固體波高斯聲束模型推導(dǎo)

1、一表面波的基本特征平板類聲表面波的傳播激勵和特征1）表面波的產(chǎn)生：采用縱波寫入射的方式產(chǎn)生表面波平面波的斜入射和折射把y改為z。由于存在有波形轉(zhuǎn)換，當(dāng)縱波在液體和固體的界面上入射時，將產(chǎn)生反射的縱波和透射的縱波和橫波，如上圖所示，當(dāng)縱波兩種彈性固體的界面上入射時，將產(chǎn)生反射和透射的P波和SV波；假設(shè)入射P波為，則其反射波為，透射縱波為：，透著橫波為，從運動方程，可以獲得入射波、反射波和透射縱波和橫波在介質(zhì)1和介質(zhì)2中沿Y方向的分量，利用在y=0的平面上沿Y方向的位移和應(yīng)力連續(xù)的邊界條件：和可以獲得在液體界面上傳播的入射波反射波和透射波之間的速度和角度關(guān)系，即廣義斯涅耳定律：其中，為介質(zhì)1中的縱

2、波速度，、分別為介質(zhì)2中的縱波和橫波速度。當(dāng)存在有時，存在有第一臨界入射角，當(dāng)入射角度小于時，在介質(zhì)2中存在有橫波和縱波，當(dāng)入射縱波角度大于時，透射縱波為其傳播特性為沿Y=0的界面?zhèn)鞑サ姆蔷鶆蚧儾?；在介質(zhì)2內(nèi)部僅存在有SV波在傳播；當(dāng)入射角繼續(xù)增大達到時，如果存在有在介質(zhì)2內(nèi)部傳播的SV波的傳播特性也變?yōu)檠豗=0界面?zhèn)鞑サ慕缑娌?，其位移也隨著在介質(zhì)2內(nèi)部深度的增加而程指數(shù)衰減。隨著入射角度的繼續(xù)增大，將在界面Y=0上產(chǎn)生僅沿界面?zhèn)鞑サ穆暠砻娌?。要對平板類?gòu)件的表面和亞表面缺陷進行檢測，就要產(chǎn)生沿表面和亞表面?zhèn)鞑?、對表面和亞表面的缺陷比較的波形，從上面的波形轉(zhuǎn)換分析可以得出，采用表面波對界面進

3、行檢是比較理想的波形。2）表面波在平板內(nèi)的傳播規(guī)律 表面波的傳播特性是沿沿著彈性半空間的自由表面進行傳播，其擾動的深度隨著離自由表面位移的增加呈指數(shù)衰減。下面通過對其傳播規(guī)律進行分析，確定聲表面波能夠?qū)ζ桨孱悩?gòu)件的檢測深度。 對表面波的位移進行Helmholtz分解，有，由于在介質(zhì)2內(nèi)部的傳播的波滿足Navier波動方程： 其中，、分別為介質(zhì)2中的縱波波速和橫波波速。對于二維平面如遇所示，有，由和兩個勢函數(shù)的解，利用Lame形式，則可以表示為，?？紤]沿x方向傳播的聲表面波的傳播特性，設(shè)，將其代入Helmholtz分解后的Navier波動方程，沿Z方向可得，其中，,為任意常數(shù)。則由上式可以求得基

4、于胡克定律和邊界條件，可以求得滿足邊界條件的特征方程為位移和為 式中：，并渴求的表面波的波速方程為：式中：，。由于，由此可以求得表面波的聲速。試驗中，常?。椴牧系牟此杀龋?。 對表面波在介質(zhì)內(nèi)的位移進行分析，由于位移矢量的分量為實向量，為此，可取沿x和y方向的歸一化的位移為： 對于任意的值，由和表示的位移滿足橢圓方程， 表面波的位移為沿X方向的縱波位移和沿Y方向的橫波位移的矢量位移合成。二、表面波的高斯模型推導(dǎo)1、高斯模型1）首先考慮縱波在液體中傳播的簡單情況，獲得換能器聲場的高斯模型如圖所示：換能器輻射聲場可以看作為換能器表面上的無窮點聲源輻射球面聲場的疊加形成的；另當(dāng)換能器輻射聲場的面積遠

5、小于傳播距離時，可以近似將換能器看作為點聲源，其聲壓表達式為： （1）其中(為換能器壓電晶體片面積，為液體介質(zhì)密度，為時壓電晶體片輻射聲速)為換能器在，從點源到輻射點的距離?？紤]在沿軸臨近區(qū)域方向的的球面波，在小角度的情況下（，），球面波被近似看做是沿軸方向的，則有（其中，）則點源輻射球面波沿軸方向可以近似得到： （2）在液體中沿方向傳播的縱波聲壓的擬平面波形式為，滿足聲波在液體中的波動方程 （3）將上述代入波動方程，得到 （4）為了獲得（4）的在高頻部分的近似解，考慮一個拉伸坐標(biāo)系（），然后，將上述拉伸坐標(biāo)系帶入到（4），可以獲得 （5）保留含有的項，則獲得 （6） 因為在換能器激勵聲場的聲

6、壓在沿傳播的過程中，會捕捉到沿的主要聲場，所以沿方向的主要微分項與（2）中的其他項相比遠遠小，這與（6）式得到的結(jié)果相同。 在這里做出獲得高斯聲束模型的近軸近似的假設(shè)前提條件： （7） 從而獲得高斯模型滿足的近似方程為： （8）2） 將在液體中換能器沿方向輻射的聲壓用在柱坐標(biāo)中的擬平面波的形式表示為 （9）其中隨著和的變化而變化，將其代入波動方程，可以得到 （10）如同建立的圓柱坐標(biāo)系，因為在傳播的過程中，在垂直于Z軸的平面上沒不存在角度的變化，因此為軸對稱的波。 高斯模型的假設(shè)為波在沿Z軸傳播的過程中，遠遠比波動方程中的其他項小，故不考慮這一項，從而獲得高斯模型滿足的近軸近似方程： （11）

7、近軸近似的假設(shè)為： （12）因為在（11）式右側(cè)的項對于波動方程，具有同等重要的優(yōu)點，因此，僅考慮 （13）已經(jīng)足夠。 首先考慮滿足方程（11）的解 （14）其中，為關(guān)于Z的復(fù)值函數(shù)。將（14）代入公式（11），可以得到： （15）欲使所有的滿足公式（15），則必須有 （16） （17）（16）的解剛好為傳播規(guī)律 （18）其中為隨著頻率變化的復(fù)常數(shù)。將（18）代入（17），可得 （19）將（18）、（19）代入（14）可得 （20）記： （21）其中，是長度單位，為波長。稱為共焦距。將以上簡化代入高斯聲束，有 （22）對于（22），定義一下聲束寬度和波前曲率兩個參數(shù)由此，高斯聲束變?yōu)?（24）

8、上述高斯聲束模型與球面波模型具有高度的一致性，并且當(dāng)時，高斯聲束模型可以簡化為球面波模型。高斯聲束假設(shè)為擬平面波的條件和近軸近似從高斯聲束模型（20）的聲壓，利用運動方程 （25）可以得到 （26）其中，。 首先考慮（26）右側(cè)沿Z方向的速度幅值的第一項遠遠大于其余兩項的情況。（1）條件1： 即 （27）因為，所以當(dāng)時，亦即 （28）條件（1）必定滿足。 （2）條件2 ： （29） 因為高斯聲束的能量主要包含在聲束寬度為的范圍內(nèi)，因此對于沿Z向傳播的聲波，在于Z軸垂直的平面內(nèi)，Z軸為原點半徑為的柱面內(nèi)，設(shè)定已可滿足高斯聲束能量主要集中在該范圍內(nèi)。由此可得： （30）因為，所以（30）可以進一步

9、化為 （31） 由于因為，則（31）可進一步化為 （32） 這與條件（1）所需要滿足的條件相一致。這就是說當(dāng)波腰的寬度遠遠大于波長時，有（26）給出的高斯聲束的速度可以縮減為 （33）這與平面波的聲速是一樣，因此，我們可以講高斯聲束的傳播特性看作為擬平面波。同時，該結(jié)論對于近軸近似的高斯聲束的假設(shè)條件（13）同樣滿足。 因為高斯聲束的聲壓幅值 （34） （35）（35）括號里面的各項與前面分析的相同，所以在（28）或者（32）的約束條件下，有 （36）利用公式（36），則（13）可化為 (37)如果對（35）再次求微分，并再次假設(shè)（27）和（29）成立，則可以得到 (38)從而使得近軸近似條件

10、（37）變?yōu)?（39）當(dāng)成立時，近軸近似條件自然成立。三、高斯模型的聲反射和折射1、圓形對稱的高斯聲束的折射和反射如前高斯聲束主要由幅值和相位參數(shù)決定。高斯聲束傳播規(guī)律決定了聲束的變化情況。當(dāng)圓形對稱的高斯聲束垂直入射在曲率半徑為的球形曲面上時，在曲面的兩側(cè)將產(chǎn)生軸對稱的反射波和透射波。如圖所示。 在曲面上的入射、反射和透射高斯聲束分別表示為 （40） 其中，、分別表示入射、反射和透射聲壓，（m=1,2）表示在第一和第二介質(zhì)中的波數(shù)。如上圖所示，坐標(biāo)原點取在界面與Z軸的交點，入射和透射波均沿Z軸正向傳播，反射波方向則相反。入射高斯聲束在介質(zhì)1中，在Z軸負方向距離坐標(biāo)原點距離為的位置，時開始激勵

11、產(chǎn)生。對于入射反射和透射波，由于均相同，故在以下的推導(dǎo)中省略。根據(jù)界面上的聲壓和聲速連續(xù)的條件： （41）利用（33）式，則邊界條件可以簡化為： （42）考慮到入射、反射和透射波的高斯聲束模型聲壓幅值項存在有相位項，所以分布從兩個方面考慮其在邊界的匹配情況。與在Z軸附近微小區(qū)域高斯聲束模型被近似看做擬平面波相對應(yīng)的是得幅值項和相位項對于的二次方向的匹配。首先，在的條件下，幅值項的邊界條件化為 (43)求解邊界條件可得 (44)其中，、為基于聲壓比的平面波反射和透射系數(shù)。其次對于相位想的匹配如上圖所示，聲波入射的界面A可以從上述幾何關(guān)系得到： （45）對于入射波和透射波的相位匹配有 （46）從而

12、可以得到透射波傳播規(guī)律 （47）類似的，通過入射聲束與反射聲束的相位匹配，可以獲得反射規(guī)律： （48）假設(shè)入射波的波前曲率和寬度在時為、；反射波和透射波的波前曲率和半徑分別為、；從前述的（24）可知波傳播規(guī)律與波前曲率和寬度的關(guān)系為：（） （49）從透射規(guī)律和反射規(guī)律的實部和虛步與入射波之間的關(guān)系，可以得出在時存在有 （50）利用（47）、（48）、（49）、（50）可以得到在界面時反射波和透射波的曲率半徑與入射波曲率半徑之間的關(guān)系： （51）當(dāng)界面為平面時，反射波與透射波的波前曲率半徑之間的關(guān)系變?yōu)椋?（52）從（51）可以看出界面的曲率半徑對透射波和反射波曲率半徑的影響，當(dāng)入射波波腰在位置

13、時，存在有，（1）當(dāng)且時，有，即透射波在介質(zhì)2中是發(fā)散的，這樣的界面成為發(fā)散界面；（2）當(dāng)且時，有，即透射波在介質(zhì)2中是匯聚的，這樣的界面成為匯聚界面，如圖所示對于反射聲束可以采用同樣的方法獲得分析結(jié)果。高斯聲束的解利用假設(shè)條件（7）得到的近似波動方程（8）有多種形式的解。針對沿方向傳播的解，假設(shè)具有高斯解的通用形式：， （53）其中，是一個復(fù)值標(biāo)量，為一個復(fù)值對稱矩陣，的兩個復(fù)特征值（），滿足的虛部大于（）。前述的圓形橫截面的高斯聲束模型是（53）的特例；包含聲束寬度、曲率半徑和聲束腰的高斯聲束側(cè)視圖結(jié)構(gòu)如圖所示。（53）表示了沿軸傳播的在垂直軸的截面具有橢圓輪廓、并且呈指數(shù)衰減的波。 將（

14、53）代入近似波動方程 (54)對于任意的，式（54）均能得到滿足，則可得 （55） （56）其中，為矩陣的跡。 對單位矩陣求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，可得 （57）把（56）代入（57），并對所得的結(jié)果左乘，可得： (58)其中，為單位矩陣。對（58）左乘，可得 （59）對于任意矩陣存在有 （60）其中，表示的伴隨矩陣，表示的行列式。則（59）式變?yōu)椋?（61）利用矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系： （62）對（61）左右兩邊同時求跡，有 （63）把（63）代入（55），可得 （64）對（58）直接積分可得： （65）當(dāng)初始的矩陣為一個復(fù)值對稱矩陣，在時的兩個復(fù)特征值（），的虛部大于（）時，在沿方向傳播的矩陣的特征值同樣存

15、在有。而對于的實部，在波傳播的過程中，通常為正值。對（65）左右兩邊求逆矩陣，可得對應(yīng)的矩陣 （66）式（66）也可以寫成 （67）其中，。對方程式（64）求解：因為式（64）可以等效化為如下形式： （68）其中，。對（68）進行積分，可得 （69）因為為一個復(fù)值矩陣，（69）在進行運算的時間必須考慮取值的符號問題，因為的實部為正值，而虛部如前所述通常也為正值，一種有效地方法是把化為對角陣形式。如果為對角陣，則可以得到。 對于對稱的高斯聲束如果在時其波前曲率半徑為、波腰寬度為的話，則其為： (70)利用（69），則高斯聲束的表達式（53）可以表述為： (71)從（71）可以看出，高斯聲束的聲壓

16、幅值和相位是僅僅依賴于變化的量。利用聲速與聲壓的關(guān)系式（33），可以得到滿近似波動方程的聲壓為： （72）其中，為沿方向傳播的單位矢量，為液體介質(zhì)的密度（上述結(jié)論是在液體中的縱波入射在曲面上得到的）。 各項同性彈性固體中的近似波動方程 彈性各項同性固體介質(zhì)中位移的波動方程（Naviers equations）為：（、為拉梅常數(shù)，為固體介質(zhì)密度） （73）對于依賴于時間成指數(shù)規(guī)律變化的擾動，式（73）可化為 （74）其中，為位移的第個分量，、為固體介質(zhì)中的縱波和橫波波速。如果外加一個沿方向的縱波 （75）按照在液體中的高斯近似模型的假設(shè)方法對（74）式進行展開，求其近似波動方程，可以得出在()的

17、位移幅值極小，滿足近軸近似的波動方程 (76)其中，為縱波的波數(shù)。類似的方法可以獲得沿方向傳播的橫波，在、方向產(chǎn)生的橫波近似波動方程。假設(shè)縱波位移為：代入（74），存在有和，假設(shè)，則()滿足橫波的近似波動方程 (77)其中為橫波的波數(shù)。因為在各項同性固體介質(zhì)的橫波和縱波滿足近似波動方程，因此其位移解可以寫為高斯模式： （76）其中，為（）類型波的位移矢量，為位移的振動方向（當(dāng)為沿著軸方向振動，為在垂直于軸方向振動）。 對于類型的諧波的速度，存在位移與速度的關(guān)系： （77）因此類型的諧波的速度為 () (78)其中，。 因此，在各項同性彈性固體介質(zhì)中的高斯聲束模型同樣滿足液體介質(zhì)中的傳輸方程（5

18、5）和黎卡提非線性方程（56），其具體形式如下： （79） （80）按照前述的結(jié)論可以得到： （81） (82)高斯聲束在斜入射在曲面上的反射和折射如圖所示：當(dāng)入射的高斯聲束入射在如圖所示任意兩種各項同性的曲面上時，會產(chǎn)生各種類型的反射和折射高斯聲束，這里僅用入射和折射或者反射的一種高斯聲束來描述。假定在介質(zhì)中的（）類型的聲速為、密度為、波數(shù)為，在介質(zhì)中的（）類型的聲速為、密度為、波數(shù)為；在介質(zhì)的類型的波和介質(zhì)中的（）類型的波速幅值、偏振方向以及復(fù)相位分別為、和、。入射的高斯聲束在介質(zhì)中的坐標(biāo)系中沿軸方向傳播，透射的高斯聲束在介質(zhì)中的坐標(biāo)系中沿軸方向傳播。沿軸方向的單位矢量為，沿軸方向的單位矢

19、量為。入射點（入射聲束的中心軸線與曲面的檢點）處的曲面法線的單位矢量為。和坐標(biāo)系的原點均為。為了實現(xiàn)對任意曲面的高斯聲束進行描述，需要對以（）描述的階矩陣采用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)換的方法轉(zhuǎn)換到三位坐標(biāo)系中以表達的階矩陣進行表達。為此，首先將以（）描述的擴展到以表達的，具體擴展方式如下： （83）利用前述的符號記法，可以將在介質(zhì)中的入射波速度在坐標(biāo)系中表達為： （84）其中，。 類似的方法可以獲得在介質(zhì)中在坐標(biāo)系中的高斯聲束表達式為 （85）其中，。在上述表達式（84）、（85）中的項對應(yīng)入射波從激勵位置到點的時間延遲，如前所述，點的。 下面對反射和透射問題在入射平面內(nèi)展開。入射平面（POI）是由入射波

20、的方向矢量和入射波在曲面入射點處得法向矢量形成的一個平面，如圖所示用于入射波的入射平面坐標(biāo)系是由坐標(biāo)系繞軸旋轉(zhuǎn)得到的，在沿著高斯聲束傳播的方向，有。在坐標(biāo)系中，面在入射平面（POI）內(nèi)，垂直于入射平面（POI）。與入射的聲束相類似，折射和透射的坐標(biāo)系是由坐標(biāo)系繞軸旋轉(zhuǎn)得到，在沿波的傳播方向上，面在入射平面（POI）內(nèi)，垂直于入射平面（POI）。坐標(biāo)系和坐標(biāo)系的原點都在點。在這里同樣定義一個坐標(biāo)系，沿著曲面單位法向矢量的方向，位于POI平面內(nèi)，軸垂直于POI平面。 我們可以把入射波和反射及透射波在坐標(biāo)系中重新表達為： （86） （87）上述標(biāo)書中，把所有的二次相位項統(tǒng)一記為及。 由于入射波和透射

21、波在邊界上滿足速度和應(yīng)力匹配條件 （88） （89）其中，、表示兩種介質(zhì)的彈性張量，（88）、（89）表示介質(zhì)中的所有類型波和介質(zhì)中的波的速度和應(yīng)力的和的對應(yīng)關(guān)系?？紤]到高斯聲束在入射點入射中心軸線的很小區(qū)域內(nèi)被近似看做為擬平面波。 首先考慮幅值在入射點匹配的情況。從（86）、（87）、（88）、（89）可以看出，在幅值匹配時，存在有： （90）其中，因為項是坐標(biāo)系的二次函數(shù)，因此其導(dǎo)數(shù)在點將不存在；另外在高頻的情況下，（90）中因為存在有乘數(shù)因子包含導(dǎo)數(shù)的項遠遠小于。則式（90）可以簡化為 （91）（64）與一系列的平面波 （92） （93）在與點的切平面界面上滿足邊界條件（62）中得到的結(jié)

22、果是一樣的。方程（91）的中包含有透射和反射系數(shù)。通常情況下的透射和反射系數(shù)的求解都是在入射波和透射/反射波（P、SV、SH）的振動方向都在POI平面內(nèi)進行求解的。對于透射系數(shù)和反射系數(shù)的求解，在這里定義一個透射系數(shù)矩陣，規(guī)定把在坐標(biāo)系中的類型入射聲束的速度分量轉(zhuǎn)換到對應(yīng)的坐標(biāo)系中。 產(chǎn)生聲表面波的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系 在以上的推導(dǎo)過程中，坐標(biāo)系是由繞軸旋轉(zhuǎn)形成的，其中三者之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為： （）其中，（分別為軸的單位方向矢量）即軸繞軸旋轉(zhuǎn)角度的余弦；類似的可以定上述轉(zhuǎn)換矩陣的子量。 在以上的推導(dǎo)過程中，坐標(biāo)系是由繞軸旋轉(zhuǎn)形成的，其中三者之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為： （）其中，（分別為軸的單位方向矢量）

23、即軸繞軸旋轉(zhuǎn)角度的余弦；類似的可以定上述轉(zhuǎn)換矩陣的子量。坐標(biāo)系、坐標(biāo)系和坐標(biāo)系之間，是繞軸旋轉(zhuǎn)角度形成的，其中，。其中三者之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為： （）其中，（分別為軸的單位方向矢量）即軸繞軸旋轉(zhuǎn)到軸位置角度的余弦；類似的可以定上述轉(zhuǎn)換矩陣的子量。 （）其中，（分別為軸的單位方向矢量）即軸繞軸旋轉(zhuǎn)到軸位置角度的余弦；類似的可以定上述轉(zhuǎn)換矩陣的子量。從而通過上述轉(zhuǎn)換矩陣，可以求出與之間的對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)縱波斜以角度入射在固體介質(zhì)的表面時，會在介質(zhì)中產(chǎn)生反射的橫波和縱波，在介質(zhì)中產(chǎn)生折射的縱波和橫波。假設(shè)在介質(zhì)中的反射波在新坐標(biāo)系中，沿著傳播，且新坐標(biāo)系為繞軸旋轉(zhuǎn)（）角形成的，存在有。則有坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系：

24、反射的橫波，假設(shè)反射的角度為，設(shè)若反射橫波在新坐標(biāo)系中沿方向傳播，且在POI平面內(nèi)，。為軸繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)（）而成。則有坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系 同時在介質(zhì)內(nèi)部存在有折射的縱波和橫波，利用入射縱波在固體介質(zhì)內(nèi)部激勵出橫波和縱波之間的Snells定律： 其中，表示介質(zhì)中的波數(shù)，表示介質(zhì)中的波數(shù)。則將以上參數(shù)代入可求出在高斯聲束在介質(zhì)中的聲束模型。在坐標(biāo)系下的POI平面內(nèi)，當(dāng)縱波斜入射在曲面的點時，在介質(zhì)中將產(chǎn)生反射的縱波和橫波，其表達式分別為：入射縱波表達式為： （1）反射橫波和反射縱波的表達式為： （2） （3）其中，表示反射縱波的方向，表示反射縱波的偏振方向，表示反射縱波的波數(shù)，表示反射橫波的偏振方向，表

25、示反射橫波的波數(shù)，表示反射橫波的波傳播方向。 在POI平面內(nèi)，在坐標(biāo)系下，當(dāng)縱波斜入射在曲面的點時，在介質(zhì)中將產(chǎn)生折射的縱波和橫波，其表達式分別為：折射橫波和折射縱波的表達式為： （2） （3）其中，表示折射縱波的方向，表示折射縱波的偏振方向，表示折射縱波的波數(shù)，表示反射橫波的偏振方向，表示透射橫波的波數(shù)，表示透射橫波的波傳播方向。 依據(jù)式（90）可以簡化得到的 （91）（64）與一系列的平面波 （92） （93）在與點的切平面界面上滿足邊界條件（62）中得到的結(jié)果是一樣的。方程（91）的中包含有透射和反射系數(shù)。通常情況下的透射和反射系數(shù)的求解都是在入射波和透射/反射波（P、SV、SH）的振動

26、方向都在POI平面內(nèi)進行求解的。 依據(jù)縱波入射在平面上，將產(chǎn)生反射縱波和反射SV波、以及透射的縱波和透射的SV波的特點。（參見彈性固體中波的傳播，阿肯巴赫著） 在坐標(biāo)系內(nèi)，入射和反射以及透射波的傳播方向均在確定的平面內(nèi)。在進行計算的過程中，在方向波的速度和應(yīng)力均為0。 所以計算過程中，不考慮方向的分量，則有 依據(jù)式（91），針對在坐標(biāo)系內(nèi)的求解、 在方向，速度和應(yīng)力的方程 （a）(b) (c)(d)利用（a）、(b)、(c)、(d)可以求得反射系數(shù)和透射系數(shù)。利用縱波轉(zhuǎn)換為橫波的求解透射系數(shù)的過程：因為坐標(biāo)系與坐標(biāo)系屬于同一個坐標(biāo)系，且其方向相同對與入射的縱波有：對于反射的縱波有對于反射的橫波

27、有對于透射的縱波有透射的橫波有：對于有機玻璃和鋁板構(gòu)成的固定邊界面：在入射點附近的微小區(qū)域上，曲面的透射系數(shù)與平面波在切平面上的透射系數(shù)一致。從而可以分析在坐標(biāo)系下，有：根據(jù)上圖，對與入射的縱波有：其振動方向和波傳播方向相同，在坐標(biāo)系下為： 對于反射的縱波有有：其振動方向和波傳播方向相同，在坐標(biāo)系下為：反射角大小等于入射角（）對于反射的橫波有有：其振動方向和波傳播方向不相同相同，在坐標(biāo)系下為：其振動方向為：波傳播方向為：對于透射的縱波有有：其振動方向和波傳播方向相同，在坐標(biāo)系下為：透射的橫波有：有：其振動方向和波傳播方向不相同相同，在坐標(biāo)系下為：其振動方向為：波傳播方向為：設(shè)入射波的幅值為，則

28、在入射介質(zhì)中有對于入射縱波有：對于反射縱波和反射橫波有：對于透射縱波和透射橫波有：在坐標(biāo)系下，根據(jù)邊界速度連續(xù)性條件，有：在方向：在方向：在固體介質(zhì)中，通常在計算透射系數(shù)的過程中，不需要對其偏振方向有準(zhǔn)確的確定。只需知道其在各個方向的速度分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在坐標(biāo)系中，類型的波的偏振方向為，其速度分量為在坐標(biāo)系中，類型的波的偏振方向為，其速度分量為則入射波和反射波之間的關(guān)系可以變?yōu)椋浩渲校瑸殡A矩陣，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，其中矩陣內(nèi)部的子分量為平面波的反射和透射系數(shù)。對于上文提到的，在坐標(biāo)系中沿軸和沿軸的單位矢量分別為：、；在坐標(biāo)系中沿軸和沿軸的單位矢量分別為：、；并且在坐標(biāo)系中，平面是有繞軸旋轉(zhuǎn)一定角度得到的。其中間存在一個過渡的坐標(biāo)系?；诖?，我們可以定義動到坐標(biāo)系的繞軸的旋轉(zhuǎn)變換，（其中，為軸繞軸旋轉(zhuǎn)到軸的夾角）定義動到坐標(biāo)系的繞軸的旋轉(zhuǎn)變換，（其中，為軸繞軸旋轉(zhuǎn)到軸的夾角） 則有變換到的逆變換為： 坐標(biāo)系、坐標(biāo)系(POI平面所在坐標(biāo)系)之間是繞軸旋轉(zhuǎn)角度形成的，其中，。其中三者之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為： （）其轉(zhuǎn)換系數(shù)為：其中，（分別為軸的單位方向矢量）即軸繞軸旋轉(zhuǎn)到軸位置角度的余弦，類似的可以定上述轉(zhuǎn)換矩陣的子量。