圓錐曲線知識點歸納與解題方法技巧

1、圓錐曲線解題方法技巧第一、知識儲備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關的重要內(nèi)容 傾斜角與斜率k = tan 0,二） k = yy1X2 點 P（Xo,y。）到直線 Ax+By+C=0 的距離AX+2BYo 2CJA2 + B2 夾角公式：直線ll：klX bl夾角為，則tankk1l2: y = k2x + b2|1 + k2K（3）弦長公式直線y =kx b上兩點A（x1,y1）, B（x2,y2）間的距離 AB = J（X2 -x）2 +5 -yj2 AB =山卄2憶X2I =如小任 + x2）2 Axm AB =屮

2、+右|% _y2（4）兩條直線的位置關系（）h : y *x biI2 ： y = k2X +b2 h_l2 二 k1k2=-1 I'/J u &十2且 b<-= b211 : Ax + B+G =0（H）仃 112 : Ax + Dy +C2 =0 h _ l2 二 AA2 B1B2 =011 / /l 2A B2- A2 B）=0且 AC 2 - A2C1 = 0 或A _ B1 _ C1A B2 C2者（ A2B2C2 =0）兩平行線距離公式距離d害h : y 二 kx b l2 ： y = kx b211 : Ax By G = 012 ： Ax By C2 =

3、0 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)1. 圓錐曲線的兩定義：第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點Fi，F(xiàn)2的距離的 和等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a 一定要大于FiF?，當常數(shù)等于RF?時，軌跡是線段Fi F2， 當常數(shù)小于F1F2時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點Fi，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常 數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要小于| F1F2|，定義中的“絕對值”與2a < |F1F2|不可忽視。 若2a = IF1F2I，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線，若2a > |F 1 F2 |，則軌跡不存 在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如方程J x 6）2 +y

4、2 - J（x +6）2 +y2 =8表示的曲線是 （答：雙曲線的左支）2. 圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準 位置的方程）：222 2（1）橢圓：焦點在x軸上時冷+當=1 （ aAb0 ），焦點在y軸上時與+篤=1 a2 b2a2 b2（ab:>0）。方程Ax2+By2=C表示橢圓的充要條件是什么？（ ABC0,且A，B，C同號，Am B） 0橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）一、x2 v2標準方程：1（m0, n .0且口 =門）m n距離式方程：.（x c）2 y2 y-J（x -c）2 y2 =2a參數(shù)方程： x = acos, y =

5、 bsin =若x,y R，且3x2+2y2=6，則x + y的最大值是，x2 + y2的最小值是_（答：5,2 ）2 2 2 2（2）雙曲線：焦點在x軸上：篤 V2 =1，焦點在y軸上：召 聳=1（ a 0,b 0 ）。 a ba b方程Ax2 By2 =C表示雙曲線的充要條件是什么？ （ ABCm0,且A，B異號）。如設中心在坐標原點O，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率e. 2的雙曲線C過點P（4,-V10），則 C的方程為（答：/ y? =6）（3）拋物線：開口向右時y? = 2px（ p 0），開口向左時 寸-2 px（ p - 0），開口向 上時 x =2py（p . 0），開口向下

6、時 x =2py（p . 0）。3. 圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由x ?, y 2分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。2 2如已知方程 一+ = 1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答:|m -12 -m3 （=,-1）（1乍）2（2）雙曲線：由x2, y 2項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。提醒：在橢圓中，a最大，a2 = b2 c2，在雙曲線中，c最大，c2 a2 b2。4. 圓錐曲線的幾何性質(zhì)：2 2（1）橢圓（以篤與=1 （ a b 0 ）為例）：范圍：-a

7、< x空a,-b乞y乞b : a2 b2焦點：兩個焦點（士c,0）:對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0, 個對稱中心（0,0），四2 個頂點（_a,0）,（0, _b），其中長軸長為2a，短軸長為2b ；準線：兩條準線x二一乞； c離心率：e =-，橢圓=0：e：1， e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。a如（1）若橢圓+=1的離心率*也，則m的值是（答：3或空）；5 m53（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_ （答：2、2）x2 y2（2）雙曲線（以=1 （ a 0,b 0 ）為例）:范圍：x _ -a或x丄a, y R ;焦a2 b2點

8、：兩個焦點（_c,0）:對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0, 個對稱中心（0,0），兩個頂點（-a,0），其中實軸長為2a，虛軸長為2b，特別地，當實軸和虛軸的長相2 等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為x2-y2=k,k=0 ;準線：兩條準線x=； c離心率：e = c，雙曲線=e 1，等軸雙曲線二e = '、2， e越小，開口越小，e a越大，開口越大；兩條漸近線：y = _Dx。雙曲線的方程的形式有兩種a2 2標準方程： =1（m n - 0）m n距離式方程：|(x - c)2 y2 - , (x- c)2 y2 =2a(3) 拋物線(以寸二2px(p 0)為例)：范圍：x _0,

9、 y 二R ;焦點：一個焦點(號,0),其中p的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸 y=0，沒有對稱中 心，只有一個頂點(0,0)；準線：一條準線x ；離心率：e =-，拋物線二e=1。2a如設aaR，則拋物線y=4ax2的焦點坐標為(答：(0,丄);16a2 2點P(x°,y°)和橢圓篤爲=1 ( a b 0 )的關系:(1)點P(x。, y。)在橢圓外a b2 2 2 2第卷1 ; ( 2)點P(x0,y°)在橢圓上= 篤 卑 二1 ；( 3)點P(x), y°)在橢圓內(nèi)a ba b2 2魚匹：:1a2 b26. 記住焦半徑公式：(1)

10、橢圓焦點在x軸上時為a二ex0；焦點在y軸上時為a_ey°，可簡記為“左加右減，上 加下減”。(2) 雙曲線焦點在x軸上時為e x0 _a(3) 拋物線焦點在x軸上時為xj ,焦點在y軸上時為 %上2 27. 橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？_第二、方法儲備1、點差法(中點弦問題)2 2設A x1, y1、Bx2,y2 , M a,b為橢圓y 1的弦AB中點則有432 2 2 2 2 2 : 2 2.h=1，亙宜=1 ；兩式相減得上亠=0434343為X2 X1 X2丫1 一 丫2 % 丫2,3a二=二 kAB = 一434b2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問

11、題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦?設直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式.=-0，以及根與系數(shù)的關系，代入弦長公式，設曲線上的兩點A(Xi,yJB(X2,y2)，將這兩點代入曲線方程得到 兩個式子，然后-，整體消元，若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點，則可以利用三點 A、B、F共線解決之。若有向量的關系，則尋找坐標之間的關系，根與系數(shù)的關系結合消元處理。一旦設直線為y二kx，就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓4x25y2 =80上，且點A是橢圓短軸的一個端點(點A在y軸正半軸上).(1) 若

12、三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線 BC的方程；(2) 若角A為900，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程分析：第一問抓住“重心”，利用點差法及重心坐標公式可求出中點弦 BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為900可得出AB丄AC，從而得X1X2 yiy2 -14(yi y2) 10，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點 D的軌跡方程；22 22解：(1)設B ( X1,y1) ,C(X2,y2 ),BC中點為(x°,yo),F(2,O則有生 也 珂竺 上 打20 1620 16兩式作差有(X1 X2)(X1 -X2)(y1 -y2)(y1y2)=0 匹衛(wèi)=0 (

13、1)201654F(2,0)為三角形重心，所以由 互，得x°=3，由9比一 =0得y° = -2，代入33/ 口6(1)得 k =-5直線BC的方程為6x -5y -28 =02)由 AB丄AC 得x1x2 y1y14(y1 y2) 10(2)設直線 BC 方程為 y = kx b,代入 4x2 5y2 =80，得(4 5k2)x2 10bkx 5b2 -80 = 02-10kb5b -80x1 x22， x1x224 5k24 5k22 28k4b 80 k ? / c、/曰y1 y22, y1 y22 代入（2）式得4 +5k4 +5k29b -32b-16420，解得

14、b =4（舍）或b二-4 5k94y+_4直線過定點(0，_4)，設 D(x,y)，貝卩一 述紅一=1，即 9y2 +9x2_32y_16 = 09x x所以所求點D的軌跡方程是x2 (y -16)2二(卻)2® = 4) o994、設而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中AB =2CD，點E分有向線段AC所成的比23為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當訂訂時，求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、算能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。建立直角坐標系xOy，如圖，若設Ch，代入詁一2 2 221，求得h = 1

15、11，進而求得Xe = 11 (, yE二川,再代入與1，ba b建立目標函數(shù)f(a,b,c,')=0，整理f(e,')=0，此運算量可見是難上加難.我們對h可米取設而不求的解題策略，建立目標函數(shù)f (a,b, c, J = 0，整理f (e, J = 0，化繁為簡.解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，則CD丄y軸因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱依題意，記A -c,0，C |,h ，E x°,y°，其中c =*|AB|為雙曲線o, yoXhyo =廠的半焦距，h是梯形的高

16、，由定比分點坐標公式得cXo C 2'-2c0 -1 + &2(人 +1 )2設雙曲線的方程為篤a2篤=1，則離心率eJba由點C、E在雙曲線上,將點C、E的坐標和e二上代入雙曲線方程得a由式得.2 2 b-，將式代入式，整理得2 4-4' =12' ，43=1 2e2 +1由題設2< <-得，J 3343e2 +2 4解得-.7 <e< ,10所以雙曲線的離心率的取值范圍為b,.io分析：考慮AE , AC為焦半徑，可用焦半徑公式,AE , AC用E,C的橫坐標表示，回避h的計算，達到設而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,AE =-

17、(exE ), AC =AEAC廠，代入整理V，由題設/ W得，討解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為 k 7,.10 15、判別式法2 2例3已知雙曲線c： y_1，直線I過點A、. 2,0，斜率為k，當0 ： k ： 1時，雙曲2 2線的上支上有且僅有一點B到直線I的距離為,2，試求k的值及此時點B的坐標。分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數(shù)形結合必然 是研究解析幾何問題的重要手段從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到： 過點B作與I平行的直線，必與雙曲線 C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構造方程的 判別式厶=0.由此出發(fā)，可設計如下解題思路：解題過程略.分

18、析2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線I的距離為運”，相當于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設計出如下解題思路:M到直線I的距離為:kx 仝 2 -X.： 2Jk2 +1于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關于x的方程.由于0 ck cl，所以J2 +x2 a x >kx，從而有kx -、：2 + x2 - J2k = -kx + (2 + x2 + J2k.于是關于x的方程“- kx .、2 X2. 2k 二 2(k21)x22 x2 彳=(2(k21) _2k kx)2,.2(k21) - 2k kx 0k2 -1 x2 2k 2(k2 1) -S

19、9;2k x 2(k2 1) - 2k _2 =0, 2(k21) _ 2k kx .0.由 0 ：k ：1 可知：方程 k2 -1 x2 2k .2(k2 7) - .、2k x . 2(k2 T) - 2k $ _2 =0 的二根同正，故,.2(k2 1) - .2k kx 0恒成立，于是等價于k2 -1 x2 2k 2(k21) - .2k x . 2(k2 T) - 2k ' 一 2 = 0.由如上關于x的方程有唯一解，得其判別式厶=0，就可解得點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思 維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:x2 +2y2 =8和點P（ 4

20、，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使APPBAQ求動點Q的軌跡所在曲線的方程分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設法 將點Q的橫、縱坐標用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的由于點Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線 AB的斜率k作 為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來？ 一方面利用點 Q在直線AB上；另一方面就是運用ApAQ題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點共線，不難得到x 4(XA XB2XAXB，PB QBx=8xa*xb)要建立x與

21、k的關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).在得到x二f k之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于x,y的方程(不含k)，則可由y = k(x-4) +1解得k二紅1，直接代入x= f (k )即可得x 4A2可得:QB4 * _ x * x2 -4 x2 _ x到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設 AxyBg，y2),Q(x, y)，則由:APPB(1)解之得：X =4(Xl X2)-2曲28 (Xi +X2)設直線AB的方程為:y = k（x -4）

22、1 ,代入橢圓C的方程,消去y得出關于x的一元二次方程:2k2 1 x2 4k(1 _4k)x 2(1 _4k)2 _8 =0(2)%x24k(4k -1)22k 12lx廣gk) -8X222k 1代入（1），化簡得:4k 3與 y = k(x4) 1 聯(lián)立，消去 k 得: 2x y4 (x4) = 0.在(2)中，由.：-64k2 64k 24 0，解得 2 - 10 ,k .2 10，結合(3)可求得4416 -2 10 16 2.10故知點Q的軌跡方程為:2x y-4=0( 16-210 x6 210).99點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋

23、達定理模塊思維易于想到這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道&求根公式法2 2例5設直線1過點P（0, 3），和橢圓亍”順次交于A、B兩點，試求APPB的取值范圍分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到：竺二一空，但從此后卻一籌莫展，問題的PB Xb根源在于對題目的整體把握不夠事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構 造所求變量關于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關系式（或方程），這只需利用對應的思想 實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系分析1:從第一條想法入手,APPB-仝已經(jīng)是一個關系式，但由于有兩個變

24、量XbXa,Xb，同時這兩個變量的范圍不好控制， 所以自然想到利用第3個變量一一直線AB的 斜率k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將Xa,Xb轉(zhuǎn)化為關于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出簡解1:當直線I垂直于x軸時，可求得APPB當I與x軸不垂直時，設A xi, yi , B（x2，y2），直線I的方程為：y = kx 3，代入橢圓方程，消去 y得 9k24 x2 54kx 45 =0解之得X1,2_ -27k _6 9k2 -5一 9k2 +4因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮k 0的情形.當k 0時，xi_ -27k6 9k2

25、-5_2丄9k 4X2_ -27k -6 9k2 -59k2 +4所以APxi_9k 2 9k2 _5=i =i9k 2、.9k2 -5PBX29k 2.9k2 -518k189 2.9一.所以-1 <1-1 809k24 _0,解得 k2 _5 *，9AP 1- 1 _PB 518. 1，綜上 - < 5分析2:如果想構造關于所求量的不等式,則應該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負性可以很快確定 k的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來.一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋APx達定理，原因在于- =不是關于xz的對稱關系式

26、.原因找到后，解決問題的方 法自然也就有了，即我們可以構造關于 Xi,X2的對稱關系式.簡解2：y得9k224 x 54kx 45 = 0(*)fXi-54kX22,9k24玄2 _9k2 +4令，則，丄2324k2245k- 20452從而有 4 < 324k36，所以_45k +20 一 54丄2心，解得1結合0 ： 空1得_，_1.5綜上,PB，-點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結合法等等.本題也可從數(shù)形結合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被

27、局部所糾纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵 布陣，運籌帷幄，方能決勝千里第三、推理訓練：數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是 數(shù)學求解的核心。以已知的真實數(shù)學命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇 恰當?shù)慕忸}方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注 意所使用的命題之間的相互關系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點為A,B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且AF FB =1， oF =1.(i)求橢圓的標準方程；(U)記橢圓的上頂

28、點為M，直線I交橢圓于P,Q兩點，問：是否存在直線I，使點 F恰為PQM的垂心？若存在，求出直線I的方程若不存在，請說明理由。思維流程：a2,b=1由T TTAF FB =1，OF|=1> 寫出橢圓方程(a c)(a _ c) = 1，c=1由F為.PQM的重心* PQ 丄 MF ,MP 丄 FQk pq2 23x 亠4mx 亠 2m 2 二0與元兩根之和, 兩根之積mP * FQ 二 0得出關于 m的方程解出m解題過程:2 2(I)如圖建系，設橢圓方程為 篤氣=1(a b0),則c = 1a b又 AF FB =1 即(a+c) (a c) =1 =a2 c2/ a2 = 22故橢圓方

29、程為才八1(U)假設存在直線I交橢圓于P,Q兩點，且F恰為PQM的垂心，則設P(X1,y1),Q(X2,y2), v M(0,1),F(1,0)，故 kpQ =1 ,工 y = x m22于是設直線I為y = x * m，由 ；2 得，3x2 4mx 2m0lx +2y =2T TV MP FQ =0 =洛“2 T) y2(y T)又 yi 二 Xi m(i =1,2)得 X(x2 -1) (x2 m)(x m T) = 0 即2XX2 (x X2)(m-1) m2 - m = 0 由韋達定理得2c 2m -2 4m,八 2c2 (m -1) m- m =03 34 4解得m或m =1 (舍)

30、 經(jīng)檢驗m 符合條件.33點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零.例7、已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A(-2,0)、B(2,0)、 C 1,-三點.2(I)求橢圓E的方程：(U)若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn) (-1,0), H (1,0)，當 DFH內(nèi)切圓的面積最大時，求 DFH內(nèi)心的坐標；思維流程:由橢圓經(jīng)過A、B、C三點設方程為mx ny = 1得到m, n的方程解出m,n由DFH內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大轉(zhuǎn)化為點D的縱坐標的絕對值最大最大D為橢圓短軸端點DFH面積最大值為 3S葉二2周長r內(nèi)切圓得出D點坐標為

31、r 則x1*2理3k 1(1)解題過程：(I)設橢圓方程為 mx?+ ny2=1(m>0,n>0)將A(-2,0)、B(2,0)、3C(1,2)代入橢圓E的方程，得'4m =1,11229解得m=, n= - .二橢圓E的方程+ = 1 .m n =1434341(n) |FH | = 2，設 DFH 邊上的高為 SDFH 2 h=h當點D在橢圓的上頂點時，h最大為,3，所以S dfh的最大值為乜.1SADFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因為 DFH的周長為定值6.所以，S Df - R 6 * 2所以R的最大值為y .所以內(nèi)切圓圓心的坐標為(0,弓點石成金：1s.的內(nèi)切圓二2八的

32、周長r 的內(nèi)切圓例8、已知定點C(-1,0)及橢圓X2 3y2 =5 ,過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩占八、2由線段AB中點的橫坐標是一丄, 得 t 3k 1，解得k仝,符合題意22 3k +12- 3所以直線AB的方程為x r§'3y，1=0，或x . 3y 1 = 0 .(U)解：假設在x軸上存在點M(m,0)，使MA MB為常數(shù).當直線AB與x軸不垂直時，由(I)知 x1 x26k23k213k2 -5XM 二2.3k21所以 MA MB = (% -m)(x2 - m) %y2 = (% - m)(x2 - m) k2(x 1)(x2 1)= (k2 十1 X x

33、； + (k - m) (x+ 2X )+2 k + 2m將(3)代 入， 整 理 得12142 匚(2 m )(3k2 1)2m(6m -1)k -52、3322 c 1 6m 14MA MBm=3o3 m = m 2m23 3(3k +1)74，此時 mA mb .39<3, 1,3 ，當3k2 13k2 1注意到MA MB是與k無關的常數(shù)， 從而有6m 1 0, m = - 7 當直線AB與x軸垂直時，此時點 A B的坐標分別為-12m = -7 時，亦有 mA mb =4.39，使MA MB為常數(shù).綜上，在x軸上存在定點M -7，jI 3丿1214(6m-1)k252 (2m_3

34、)(3k2)_2m3k2 1點石成金：MA MB = 1- - m233k2 +1=m2 2m 丄丄433(3k2+1)例9、已知橢圓的中心在原點，焦點在 x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M (2,1)，平行于OM的直線I在y軸上的截距為m (m0)，l交橢圓于A、B兩個不同點。(I)求橢圓的方程；(U)求m的取值范圍;(川)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形思維流程:2 2解：(1)設橢圓方程為篤爲=1(a . b 0)a ba =2b解得b2=8二 22 2橢圓方程為18 2(n)v直線|平行于0M，且在y軸上的截距為m又 KoM =11的方程為：2X m1y =-x +m

35、丄222由 22 x 2mx 2m4=0工乞=18 22 2直線l與橢圓交于A、B兩個不同點,、.- -(2m) -4(2m -4)0,解得-2 m ： 2,且m = 0(川)設直線MA、MB的斜率分別為k1,匕只需證明k1+k2=0即可設 A(xyj, B(X2 - y2),且X1 X2 - -2mxx2 = 2m2 - 4則 & =g,k2 =3X1 2x 2 2由 x2 2mx 2m2 -4 = 0可得x1 x2-2m,x1x2 =2m -4而 k1 - k2y1 -1y2 1(y1 1) -(X2- 2) (y2 -1)(X1- 2)X1 - 2X2- 2(X1- 2)(X2

36、_ 2)1 1(尹 m-1)(X2 -2)(產(chǎn)2 5-1)(為 -2) (X -2)(X2 -2)x,x2 (m 2)(xix2) -4(m -1)(為-2)(X2 -2)2m2 -4 (m -2)(2m) -4(m 1)(X1 - 2)(X2 一2)2m242m2 4m4m 4=0(x. 2)(X2 -2)k. k2 =0故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.點石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形 =k.02 2過A(a,0), B(0,-b)的直線到原點的距例.0、已知雙曲線篤-爲a b(.)求雙曲線的方程;(2)已知直線y=kx，5(k=0)交雙曲線于不同的點C,

37、D且C, D都在以B為圓心的 圓上，求k的值.思維流程：解：.)2=原點到直線 AB :A_=1的距離a3a babab忑d =-.=.Ja 2 + b2c2.b = 1, a = 3 .故所求雙曲線方程為 £1 _ y 2 = 13(2)把 y 二 kx 5代入 X2 -3y2 =3 中消去 y,整理得(1 -3k2)x2 -30kx-78 = 0.設C(x1,y1),D(x2,y2),CD 的中點是 E(x°,y°)，則X。X1 X215 k1 - 3k 2y。51 - 3k 2k BEy。11=X0kx°ky° k =0,即卩k 2丁1

38、- 3k 21 - 3k 2k = 0,又 k = 0,. k2=7故所求k= ± .7 .點石成金：C, D都在以B為圓心的圓上二BC=BD= BE丄CD;例11、已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.(I)求橢圓C的標準方程;(II)若直線I :y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證：直線I過定點，并求出該定點的坐標.思維流程:2 2解：(I)由題意設橢圓的標準方程為 篤-y2 = 1(a b 0),a b由已知得：a，c=3, a-c =1,2 2橢圓的標準方程為11.43(II )設 AX, yj,Bg,y2).y = kx m,聯(lián)立x2y2一=1.43得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 -3) = 0 ,A=64m2k2 16(3 +4k)(m2 3) >0,即 3 +4k2X1 亠 X2 = -3 4k 4(m2 _3)X1X223 4k2m- 0,8mk2，3(m _4k2) 又 y1y (kx1 m)( kx2 m) =k2xjx2 mk(x1 x2) m2 -3 4k2因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點 D(2,0),kADkBD = T，即一