導(dǎo)數(shù)練習(xí)題及答案導(dǎo)數(shù)的概念

1、導(dǎo)數(shù)定義的利用若 Hm f(X(X。)."x 0.:x=k，則 lim2f (x° 2 Yx) f (x°)等于Ax8 / 51A . 2k B . k C. 一 k D .以上都不是2分析：本題考查的是對導(dǎo)數(shù)定義的理解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接求解即可解:由于HmZZ2Axf (x° +2 Ax) f (x°)=lim2 x_02xf (x° +2 Ax) - f (x°)2 .：x=2 lim - 2k，應(yīng)選 A2求曲線方程的斜率和方程15例 已知曲線y =x -上一點A(2,-)，用斜率定義求:x2(1) 點A的切線的斜率(2

2、) 點A處的切線方程分析:求曲線在A處的斜率kA ,即求lim解：(1)細二 f (2 Ax) f (2)=2 Lx1+2 Lx1 -. .x-(2 )2 2(2+山)Lx：ylim .xTYx2.lx(2 Ux)Ax3匸4-lim <-|2(-3(2)切線方程為y(x - 2)24即 3 x 4 y 4 =-說明：上述求導(dǎo)方法也是用定義求運動物體S二S(t)在時刻t0處的瞬時速度的步驟.判斷分段函數(shù)的在段點處的導(dǎo)數(shù)1 2(X +1)(1)2例 已知函數(shù)f(x)=，判斷f(x)在X=1處是否可導(dǎo)?1-(X +1)( >1)limmX -x.x0.：x分析：對分段函數(shù)在“分界點”處的

3、導(dǎo)數(shù)問題，要根據(jù)定義來判斷是否可導(dǎo).1I2'12(1 亠-X)- 1(1- 1)lim=lim 22 =1.V-0.：x：x解:12-.:X 1 1 (122-1)12f (x)在x =1處不可導(dǎo).說明：函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)，是指一個極限值,即 lim f(X0) f(Xo)，當(dāng)：x > 0 ; .JO：x包括Ax； 0 ;0 一，判定分段函數(shù)在“分界處”的導(dǎo)數(shù)是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定這點存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù).利用導(dǎo)數(shù)定義的求解例 設(shè)函數(shù)f ( X)在點Xo處可導(dǎo)，試求下列各極限的值.1.f (X。-厶X) - f (X。)Ax2.

4、 lim f(X。h)f(Xoh) hT2h3.若 f (x°) =2，則 limk 屮f(X。-k)2 kf ( X 0 )等于(A. - 1 B. 2 C. - 1分析：在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量-：x的形式是多種多樣的，但不論 ：x選擇哪種形式，紬也必須選擇相對應(yīng)的形式.利用函數(shù)f (X)在點X0處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式班等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式.解：1 .原式=limf (x° - Ax) - f (x°)飛一0(一咲)f（x。- .：x） 一 f（x。）=-lim-f （X-）J0-&x2.原式=f （x° +h） 一 f （

5、x° ） + f （x°） 一 f （x° h） limh j02 h1 f （x° h） 一 f （x°）f（X。h） 一 f（X。）= lim亠 lim2 »J。hJ。- hIf（X。） f（X。） - f （x。）.23. ； f （x。）=limx。（k） f （x。）k（含 Ax 一 _k ）,f（x。-k） -f（x。）limk72 k1f （ x-）21 f （x。（ _k） .l_ f （x。）lim-2 k ）。一k12 - -1 .故選 A .2說明：概念是分析解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其

6、內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進行解題，不能準(zhǔn)確分析和把握給定的極限式與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，盲目套用導(dǎo)數(shù)的定義是使思維受阻的主要原因.解決這類問題的關(guān)鍵就是等價變形，使問題轉(zhuǎn)化.利用定義求導(dǎo)數(shù)例1 .求函數(shù)八、x在x =1處的導(dǎo)數(shù)；2.求函數(shù)y =x2 ax - b （a、b為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù).確定函數(shù)y = f （x）在x = x。分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法, 處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義法和導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法.解：1 .解法一（導(dǎo)數(shù)定義法）：.'：y = . 1 亠；x - 1 ,一1 亠<x-11:x _ x、i=x-1，lim1 1 .at T1x =1x

7、。 JUx12-2解法二（導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法）:二 y = _ x 二x - _ x , y _x Lx - - x1：x _:-x'x Lx. xAy11limlim -=. x0 , x . -.xx 2 xy2 22. . -y =(x；：.f.x) a( x )川-b - (x U ax - b)2=2x . ：x - (J：x ) - a ：x =(2x - a) .lx (.Ix)2.'：y(2 x -a)：x .lx)(2 x -.-a )亠,x,.:x, ：xAy人，limlim (2x 亠a 亠：,x) =2x 亠 a, y =2x 亠 a. J0 . ：x說明

8、：求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是能夠順利求導(dǎo)的關(guān)鍵，因此必須深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念.證明函數(shù)的在一點處連續(xù)例 證明：若函數(shù)f (x)在點X。處可導(dǎo)，則函數(shù)f (x)在點X。處連續(xù).分析：從已知和要證明的問題中去尋求轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明f(x0)在點x0處連續(xù)，必須證明lim f(x)rf(x°).由于函數(shù)f (x)在點X。處可導(dǎo)，因此，根據(jù)函數(shù)在點X。處xTo可導(dǎo)的定義，逐步實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化，一個是趨向的轉(zhuǎn)化，另一個是形式(變?yōu)閷?dǎo)數(shù)定義形式) 的轉(zhuǎn)化.解：證法一：設(shè) X =X° .IX，則當(dāng) Xr x0 時

9、，LXr 0 ,lim f (x) = lim f (x0 * 二x)X X 0X _X 0二 lim f (x° ： -x) f (X0) ' f (X0 ) Ix0訥 f(x0)-5)X 0:_xlim=x 亠 limupf (X0)f(X0 + 也X) f (X0) =lim -x0. ：Xf(X。)0 f(X。)=f (Xp).函數(shù)f (X)在點xo處連續(xù).證法二：函數(shù)f(x)在點Xo處可導(dǎo),二在點Xo處有l(wèi)im f (x) f (Xo) = lim.:yX ?o.'X ：0lim 'xJ0m d.ixLlim 空 x# px丿 A# Ax=f (xo) 0 =0'lim f ( x) = f (x0). 函數(shù) f ( x)在點 x0 處連續(xù).xx0說明：對于同一個問題