段上的三個(gè)數(shù)的和相等。解答：設(shè)中心數(shù)為a，中心數(shù)在求和過(guò)程中使用了3次。每條邊上的3數(shù)之和為k。3k=(1234567)2a=282ak=(282a)÷3經(jīng)實(shí)驗(yàn)：當(dāng)a=1時(shí)，k=30÷3=10；當(dāng)a=4時(shí)，k=36&

10、#247;3=12，當(dāng)a=7時(shí)，k=42÷3=14。答案：封閉型數(shù)陣圖2、將16這六個(gè)數(shù)分別填在下圖的6個(gè)中，使每條邊上的三個(gè)內(nèi)的數(shù)的和相等。思考：在這6個(gè)內(nèi)的數(shù)字中，哪幾個(gè)數(shù)最關(guān)鍵呢？分析：三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)在求和過(guò)程中要使用兩次，只要確定了這三個(gè)數(shù)，并且知道每條邊上三個(gè)數(shù)的和，另外三個(gè)數(shù)就很容易確定了。解答：設(shè)頂點(diǎn)上的數(shù)分別為a，b，c，每條邊上三個(gè)數(shù)的和為k。3k=(123456)(abc)=21abck=(21abc)÷3當(dāng)a=1，b=2，c=3時(shí)，k=27÷3=9（最小值）當(dāng)a=4，b=5，c=6時(shí)，k=36÷3=12（最大值）因此，k的值是9、1

11、0、11、12。（1）當(dāng)k=9時(shí)，abc=6，a=1，b=2，c=3。（2）當(dāng)k=10時(shí)，abc=9，a=1，b=3，c=5。（3）當(dāng)k=11時(shí)，abc=12，a=2，b=4，c=6。（4）當(dāng)k=12時(shí)，abc=15，a=4，b=5，c=6。幻方橫式數(shù)字謎.由3個(gè)不同數(shù)字能組成6個(gè)互異的三位數(shù)，這6個(gè)三位數(shù)的和是2886求所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù) 【分析與解】設(shè)滿足條件的最小三位數(shù)為，則由a、b、c組成的其他5個(gè)三位數(shù)為：、，于是這6個(gè)數(shù)的和為+=222(a+b+c)=2886，所以a+6+c=13，于是最小的為139所以所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù)是139豎式數(shù)字謎2.在下面

12、的算式空格內(nèi),各填入一個(gè)合適的數(shù)字,使算式成立. 1 + 9 9 - 52. (1)審題 這是一道加減法混合運(yùn)算的填空格題,我們把加法、減法分開考慮,這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.(2)選擇解題突破口 在加法部分,因?yàn)槭簧嫌袃蓚€(gè)數(shù)字已經(jīng)給出,所以十位數(shù)字就成為我們解題的突破口.(3)確定各空格中的數(shù)字加法部分(如式): 1 + 9 9 填十位 由上面算式可以看出,第二個(gè)加數(shù)與和的十位上均是9,所以個(gè)位上的數(shù)字之和一定向十位進(jìn)了1,十位上的數(shù)字之和也向百位進(jìn)了1.所以算式中十位上應(yīng)是 +9+1=19,故第一個(gè)加數(shù)的十位填9.填個(gè)位 由于個(gè)位上1+ 的和向十位進(jìn)1,所以 中只能填9,則和的個(gè)位就為0.填

13、百位和千位 由于第一個(gè)加數(shù)是兩位數(shù),第二個(gè)加數(shù)是三位數(shù),而和是四位數(shù),所以百位上數(shù)字相加后必須向千位進(jìn)1,這樣第二個(gè)加數(shù)的百位應(yīng)填9,和的千位應(yīng)填1,和的百位應(yīng)填0.這樣加法部分就變成:999100 1 + 9 9 減法部分(如下式): 1 0 9 0 - 5 填個(gè)位 由于被減數(shù)的個(gè)位是0,差的個(gè)位是5,而10-5=5,所以減數(shù)的個(gè)位應(yīng)該填5.這樣減法部分的算式變成: 1 0 9 05 - 5填十位、百位 由于被減數(shù)是四位數(shù),減數(shù)是三位數(shù),差是兩位數(shù),所以減數(shù)的百位必須填9,同時(shí)十位相減時(shí)必須向百位借1,這樣減數(shù)與差的十位也只能是9.這樣減法部分的算式變?yōu)? 1 0 9 09959 - 5此題

14、的答案是:999500999 1 + 9 1 9 - 54.在下面算式的空格內(nèi),各填入一個(gè)合適的數(shù)字,使算式成立. 9 ´ 3 0 14. (1)審題 這是一個(gè)乘法算式,被乘數(shù)是三位數(shù),個(gè)位上數(shù)字是9,乘數(shù)是一位數(shù),積是一個(gè)四位數(shù),積的千位數(shù)字為3,積的百位數(shù)字為0,積的個(gè)位數(shù)字為1.(2)選擇解題突破口 因?yàn)槌藬?shù)是一位數(shù),當(dāng)乘數(shù)知道以后,根據(jù)乘法法則,豎式中其他的空格就可以依次填出,因此乘數(shù)是關(guān)鍵,把它作為解題的突破口.(3)確定各空格中的數(shù)字 由于乘積的個(gè)位數(shù)字為1,所以可以確定出乘數(shù)為9.又因?yàn)榉e的前兩位為30,所以被乘數(shù)的最高位(即百位)為3,于是被乘數(shù)的十位與乘數(shù)9相乘后應(yīng)向百位進(jìn)3,這樣被乘數(shù)的十位應(yīng)填3.得到此題的解為:5933 9 ´ 3 8 3 0 115在圖7-3所示的除法算式中，只知道一個(gè)數(shù)字“3”，且商是一個(gè)循環(huán)小數(shù)問(wèn)被除數(shù)是多少?【分析與解】 為了方便說(shuō)明，標(biāo)出字母 O. =÷999=÷，被除數(shù)與除數(shù)均為兩位數(shù) 所以可以約分后為，999為除數(shù)的倍數(shù)， 999=3×3×3×37，999的約數(shù)中只有27、37為兩位數(shù)，所以除數(shù)只