微分幾何第四版習題答案梅向明

1、r asin ,bcos ,0rt0,0,1。所以切平面方程為: 1曲面的概念1. 求正螺面r= ucosv,u sinv, bv 的坐標曲線.、 r解 u-曲線為 r =ucosv0,usin v0,bv0= 0,0 , bv0+ u cosv0,sin v0,0，為 曲線的直母線；v-曲線為 r =u0cosv,u0sinv,bv 為圓柱螺線.2.證明雙曲拋物面r= a ( u+v) , b (u-v ) ,2uv 的坐標曲線就是它的直母線。證 u-曲線為 r = a (u+v0) , b (u-v0) ,2uv0= av0, bv0,0+ ua,b,2v0表示過點 av。，bv,0以a,

2、b,2v。為方向向量的直線；v-曲線為 r = a (u+v) , b ( u-v ) ,2 uv = au, b u0,0 +va,-b,2 u0 表示過點(au,b u,0)以a,-b,2 u為方向向量的直線。只有一個切平面 。3 .求球面 F = a cos法線方程為jSoscossin , a cossin ,asin 上任意點的切平面和法線方程,a sinsin,a cos ,r= acos sin,a cos cosa coscosy a cossinz asi na sin cosa sinsina cos0a cossina coscos0sin + zsi n-a = 0co

3、sya cos sinza sincos24.求橢圓柱面X2ay2b1在任意點的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面x任意點的切平面方程為,0即 xcos cos + ycos解r= a sin cosr asin ,bcos ,0rt0,0,1。所以切平面方程為:2解橢圓柱面務a2y_b21的參數(shù)方程為 x = cos , y = asin, z = t 2 曲面的第一基本形式1.求雙曲拋物面 r = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv 的第一基本形式.解rua, b,2v, rva, b,2u, E ru2a2b24v2,F rurva2b24uv,G rv2a2b24u2

4、,二 I =(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv (a2b24u2)dv2。2.求正螺面 r = ucosv,u sinv, bv 的第一基本形式，并證明坐標曲線互相垂 直。解rucos v, sinv,0, rv usinv,ucosv, b，Eru21，F(xiàn)rurv0，G rv2u2b2，I =du2(u2b2)dv2，tF=0，.坐標曲線互相垂直。3.在第一基本形式為 I =du2sinh2udv2的曲面上，求方程為 u = v 的曲線的弧 長。解 由條件ds2du2sinh2udv2,沿曲線 u = v 有 du=dv ，將其代入ds2得ds2du2sinh2udv2=c

5、osh2vdv2，ds = coshvdv , 在曲線 u = v 上，從 w 至U v2的弧長x a cosy bsinz tasin bcos 00，即 x bcos + y asin a b = 00 0 1此方程與 t 無關(guān)，對于 的每一確定的值，確定唯一一個切平面，而 的每一數(shù)值對應一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面。35.證明曲面r u,v,的切平面和三個坐標平面所構(gòu)成的四面體的體積是常數(shù)。x y uv33z3。u v a于是，四面體的體積為：3證ru1,0,加u v與三坐標軸的交點分別為13a39V63|u|3|v| 2auv3，rv0,1,二。切平面方程為:u

6、v(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3是常數(shù)。空)uv為 | v coshvdv| |sinhv2sinhv1|。yo，其切向量rx=1 , 0, ayo，設(shè)兩曲線 x = x與 y =yo的夾角為，則有cos6. 求 u-曲線和 v-曲線的正交軌線的方程.解 對于 u-曲線 dv = 0,設(shè)其正交軌線的方向為Su:Sv ,則有EduSu + F(duSv + dvSu)+ G d vSv = 0,將 dv =0 代入并消去 du 得 u-曲線的正交軌 線的微分方程為 ESu + FSv = 0 .同理可得 v-曲線的正交軌線的微分方程為 FSu + GSv = 0 .7. 在曲面

7、上一點，含 du ,dv 的二次方程 Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2=0,確定兩個切方向(du : dv )和(Su :Sv),證明這兩個方向垂直的充要條件是 ER-2FQ + GP=0.4.設(shè)曲面的第一基本形式為 I =du2(u2a2)dv2，求它上面兩條曲線 u + v =0 ,u - v = 0 的交角。分析由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊量,知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。即等距不變量，而求等距不變量只須解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量E 1 ,Fv0,G u2a2，曲線 u + v = 0 與 u - v = 0 的交點為 u = 0, v = 0

8、,交點處的第一類基本量為 E 1，F(xiàn)v0,G a2。曲線 u + v = 0的方向為 du = -dv , uv = 0 的方向為Su=Sv ,設(shè)兩曲線的夾角為，則有cosEdu u Gdv u.Edu2Gdv2、E u2G v21 a21 a25.求曲面 z = axy 上坐標曲線 x = xo,y =y的交角.解曲面的向量表示為 r =x,y,axy.坐標曲線 x = xo的向量表示為r = xo,y,axoY ，其切向量 ry=0，1，ax。;坐標曲線 y =y0的向量表示為 r =x ,yo,axrxryIH 12a Xoyoa2x：,12 2a yo2Q 理+ R=0 ,設(shè)其二根屯，

9、丄，則蟲=旦dvdv v dv v P證明 因為 du,dv 不同時為零，假定 dv0,則所給二次方程可寫成為 P()2+屯+=2Qdv v P又根據(jù)二方向垂直的條件知 Edu+ F(巴+上)+ G = 0dv vdv v將代入則得 ER - 2FQ + GP = 0 .8.證明曲面的坐標曲線的二等分角線的微分方程為Edu2=Gdv2.證 用分別用3、d 表示沿 u曲線，V曲線及其二等分角線的微分符號，即沿 u曲線Su0,3v=0，沿 v 曲線 u=0,v0.沿二等分角軌線方向 為 du:dv ,根據(jù)題設(shè)條件,又交角公式得(Edu v Fdv u)2E u2ds2(Fdu v GdvG v2d

10、s2v)2，即(Edu Fdv)2E(Fdu Gdv)2G展開并化簡得 E(EG-F2)du2=G(EG-F2)dv2,而 EG-F20,消去 EG-F2得坐標曲線的二等分角線的微分方程為 Edu2=Gdv2.9 .設(shè)曲面的第一基本形式為 I =du2(u2a2)dv2，求曲面上三條曲線 u = av, 相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形(如圖)所示。曲城的三角形的面積是01S=u2a2du dvaua_ 1a2du dvuaa1a=2 . u2a2du dv=2 (1u). u2a2du0u0aa=f(u23a3a2)2a2a2ln(u u2a2) |a22=a二ln(12)10

11、 .求球面 r = a cos sin,a cossin ,as的面積0v =1線圍解r= a sin cos , a sin sin , a cos ，r= a cos sin ,acos cos ,0=a2,F=r r= 0 , G = r2=a2cos2.球面的面積為:22d.一 a4cos2d 2 a2 2cos d 2 a2sin |24 a2.2 022證明螺面 r =ucosv,usinv,u+v 和旋轉(zhuǎn)曲面 r =tcos ,tsin , . t21(t1,02 )之間可建立等距映射=arctgu + v , t= u21 .分析 根據(jù)等距對應的充分條件，要證以上兩曲面可建立等

12、距映射=arctgu + v ,t= -u21 ,可在一個曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對應點有相同的參數(shù),然后證明在新的參數(shù)下，兩曲面具有相同的第一基本形式.證明 螺面的第一基本形式為 l=2du2+2 dudv+(u2+1)dv2,旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形t2.-式為 l=(1牙)dt2t2d,在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換=arctgu + v , t =；u21 ,t21則其第一基本形式為：u 121222222=(21)du亍du 2dudv (u 1)dv=2du+2 dudv+(u+1)dv= I .u1 u 3曲面的第二基本形式1.計算懸鏈面 r =coshucosv,cos

13、husinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解ru=sinhucosv,sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu=coshucosv,coshus inv, 0,ruv=-s in hus inv,sin hucosv,0,rw=-coshucosv,-coshusinv,0,E = cosh u,Fm m=0,G rv=cosh u.所以 I = cosh2udu2+ cosh2udv2.n = _j=r= cosh u cos v, cosh u sin v, sinhusin v,VEGF2cosh uE = r211.所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建

14、立等距映射=arctgu + v , t =. u21 . coshu 彳c coshu 彳L= - 1, M=0, N= -=1 .sinh21一 sinh21所以 II = -du2+dv2。2.計算拋物面在原點的2x35x；4x1x22x|第一基本形式,第二基本形式.5解 曲面的向量表示為 rx1,x2，-x22x1x2x；,rx11,0,5x12x2(0,0)1,0,0,rx2 0,1,2x12x2(0,0)0,1,0,rx1X10,0,5,GX20,0,2,X2X20,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 丄=5 , M = 2 , N =2 , 1=dx；dx；, 1

15、1=5dx；4dx1dx22dx|.3. 證明對于正螺面 r =ucosv,u sinv,bv,- gu,vx處處有 EN-2FM+GL=0解rucos v,si n v,0, rv u si nv,ucosv,b,ruu=0,0,0,G rv2u2b2, L= 0, M = -b, N = 0 . 所以有 EN - 2FM + GL= 0 .u2b214. 求出拋物面 z -(ax2by2)在(0,0)點沿方向(dx:dy)的法曲率.解rxUQax。)1,0,0,ry0,1,by(,。)0,1,0,口0,0,a, q0,0,0 ryy0,0,b,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b

16、,沿方向 dx:dy 的法曲率 kn5.已知平面到單位球面(S)的中心距離為 d(0d1),求 與(S)交線的曲率與法曲率解 設(shè)平面 與(S)的交線為(C),則(C)的半徑為.1 d2,即(C)的曲率為1 -k .-,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于丿 1 d2,所以(C)的1 d2ruv=-uucosv,cosv,0, rw=-ucosv,-us inv, 0,Eru2rvadx2bdy2dx2dy2法曲率為knk .1d26. 利用法曲率公式 kn+，證明在球面上對于任何曲紋坐標第一、第二類基本量成 比例。證明 因為在球面上任一點處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為

17、球面 半徑 R的倒數(shù) 1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(u,v)，沿任意方向 du:dv本量成比例。7 求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線證明對于正螺面r=ucosv,usinv,bv，rucos v,si n v,0,v u si nv,ucosv,b，ruu=0,0,0 ，rw=-ucosv,-usi nv,0L= (HG) =0,N=-(ru,rv,rvv)=0 .所以 u 族曲線和 v 族曲線都是漸近線。而 u 族曲EG F2.EG F2線是直線，v 族曲線是螺旋線。8.求曲面z xy2的漸近線.解曲面的向量表示為r x,y,xy2,rx1,0, y2, ry0,1,

18、2xy, q 0,0,0,rx21 4y4,F rxg 2xy2,G r：1 4x2y2.9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法 向量所確定的平面，與曲線(C)的密切平面重合，所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上 是漸近線kn2 2丄 Ldu 2Mdudv NdvI Edu22Fdudv Gdv21或-R，所以 i E(R)，即第一、第二類基rxy0,0,2y, ryy0,0,2x, EL 0，M、1 4xy2y4，N4x2x224y y漸近線的微分方程為Ldx22MdxdyNdy2,即4ydxdy

19、 2xdy20,一族為 dy=0,即y & , Ci為常數(shù).另一族為 2ydx=-xdy,即In x2yc2,或 x2yc,c 為常數(shù).rsr(s) t&(s)rt(rr) (1 t)rtr，rt方法二：任取曲線：rr(s)，它的主法線曲面為S:r r(s,t)r(s)rt (s)，(1 t )r0012 2 2y ,F ax,Ga2x2丄0, Ma1 a2x2寧 f,N=0. a ydy21 a2x2dxdy2 2 2a x ya22 2 2a x a ydx22a x=0 得(1 a22 2y )dx (1a2x2)dy2,積分得兩族曲率線為 ln(ax 1a2x2)ln(ay , 1 a

20、2y2) c.r r在曲線上，t=0 ,rsrtr,曲面的單位法向量n=s二r，即nr，所VEG F2以曲線 在它的主法線曲面上是漸近線.10.證明在曲面 z=f(x)+g(y)上曲線族 x=常數(shù),y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證 曲面的向量表示為 r =x,y, f(x)+g(y),x= 常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標曲線。X1Q f，ry0,1,g. L 0,0, f , L 0,0,0,打0,0, g ,因為M；xy-以- 0,所以坐標曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線族=常數(shù)，y=常數(shù)構(gòu)成共VEG F2軛網(wǎng)。11.確定螺旋面 r =ucosv,u sinv,bv上的曲率線.解rucos v,sin v,0, rv

21、 u sin v, u cosv, b，ruu=0,0,0 ，rvv=-ucosv,-usinv,012.求雙曲面 z=axy 上的曲率線._Qruv=-si nv,cosv,0,Eg1，F(xiàn)N=0,曲率線的微分方程為：0，Grv2u2b2，b_b2dv210dudv0bu2b2du2u2b200,即 dv12 b2du,積分得兩族曲率線方程:v ln(uu2b2)G 和 v ln(. u2b2u) c2.13. 求曲面 r a(u v)，b(u v),-UV上的曲率線的方程.2.2 2 2 . 2 2.2 2解Ea b V,F旦V,Ga b U,L 0,444abM= _2一 ,N=0.代入曲

22、率線的微分方程得所求曲率線的方程是：. EG F2(a2b2u2)dv2(a2b2v2)du2,積分得：ln(ua2b2u2) ln(v -a2b2v2) c .14.給出曲面上一曲率線 L,設(shè) L 上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成定角，求證 L 是一平面曲線.證法一：因 L 是曲率線,所以沿 L 有dnndr,又沿 L 有？n=常數(shù),求微商得n 一 n 0,而 n / dn / dr 與 正交，所以n 0,即- n =0,則有 =0,或 n =0 .若=0,則 L 是平面曲線；若 n =0 , L 又是曲面的漸近線，則沿 L ,n=0 , 這時 dn=0, n為常向量，而當 L 是漸

23、近線時， =n ,所以 為常向量，L 是一平面 曲線.證法二：若n，則因 n dr IIr，所以 n II ，所以 dn II &,由伏雷r rr內(nèi)公式知 dn 11()而 L 是曲率線，所以沿 L 有 dn I，所以有=0,從而曲線為平面曲線；若 不垂直于 n，則有？n=常數(shù),求微商得& n一& 0,因為 L 是曲率線，所以沿 L 有 dn II dr ，所以r& 0，所以n 0，即- n =0，若=0，則問題得證；否則 n=0，則因 nr0，有 n II ， dn IIdr|(-) Ir，矛盾。15. 如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。證 曲線的密切平面與曲面的切

24、平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。216 .求正螺面的主曲率。解 設(shè)正螺面的向量表示為r=ucosv,u sinv,bv.解rucos v,sin v,0, rv u sin v, u cosv,b,ruu=0,0,0,2rw=-ucosv,-usinv,0,% =-sinv,cosv,0,E幾1,Fi% g 0Grv2u2b2, L= 0, M =b,N = 0, 代入主曲率公式.u2b217.確定拋物面 z=a(x2y2)在(0，0)點的主曲率.解 曲面方程即ryy0,0, 2a,r x, y,a(x2y2),L 1,0,2ax仁0,1,2ay,rxx0,

25、0, 2a,rXy0,0,0,0,0, 2a。在(0, 0)點,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以N-4aN+4a2=0，兩主曲率分別為1= 2 a ,2= 2 a .18.證明在曲面上的給定點處，沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).(EG-F2)(LG-2FM+EN+ LN- M2= 0 得2 _N=y(u所以主曲率為aa122)222 uaua證 曲面上的給定點處兩主曲率分別為1、2，任給一方向及與其正交的方向2+2，則這兩方向的法曲率分別為n()1cos22sin2n(2)1cos2(2)2sin2(2)4 n22cos2，即n()n(2)12為常數(shù)。19

26、.證明若曲面兩族漸近線交于定角,則主曲率之比為常數(shù).證由n 1cos22sin2得 tg21,即漸進方向為iarctg ,2=-arctg .又-2+1=2i為常數(shù),所以為i為常數(shù),即為常數(shù).20. 求證正螺面的平均曲率為零.證由第 3 題或第 16 題可知.21. 求雙曲面 z=axy 在點 x=y=O 的平均曲率和高斯曲率.證 在點 x=y=O ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=O,H=-LG 2FM2NE0,2(EG F2)2LN M2r=-aEG F222.證明極小曲面上的點都是雙曲點或平點證法一：由H=2=0有1=2=0或1=-20.n( )1cos22sin2

27、=0 ,即對于任意的若1=-20,則 K=1 20 ,即 LN-M2 0 ,G 0 ,所以 LN 0。若LN M2=0，貝 U L = M = N = 0 曲面上的點是平點，若LN M2 a 0 , b+acos 0,所以 LN - M2的符號與 cos 的符號一致,當 0W2和 y 0 ,曲面上的點為橢圓點，即圓環(huán) 面外側(cè)的點為橢圓點；當-2 牛，曲面上的點為雙曲點，即圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點為雙曲 點；當=2或時，LN - M2=0,為拋物點，即圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點為拋物/22點。25. 若曲面的第一基本形式表示為I2(u,v)(du2dv2)的形式，則稱這個曲面的坐標曲線為等溫網(wǎng)。試證：旋轉(zhuǎn)曲面r g(t)cos ,g(t)sin ,f(t)上存在等溫網(wǎng)。證 旋轉(zhuǎn)曲面r g(t)