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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上繩子拉船問題的理解與求解一、繩子拉船問題的理解 1繩子拉船問題 如圖1所示,在水面上方h高的岸上,某人利用繞過定滑輪O的輕繩勻速地拉動(dòng)水面上的一只小船,如果人拉動(dòng)繩子的速度大小為V,則當(dāng)繩子OA與水平面的夾角為時(shí),小船運(yùn)動(dòng)的速度為多大。 2常見錯(cuò)誤及原因分析 對(duì)此問題,很多學(xué)生的常見錯(cuò)誤是把拉動(dòng)繩子的速率V沿豎直和水平兩個(gè)方向分解,如圖2所示,因此錯(cuò)誤地認(rèn)為船沿水面運(yùn)動(dòng)的速度,就是繩子沿水平方向的分速度,即V船=Vcos &
2、#160; (1) 造成上述錯(cuò)誤的原因,就是沒有分清楚合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng),錯(cuò)誤地認(rèn)為與船相連的繩子沿收縮方向是合運(yùn)動(dòng),小船的運(yùn)動(dòng)為它的分運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上,繩子A端與船相連,它的實(shí)際運(yùn)動(dòng)與小船運(yùn)動(dòng)相同,也是水平向左,這才是合運(yùn)動(dòng)。 3常規(guī)解法 如圖1所示,當(dāng)繩子拉著小船水平向左運(yùn)動(dòng)時(shí),定滑輪右邊的繩子運(yùn)動(dòng)有這樣的效果:一方面,沿繩子方向收縮;另一方面,繩子繞定滑輪O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。因此,可將繩A端(或小船)水平向左的實(shí)際運(yùn)動(dòng)(合運(yùn)動(dòng))分解成上述兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng),如圖3所示,而沿繩子收縮方向的分速度大小等于人通過定滑輪拉
3、動(dòng)繩子的速度大小V,故小船運(yùn)動(dòng)的速度為 (2)1功能原理法 設(shè)定滑輪的質(zhì)量、滑輪與軸之間的摩擦均不計(jì),則人在利用繞過定滑輪的繩子拉船過程中,人拉輕繩所做的功等于繩子拉船所做的功,即W人=W船,由于人拉繩與繩拉船的時(shí)間相同,則有,即P人 = P船 (3) 設(shè)人對(duì)繩子的拉力為F,則繩對(duì)船的拉力大
4、小也為F,根據(jù)功率的計(jì)算公式P=FVcos,有 P人 = F·V (4) P船 = F·V船cos (5) 聯(lián)立(3)、(4)、(5)式可得 類型題: 繩聯(lián)物體的速度分解問題 【例題】如圖所示
5、,人用繩子通過定滑輪以不變的速度拉水平面上的物體A,當(dāng)繩與水平方向成角時(shí),求物體A的速度。v0A解析:解法一(分解法):本題的關(guān)鍵是正確地確定物體A的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)。物體A的運(yùn)動(dòng)(即繩的末端的運(yùn)動(dòng))可看作兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成:一是沿繩的方向被牽引,繩長縮短。繩長縮短的速度即等于;二是隨著繩以定滑輪為圓心的擺動(dòng),它不改變繩長,只改變角度的值。這樣就可以將按圖示方向進(jìn)行分解。所以及實(shí)際上就是的兩個(gè)分速度,如圖所示,由此可得。解法二(微元法):要求船在該位置的速率即為瞬時(shí)速率,需從該時(shí)刻起取一小段時(shí)間來求它的平均速率,當(dāng)這一小段時(shí)間趨于零時(shí),該平均速率就為所求速率。v0ACBxL設(shè)船在角位置經(jīng)t時(shí)間向左行駛
6、x距離,滑輪右側(cè)的繩長縮短L,如圖所示,當(dāng)繩與水平方向的角度變化很小時(shí),ABC可近似看做是一直角三角形,因而有,兩邊同除以t得:即收繩速率,因此船的速率為:總結(jié):“微元法”??稍O(shè)想物體發(fā)生一個(gè)微小位移,分析由此而引起的牽連物體運(yùn)動(dòng)的位移是怎樣的,得出位移分解的圖示,再從中找到對(duì)應(yīng)的速度分解的圖示,進(jìn)而求出牽連物體間速度大小的關(guān)系。解法三(能量轉(zhuǎn)化法):由題意可知:人對(duì)繩子做功等于繩子對(duì)物體所做的功。人對(duì)繩子的拉力為F,則對(duì)繩子做功的功率為;繩子對(duì)物體的拉力,由定滑輪的特點(diǎn)可知,拉力大小也為F,則繩子對(duì)物體做功的功率為,因?yàn)樗?。評(píng)點(diǎn):在上述問題中,若不對(duì)物體A的運(yùn)動(dòng)認(rèn)真分析,就很容易得出的錯(cuò)誤
7、結(jié)果;當(dāng)物體A向左移動(dòng),將逐漸變大,逐漸變大,雖然人做勻速運(yùn)動(dòng),但物體A卻在做變速運(yùn)動(dòng)??偨Y(jié):解題流程:選取合適的連結(jié)點(diǎn)(該點(diǎn)必須能明顯地體現(xiàn)出參與了某個(gè)分運(yùn)動(dòng));確定該點(diǎn)合速度方向(物體的實(shí)際速度為合速度)且速度方向始終不變;確定該點(diǎn)合速度的實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果從而依據(jù)平行四邊形定則確定分速度方向;作出速度分解的示意圖,尋找速度關(guān)系?!纠}】如圖所示,在高為H的光滑平臺(tái)上有一物體用繩子跨過定滑輪C,由地面上的人以均勻的速度v0向右拉動(dòng),不計(jì)人的高度,若人從地面上平臺(tái)的邊緣A處向右行走距離s到達(dá)B處,這時(shí)物體速度多大?物體水平移動(dòng)了多少距離?hv0sBAs解析:人的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng),將此合運(yùn)動(dòng)分解在沿
8、繩方向和垂直于繩的方向。全解設(shè)人運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),繩與地面的夾角為。人的運(yùn)動(dòng)在繩的方向上的分運(yùn)動(dòng)的速度為:。物體的運(yùn)動(dòng)速度與沿繩方向的運(yùn)動(dòng)速度相同,所以物體的運(yùn)動(dòng)速度為。物體移動(dòng)的距離等于滑輪右端繩子伸長的長度,。答案:, 小結(jié)分清合運(yùn)動(dòng)是關(guān)鍵,合運(yùn)動(dòng)的重要特征是,合運(yùn)動(dòng)都是實(shí)際的運(yùn)動(dòng),此題中,人向前的運(yùn)動(dòng)是實(shí)際的運(yùn)動(dòng),是合運(yùn)動(dòng);該運(yùn)動(dòng)分解在沿繩的方向和垂直于繩的方向,這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物理意義是明確的,從滑輪所在的位置來看,沿繩的方向的運(yùn)動(dòng)是繩伸長的運(yùn)動(dòng),垂直于繩的方向的運(yùn)動(dòng)是繩繞滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng),人同時(shí)參與了這兩個(gè)運(yùn)動(dòng),其實(shí)際的運(yùn)動(dòng)(合運(yùn)動(dòng))即是水平方向的運(yùn)動(dòng)【例題】如圖所示,重物M沿豎直桿下滑,并通過繩
9、帶動(dòng)小車m沿斜面升高問:當(dāng)滑輪右側(cè)的繩與豎直方向成角,且重物下滑的速率為v時(shí),小車的速度為多少?mvM解析:重物M的速度v的方向是合運(yùn)動(dòng)的速度方向,這個(gè)v產(chǎn)生兩個(gè)效果:一是使繩的這一端繞滑輪做順時(shí)針方向的圓周運(yùn)動(dòng);二是使繩系著重物的一端沿繩拉力的方向以速率v運(yùn)動(dòng),如圖所示,由圖可知,vv·cos【例題】一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B,如圖所示,設(shè)汽車和重物的速度的大小分別為,則( BD )vAvBA B C D重物B的速度逐漸增大【例題】如圖所示,一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為mA和mB的兩個(gè)小球A和B(可視為質(zhì)點(diǎn))。將其放在一個(gè)直角形光滑槽中,已知當(dāng)輕桿與槽左壁成角時(shí),A球沿槽下滑的速
10、度為VA,求此時(shí)B球的速度VB?ABa解析:A球以VA的速度沿斜槽滑下時(shí),可分解為:一個(gè)使桿壓縮的分運(yùn)動(dòng),設(shè)其速度為VA1;一個(gè)使桿繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng),設(shè)其速度為VA2。而B球沿斜槽上滑的運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng),設(shè)其速度為VB,可分解為:一個(gè)使桿伸長的分運(yùn)動(dòng),設(shè)其速度為VB1,VB1=VA1;一個(gè)使桿擺動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)設(shè)其速度為VB2;ABavA2vAvBvA1vB2vB1由圖可知: 【例題】如圖所示,臨界角C為450的液面上有一點(diǎn)光源S發(fā)出一束光垂直入射到水平放置于液體中且距液面為d的平面鏡M上,當(dāng)平面鏡M繞垂直過中心O的軸以角速度做逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),觀察者發(fā)現(xiàn)水面上有一光斑掠過,則觀察者們觀察到的光斑在水
11、面上掠過的最大速度為多少?SOdM解析:設(shè)平面鏡轉(zhuǎn)過角時(shí),光線反射到水面上的P點(diǎn),光斑速度為V,由圖可知:SOdMvvvP且,而故液體的臨界角為C,當(dāng)2=C=450時(shí),V達(dá)到最大速度類型題: 面接觸物體的速度問題 求相互接觸物體的速度關(guān)聯(lián)問題時(shí),首先要明確兩接觸物體的速度,分析彈力的方向,然后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進(jìn)行分解,令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出?!纠}】一個(gè)半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右以速度V0勻速運(yùn)動(dòng)。在半圓柱體上擱置一根豎直桿,此桿只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng),如圖所示。當(dāng)桿與半圓柱體接觸點(diǎn)P與柱心的連線與豎直方向的夾角為,求豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度。ROPv0
12、v1解析:設(shè)豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度為V1,方向豎直向上,由于彈力方向沿OP方向,所以V0、V1在OP方向的投影相等,即有,解得V1=V0。tan【例題】一根長為L的桿OA,O端用鉸鏈固定,另一端固定著一個(gè)小球A,靠在一個(gè)質(zhì)量為M,高為h的物塊上,如圖所示,若物塊與地面摩擦不計(jì),試求當(dāng)物塊以速度v向右運(yùn)動(dòng)時(shí),小球A的線速度vA(此時(shí)桿與水平方向夾角為)。oA解析:解題方法與技巧:選取物與棒接觸點(diǎn)B為連結(jié)點(diǎn)。 (不直接選A點(diǎn),因?yàn)锳點(diǎn)與物塊速度的v的關(guān)系不明顯)。因?yàn)锽點(diǎn)在物塊上,該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不變且與物塊運(yùn)動(dòng)方向一致,故B點(diǎn)的合速度(實(shí)際速度)也就是物塊速度v;B點(diǎn)又在棒上,參與沿棒向A點(diǎn)滑動(dòng)的速度v1
13、和繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度v2。因此,將這個(gè)合速度沿棒及垂直于棒的兩個(gè)方向分解,由速度矢量分解圖得:v2=vsin。設(shè)此時(shí)OB長度為a,則a=h/sin。令棒繞O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為,則:=v2/a=vsin2/h。故A的線速度vA=L=vLsin2/h。 淺談“運(yùn)動(dòng)速度的分解”中隱形的知識(shí)點(diǎn)李澤龍高中物理力學(xué)、電學(xué)、光學(xué)部分,速度的正交分解這一知識(shí)點(diǎn)常?!半[形”的滲透到不同運(yùn)動(dòng)方向的兩個(gè)或多個(gè)連結(jié)體運(yùn)動(dòng)的情景中,或者運(yùn)動(dòng)物體的速度瞬間發(fā)生突變時(shí)的情景中。如果解題者稍有不慎,就會(huì)因不能辯識(shí)出或者不能正確的應(yīng)用速度分解,而造成對(duì)整道題的解答錯(cuò)誤。下面例舉幾道常出現(xiàn)速度分解的典型例題加以討論分析,
14、把握此知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)的規(guī)律性,以便靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用。一. 速度投影類的速度分解1. 速度分解“隱形”在力學(xué)的超重、失重物理情景中例1. 如圖1,在不計(jì)滑輪摩擦和繩質(zhì)量的條件下,當(dāng)小車勻速向右運(yùn)動(dòng)時(shí),物體A的受力情況是( )A. 繩的拉力大于A的重力B. 繩的拉力等于A的重力C. 繩的拉力小于A的重力D. 拉力先大于A的重力,后小于重力圖1分析與點(diǎn)撥:此類問題通常是通過定滑輪造成繩子兩端的連接體運(yùn)動(dòng)方向不一致,導(dǎo)致主動(dòng)運(yùn)動(dòng)物體和被動(dòng)運(yùn)動(dòng)物體的加速、減速的不一致性。解答時(shí)必須運(yùn)用兩物體的速度在各自連接處繩子方向投影相同的規(guī)律。解析:把小車的速度為合速度進(jìn)行分解,即根據(jù)運(yùn)動(dòng)效果向沿繩的方向和與繩垂直的方
15、向進(jìn)行正交分解,分別是v2、v1。如圖1所示,題中物體A的運(yùn)動(dòng)方向與連結(jié)處繩子的方向相同,不必分解。A的速度等于v2,小車向右運(yùn)動(dòng)時(shí),逐漸變小,可知逐漸變大,故A向上做加速運(yùn)動(dòng),處于超重狀態(tài),繩子對(duì)A的拉力大于重力,故選項(xiàng)A正確。2. 速度分解“隱形”在桿的各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度不同的情景中例2. 如圖2所示,當(dāng)放在墻角的均勻直桿A端靠在豎直墻上,B端放在水平地面,滑到圖示位置時(shí),B點(diǎn)的速度為v,則A點(diǎn)的速度是_(為已知)。圖2分析與點(diǎn)撥:由于桿AB下滑時(shí)各點(diǎn)的速度不同,但各點(diǎn)速度沿桿方向的投影相同,即沿桿方向的速度效果相同,所以把兩端點(diǎn)的速度必須向沿桿方向上和桿垂直的方向上正交分解。解析:把A、B兩端
16、點(diǎn)的速度為vA、vB各自做為合速度向沿桿AB的方向和與桿垂直的方向進(jìn)行正交分解,如圖2所示,沿桿AB方向的投影分速度相同,都是v1,那么有:,即求解出A下滑的速度:。二. 速度分解“隱形”在水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的物理情景中例3. 如圖3,一個(gè)小球被繩子牽引在光滑的水平板上,以速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其半徑,現(xiàn)將牽引的繩子迅速放長20cm,使小球在更大半徑的新軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng),求實(shí)現(xiàn)這一過渡所需的時(shí)間?在新軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),繩子對(duì)小球的牽引力F2是原來繩子對(duì)小球牽引力F1的多少倍?圖3分析與點(diǎn)撥:當(dāng)繩子放長后,牽引力迅速變?yōu)镺,球沿切線方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),在繩長50cm處被拉緊時(shí),速度的方向
17、突然發(fā)生改變后,才能沿新軌道圓做勻速圓周運(yùn)動(dòng),此過程有動(dòng)能損失。如果忽視這一瞬間的速度分解的關(guān)鍵處理方法,認(rèn)為速率不變的進(jìn)入新的圓周運(yùn)動(dòng),導(dǎo)致題問的錯(cuò)解。解析:假設(shè)球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)開始放長,可轉(zhuǎn)化成直視平面圖4,球從A點(diǎn)沿切線方向AB飛出,并做勻速直線運(yùn)動(dòng),再被拉緊時(shí)在B點(diǎn),OB為新軌道圓的半徑,。球在B點(diǎn)被拉緊前的瞬間速度沿AB方向,即拉緊后在新圓周上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v1,二者不相等。按照vB的運(yùn)動(dòng)效果并作為合速度正交分解,分速度分別是:新圓上過B點(diǎn)沿半徑OB向外的速度v2和過B點(diǎn)的切線方向的速度為v1,如圖4所示。圖4,v2被繩子的拉力作用瞬間變?yōu)镺,半徑為r的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)向心力,半
18、徑為r1的一個(gè)圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力,三. 速度分解“隱形”在機(jī)械能守恒的物理情景中例4. 如圖5,三物體A、B、C質(zhì)量相等,A、B用細(xì)繩繞過輕小的定滑輪相連接,開始A、B靜止,滑輪間的細(xì)繩長MN為2a,現(xiàn)將C物體輕輕掛在MN繩的中點(diǎn),試求松手后,C物體運(yùn)動(dòng)過程能達(dá)到的最大速度為多少?圖5分析與點(diǎn)撥:易分析C物體速度最大時(shí)合力為0,如圖5所示,此時(shí)C、A、B的速度分別為:vC、vA、vB,常犯把速度vC向MO1、NO1兩方向分解而得到的錯(cuò)誤。實(shí)際上物體C的運(yùn)動(dòng)有四個(gè)效果,應(yīng)采用兩個(gè)速度正交分解圖處理,如圖6(a)、(b)。顯然物體A、B在最大時(shí),它們的速率相等,。圖6解析:假設(shè)O點(diǎn)下落到O1位置時(shí)C物體速度最大,如圖5所示,此位置結(jié)點(diǎn)O1受到合力為O,C物體的速度最大為,A、B兩物體的速度大小相等即,。A、B兩物體上升的高度,C物體下降的高度,合速度的兩個(gè)速度分解如圖6(a)(b)而求出。由于該過程A、B、C繩組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒:,代入求解得四. 速度分解“隱形”在電學(xué)情景中例5. 如圖7所示,在一個(gè)平行板電容器的水平方向的勻強(qiáng)電場中,用絲線在固定點(diǎn)懸掛一個(gè)質(zhì)量為M的小球,使小球帶正電,電量正好使小球的重力為小球所受電場力的倍,現(xiàn)拉開小球至絲線正好水平伸直的A位置后自由釋放,求小球到最低點(diǎn)B處時(shí)線上拉力的大???圖7分析與點(diǎn)撥:必須考慮到球沿直線AC方向運(yùn)動(dòng)到沿CB弧圓周運(yùn)動(dòng)
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