GCT線性代數(shù)輔導(dǎo)課件講義.doc

1、GCT 線性代數(shù)輔導(dǎo)第一講行列式一 .行列式的定義一階行列式定義為a11a11二階行列式定義為a11a12a11a22a12 a21a21a22在 n 階行列式中，劃去元素aij所在的第 i 行第 j 列，剩余元素構(gòu)成n 1 階行列式，稱為元素 aij 的余子式，記作M ij令 Aij ( 1)i j M ij，稱 Aij 為 aij 的代數(shù)余子式n 階行列式定義為a11a12a1na21a22a2na11 A11a12A12a1n A1nan1an 2ann二 . 行列式的性質(zhì)1.行列式中行列互換，其值不變a11a12a13a11a21a31a21a22a23a12a22a32a31a32a

2、33a13a23a332.行列式中兩行對換，其值變號a11a12a13a21a22a23a21a22a23a11a12a13a31a32a33a31a32a333.行列式中如果某行元素有公因子，可以將公因子提到行列式外a11a12a13a11a12a13ka 21ka22ka 23k a21a22a23a31a32a33a31a32a334.行列式中如果有一行每個(gè)元素都由兩個(gè)數(shù)之和組成，行列式可以拆成兩個(gè)行列式的和a11a12a13a11a12a13a11a12a13a21b21a22b22a23b23a21a22a23b21b22b23a31a32a33a31a32a33a31a32a33由

3、以上四條性質(zhì)，還能推出下面幾條性質(zhì)15.行列式中如果有兩行元素對應(yīng)相等，則行列式的值為6.行列式中如果有兩行元素對應(yīng)成比例，則行列式的值為7.行列式中如果有一行元素全為，則行列式的值為8.行列式中某行元素的k 倍加到另一行，其值不變a11a12a13a11a12a13a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31ka11a32ka12a33ka13三 . n 階行列式展開性質(zhì)a11a12a1na21a22a2nDan1an2ann等于它的任意一行的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積的和，即Dai1 Ai1ai 2 Ai 2ain Aini1, 2, n按列展開定理Da1 j A1 j

4、a2 j A2 janj Anjj1, 2, nn 階行列式 D 的某一行的各元素與另一行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零即ai1 A j 1ai 2 A j 2ain Ajn0ij按列展開的性質(zhì)a1i A1 ja2i A2 jani Anj0ij四 .特殊行列式a11a1na22a2n1n (n1)a11a22ann ;1 2a1 na2n 1 an1annan1上（下）三角行列式和上面的對角行列式的結(jié)果相同.五 .計(jì)算行列式消零降階法 .消為特殊行列式（上（下）三角行列式或和對角行列式）.典型習(xí)題x231.D3 3x1 =（）。（ x313x 13 ）21x21a22.設(shè) 835的代數(shù)

5、余子式 A214 ，則 a=（）（ -2）14621x2x3* 11x1中 x 4的系數(shù)是（）（ 2）0x20x01xx14 D4a1x2=（）（ x1 x2 x3 x4 ）a2x3a3x4x31x3 y3z35設(shè) y 01 1，則524 =（）（ 1）z21111111x16 D411x11（）（ x 4 ）1x111x111131327 D43311，則 A12A22A32A42 （），（ 0）30123122a11124b0，則a（）b( )(ab 0 )或8212ba11a12a132a112a122a139* .設(shè) a21a22a23M0, 則2a312a322a33(8M)a31a

6、32a332a212a222a23xx1x410. f ( x) 2x2x12x3 0 的根的個(gè)數(shù)是（）（ 1）3x3x33x53x11011.解方程 g (x)1x10( x1,1,2)01x 1abc12* . 設(shè) a, b, c 是方程x32x40 的三個(gè)根 , 則行列式 bca0的值為 ( )(0)cab第二講矩陣一 .矩陣概念和運(yùn)算1.矩陣的定義和相等.2.加法 ,數(shù)乘 ,乘法 , 轉(zhuǎn)置 ,方陣的冪乘的定義及性質(zhì).尤其是矩陣乘法不滿足交換律和消去律.滿足結(jié)合律 ,左 (右)乘分配律等 .若 A, B 是 n 階方陣 ,則 ABA B特殊方陣3.逆矩陣定義： ABBA IA 可逆A 0

7、公式：A11 A*A 11AA可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)4. 伴隨矩陣定義： AAijT基本關(guān)系式：AA*A I與逆矩陣的關(guān)系：A 11 A*A行列式： A*An 1n,r ( A)n秩： r ( A* )1, r ( A) n 10,r ( A)n 15矩陣方程設(shè) A 是 n 階方陣， B 是 nm 矩陣，若 A 可逆，則矩陣方程 AXB 有解，其解為X A1B4設(shè) A 是 n 階方陣， B 是 mn 矩陣，若 A 可逆，則矩陣方程XAB 有解，其解為XBA 1二 .初等變換矩陣的初等行（列）變換：（）交換兩行（列） ；（）用一個(gè)非零常數(shù)乘某一行（列）；（）某行（列）的k 倍加到另一行（列）上AII

8、A1(初等行變換)三 .矩陣的秩1.定義在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k列，位于這 k 行 k 列交叉處的 k 2 個(gè)元素按其原來的次序組成一個(gè) k 階行列式，稱為矩陣A 的一個(gè) k 階子式若矩陣 A 中有一個(gè) r 階子式不為零， 而所有 r1 階子式全為零， 則稱矩陣 A 的秩為 r 。矩陣 A 的秩記作 r ( A) 顯然有r A 0A0r Am nmi nm, nr ( A)rA 中有一個(gè) r 階子式不為零；r ( A)rA 中所有 r1階子式全為零對于 n 階方陣 A ， r ( A)nA 0對于 n 階方陣 A ，若 r ( A)n ，則稱 A 是滿秩方陣2. 重要定理對矩陣

9、施行初等變換不改變矩陣的秩3. 矩陣的秩的求法階梯形矩陣滿足以下條件的矩陣稱為階梯形：（）所有零行都在矩陣的底部；（）非零行的第一個(gè)元素稱為主元，每個(gè)主元在前一行主元的右方；A (初等變換 )階梯形 U ,則r (A)U 中主元的個(gè)數(shù)4. 矩陣的秩有以下一些常用的性質(zhì)：（）r ( A) r (AT ) r kA r A(k 0) .（） r ( AB)r ( A)r ( B) （）rABr A ,r ABr B5（ 4）若 Am n Bn s0 ，則 r (A)r ( B)n ，其中 n 為矩陣 A 的列數(shù)（ 5）若 A 可逆，則 r ( AB )r (B) 若 B 可逆，則 r ( AB )

10、r ( A) 典型習(xí)題 A, B都是 n 階陣 ,則下列結(jié)論不正確的是()A.ABABB. ABTA BC. ABnD.A BA BAB AB(A)A B12.A, BM3，且 A 2,B3，求1 A2A*，2A*B 1(-108, 32/3)220010010013 P010, A020, 則 P1AP)2100(00100221001001104*.設(shè)A020,B1 2 2 , C AB 1,則C 1中第 3行第 2列的元素是003013A.11C. 13(B)3B.D.221012015.A0 2 0， AXI A2X,則 X（）(030)1011026.A, B都是n 階陣 , A0,

11、 AB0 .則下列結(jié)論正確的是 ()A. B0B. A0 或 B0C. BA0D. (AB) 2A2B 2(B)7.設(shè) A, B, C, I都是 n 階陣 ,滿足 ABCI .則A. BCAIB. ACBIC. BACID. CBA I(A)設(shè) B2B, AI B.則下列結(jié)論不正確的是 ()A A可逆 .B. A不可逆 .C.A 3I 可逆D. A2I 可逆(B)11111119. 設(shè)A01 1 ，則A*(011)001001610 * .設(shè) A M 4 , r A*0 ,則 r A(A)1或 2(A)1 或 3(A)2 或 3(A)3或 4(A)11123 T ,123 ， A,則 rA（）

12、。(1)122設(shè) A4t3，t（ ）時(shí)r A 2 。(-3)1231120012313設(shè) A341 , B246 ,則 rABB（）。(1)2453691111014*.設(shè) A20 , B,則23131A. ABBAB. ABBT ATC. BA8D. AB0(D)122*26x,三階矩陣 B0 ,且滿足 AB0 ,則15.設(shè)A306A. x8, r ( B)1B.x8,r (B)2C. x8, r (B)1D.x8, r ( B)2(A)第三講向量一 . 向量組 線性相關(guān)與線性無關(guān)1.向量組的線性組合與線性表示設(shè)1,2 ,s 是 n 維向量， k1 , k2 , ks 是數(shù)，則k11k22k

13、ss 稱為向量1, 2, s 的一個(gè)線性組合若k11k2 2ks s ,稱可由1,2 , s 線性表出線性相關(guān)與線性無關(guān)定義設(shè)1,2 ,s 是 n 維向量，若存在不全為零的數(shù)k1 , k2 , , ks ，使得k1 1k22ks s0 ，則稱 1,2 ,s 線性相關(guān)否則稱線性無關(guān)7定理若1,2 , , s 線性無關(guān)，而1, 2, s ,線性相關(guān) ,則可由1 ,2 ,s 線性表出 ,，且表示法惟一判斷設(shè)1,2 , s 是 n 維向量 ,1,2,s 線性相關(guān)r1 ,2 ,s s存在某個(gè)向量可被其余s1個(gè)向量線性表出n 個(gè) n 維向量 1 ,2 ,n 線性相關(guān)1,2 ,n0n1個(gè) n 維向量1 ,2

14、 ,n 1 必線性相關(guān)增加向量組向量的個(gè)數(shù)減少向量組向量的個(gè)數(shù)增加向量組向量的維數(shù)減少向量組向量的維數(shù),不改變向量組的線性相關(guān)性.,不改變向量組的線性無關(guān)性.,不改變向量組的線性無關(guān)性.,不改變向量組的線性相關(guān)性.含有零向量的向量組必線性相關(guān).含有兩個(gè)相同向量的向量組必線性相關(guān).二 .向量組的秩和極大線性無關(guān)組1.定義 設(shè)向量組i1 ,i 2 ,ir 是向量組1 ,2 ,s 的一個(gè)部分組滿足）i1 , i2 ,i r 線性無關(guān)；）向量組1 ,2 ,s 的每一個(gè)向量都可以由向量組i1 , i2 , ,ir 線性表出，則稱部分組i1 ,i2 ,ir 是向量組1 ,2 ,s 的一個(gè)極大線性無關(guān)組且向

15、量組的極大線性無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩2.求法任何矩陣都可以通過矩陣的行初等變換化作階梯形求極大線性無關(guān)組的步驟：將向量依次按列寫成矩陣；對矩陣施行行初等變換，化作階梯形；階梯形中主元所在列標(biāo)對應(yīng)到原向量構(gòu)成一個(gè)極大線性無關(guān)組；10102例如1,2, 3,4 , 5A (行初等變換 )012010001200000主元所在列是第列，第列，第列，因此1, 2,3 ,4 ,5 的一個(gè)極大線性無關(guān)組是 1 , 2 , 4 且 r1 ,2, 3,4,5 38三向量組的秩與矩陣的秩設(shè) A 是 m n 矩陣，將矩陣的每個(gè)行看作行向量，矩陣的 m 個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)向量組，該向量組的秩稱為矩陣

16、的行秩將矩陣的每個(gè)列看作列向量，矩陣的 n 個(gè)列向量構(gòu)成一個(gè)向量組，該向量組的秩稱為矩陣的列秩矩陣的行秩矩陣的列秩矩陣的秩（三秩相等）典型習(xí)題1下列向量組中線性相關(guān)性的向量組是（）A.1100T,2012T,3034T.B.C.11100a T , 20 1 2 b T , 30340T.100a T20 1 2 b T30340T4 41 10TD.101T,102T,312T,211T（D）2設(shè)向量組1 ,2 , 3 線性無關(guān)，下列向量組無關(guān)的是（）A C12 , 23 , 31B.122,23 , 123 D.12 ,23 ,3112 ,23 ,31（ A ）3* . 設(shè)向量組, , 線

17、性無關(guān)，而向量組2 , 2k , 3線性相關(guān)，則 kA. 3B. 2C.-2D.-3（D ）4*.設(shè)向量組, , 線性無關(guān)，則 k1 是向量組k ,k ,線性無關(guān)的A. 充分必要條件B. 充分條件，但非必要是條件C. 必要條件， 但非充分是條件D. 既非充分條件， 也非必要是條件（C）5.1 1t 3T0 t5T1tt ( )時(shí) , 向量組1,2,3, 2, 30 t ,線性無關(guān) .A t0B。 t0C. t2D. t0 且 t2(D)6* .設(shè)1(0,2,1,1)T ,2(1, 1,1,1)T ,3(1,1,0,0) T , 4(0,0,1,1) T,則它們的一個(gè)極大線性無關(guān)組是()A.1

18、,2B.1 ,2 ,3 ,4C.1 ,2 ,3D.1,2,4(D)97. 112 233 ,212 ,35 122 73.則A.向量組1,2 ,3線性無關(guān) .B.向量組1 ,2, 3 線性相關(guān) .C. 僅當(dāng)向量組1 ,2 ,3 線性無關(guān)時(shí) , 向量組1 ,2 ,3線性無關(guān) .D.僅當(dāng) 向量組1 ,2 ,3 線性相關(guān)時(shí) , 向量組1,2 ,3 線性相關(guān) .(B)8.設(shè) A,B 為滿足 AB=0的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有A.A 的列向量組線性相關(guān)，B 的行向量組線性相關(guān)。(A)B. A 的列向量組線性相關(guān)， B 的列向量組線性相關(guān)。C. A 的行向量組線性相關(guān)， B 的行向量組線性相關(guān)。D. A

19、的行向量組線向相關(guān)， B 的列向量組線性相關(guān)。9.設(shè)向量組,線性無關(guān) ,向量組, ,線性相關(guān)。則A.必能被,線性表出 .B.必不能被, 線性表出 .C.必能被, , ,線性表出 .D.必不能被, , ,線性表出 .(C)10 * .設(shè) X 是 n 單維位向量，若 GXXT，則G2（） G G I n（）11設(shè)向量組1,2 , 3 線性無關(guān)，向量組1 ,2 ,3 ,4 線性相關(guān)，設(shè)向量組1,2,3,5線性無關(guān)。則r (1, 2, 3,425 )()A.2B.3C.4D.5(C)12312. .設(shè) A2 t6, B M 3 ,r B2 ,且 AB0.則 t ().369A.2B.4C.-2D.-4

20、(B)第四講線性方程組解的理論一 齊次線性方程組設(shè) n 元齊次線性方程組a11x1a12 x2a1n xn0a21x1a22 x2a2n xn0,am1 x1am2 x2amn xn010a11a12a1 n系數(shù)矩陣 Aa21a22a2 nam1am2amn令 Xx ,x,x T ，則線性方程組可寫成12n矩陣方程的形式：AXOa11,a21,Ta12 , a22 ,T若令1an1，2a2 n ，,a1 n ,a2 n ,Tnamn ，則齊次線性方程組又可以寫成向量方程的形式：x1 1x2 2xn n0 齊次線性方程組有非零解的判定條件設(shè) AM m, n ，齊次線性方程組 AX0 有非零解r

21、( A)nAX0 只有零解r ( A) n .即系數(shù)矩陣A 列滿秩設(shè) A 是 n 階方陣，齊次線性方程組AX0有非零解A 0 AX0 只有零解A0 設(shè) AM m, n ，當(dāng) mn 時(shí)，齊次線性方程組AX0 必有非零解齊次線性方程組的解的性質(zhì)若 1 ，2 是齊次線性方程組AX0的解，則和 (12) 仍是 AX0的解若是齊次線性方程組AX0 的解，則的任意常數(shù)倍 ( k ) 仍是 AX0 的解齊次線性方程組AX0 的解的結(jié)構(gòu)AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系1,2 ,t 其要點(diǎn)為： (1)1, 2,t 都是 AX0 的解， (2) 它們是線性無關(guān)的, (3)AX 0的任何一個(gè)解都可以由它們線性表出因此基礎(chǔ)解系往

22、往不是惟一的若 n 元齊次線性方程組AX0 的系數(shù)矩陣 A 的秩 r ( A)r ，則基礎(chǔ)解系中含有n r個(gè)線性無關(guān)的解向量(這一點(diǎn)和上面的(3) 等價(jià) ,即 tn r ).若1,2, t 是齊次線性方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則齊次線性方程組AX0 的通解（一般解）是Xk11k2 2kt t其中 k1 , k2 , kt 是任意常數(shù)114. 解齊次線性方程組 AX 0 的基本方法解 n 元齊次線性方程組AX0 的基本步驟：(1) 對系數(shù)矩陣作矩陣的初等行變換，化作行階梯形；(2)假設(shè)有 r 個(gè)非零行，則基礎(chǔ)解系中有nr 個(gè)解向量選非主元所在列的變量為自由未知量；(3) 將自由變量依次設(shè)為單位

23、向量，求得所需的線性無關(guān)的解向量為一個(gè)基礎(chǔ)解系二 非齊次線性方程組設(shè)非齊次線性方程組a11x1a12 x2a1n xnb1a21x1a22 x2a2 n xnb2am1x1am 2x2amn xnbm記系數(shù)矩陣為 AM m,n ,常數(shù)項(xiàng)向量為 bRm ，則非齊次線性方程組可寫作AXb方程組的增廣矩陣a11a12a1nb1a21a22a2nb2am1am2amnbm記作 AA b對應(yīng)的齊次線性方程組AX0稱為非齊次線性方程組AXb 的導(dǎo)出組非齊次線性方程組有解的判定非齊次線性方程組AXb 有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩即r ( A)r ( A b )若 n 元非齊次線性方程組A

24、Xb 有解，即 r ( A)r ( A b )r當(dāng) rn 時(shí)，方程組 AXb 有惟一解；r n 時(shí)，方程組 AXb 有無窮多解當(dāng)系數(shù)矩陣 AM n 時(shí)，非齊次線性方程組AXb 有唯一解A 0非齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè) 1,2 是非齊次線性方程組AX b 的兩個(gè)解，則 12 是導(dǎo)出組 AX0 的一個(gè)解非齊次線性方程組AXb 的任一解與導(dǎo)出組 AX0 的解的和是非齊次線性方程組 AX b 的解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組AXb 的通解（一般解）是非齊次線性方程組的一個(gè)特解+導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的線性組合12即 設(shè)非齊次線性方程組 AX b ，若 r ( A)r ，是 AXb 的一個(gè)特解，1

25、 ,2 , nr是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則AXb 的通解（一般解）是Xk1 1kn r nr , 其中 k1, kn r 是任意常數(shù)典型習(xí)題1 * . A M mn , AX0 只有零解的充分必要條件是A A 的列向量組線性相關(guān)B A 的列向量組線性無關(guān)C A 的行向量組線性相關(guān)D A 的行向量組線性無關(guān)（）2.A M mn , AX0 是 AX b 對應(yīng)的齊次方程組.則若 AX0 只有零解 ,則 AXb 有唯一解 .若 AX 0有非零解 ,則 AXb 有無窮多解 .若 AXb 有無窮多解 ,則 AX 0有非零解 .若 AXb 無解 ,則 AX0只有零解 .(C).AM 4, 5 , A 的行向量

26、線性無關(guān)，則錯(cuò)誤的是AT X0只有零解 . AT AX0 必有無窮多解 .b, AT Xb 有惟一解 .b, AXb 總有無窮多解（）4設(shè) AM n ,其每行之和都為零,且 r An 1 .則 AX0 的通解是 ().（ k (1,1,1,1)T )5. 已 知 三 階 矩 陣 A 的 秩 r ( A) 1,2211T35 0 k T，11 30 T 是方程組 AX0 的三個(gè)解向量 ,則常數(shù) kA.2B. 1C. 2D. 3(D)x12x22x306.已 知 三 階 非 零 矩 陣 B 的 每 一 列 都 是 方 程 組2x1x2x30的 解 , 則3x1x2x30, B.（）T1T.設(shè) 11

27、 1100 12,32012 T ,22411 00 T ,502 12T ,則齊次線性方程組x1 x2x402x3x4013的基礎(chǔ)解系是(A) 1,2(B) 2, 3(C) 3,4(D) 3,4 ,5（）. 方程組 x1x2x32 ,它的基礎(chǔ)解系是 ().200Tk1110Tk 2T(101 )10.設(shè) rA4 43,1,2 ,3是 AXb 的三個(gè)解向量 ,且 121 102 T ,1 01T.則 AXb 的通解是 ().23311T(0 1k 0 1 1 1 T )2211.設(shè) 1102 T ,2011 T為齊次方程組 AX0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 ,則 A211201102011A.B.C.D

28、.422(A)22011012401112.設(shè) 1 ,2 ,3 是齊次方程組AX0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 ,則 AX0 的另一個(gè)基礎(chǔ)解系是A. 與1, 2 , 3等秩的向量組 .B.C.1,21,123D.13. A 可逆的充分必要條件是21 ,2312 ,23, 31(C)A. AXb 有解 .B.AX0 有非零解 .C. X0時(shí) AX0D. rAn(C)a1a2a3a1 x1a2 x2a314.設(shè) Ab1b2b3, 且可逆，則方程組b1 x1b2 x2b3c1c2c3c11 x1c2 x2c3A. 有唯一解B.有無窮多解C.無解D. 不能確定（C）第五講特征值與特征向量一 特征值和特征向量的定義

29、，性質(zhì)與計(jì)算定義設(shè) AM n ， X0 ， AXX ，是 A 的特征值，X 是 A 的屬于特征值的特征向量14性質(zhì)6.若 X1, X 2 都是 A的屬于特征值的特征向量， 則 X1X 2也是 A 的屬于特征值的特征向量7.若 X 是 A 的屬于特征值的特征向量 , k 是非零常數(shù)， 則 kX 也是 A 的屬于特征值的特征向量求法a11a12a1n8.A 的特征多項(xiàng)式：f A ()I Aa21a22a2n an1an2annf A ( )IA 1, 2, n .9.由 (i IA) X0 屬于i的特征向量（求基礎(chǔ)解系）10.itrAaii 11.idet A12. 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的二 相似矩陣概念定義 設(shè) AM n ，若存在可逆矩陣P ，滿足P 1 APB ，則稱 B 相似于 A .記作 AB2. 性質(zhì) 相似矩陣有相同的秩，相同的跡，相同的行列式，相同的特征值3. n 階方陣的相似對角化的條件n 階方陣 A 可對角化是 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量n 階方陣 A 可對角化A 的每個(gè)特征值的重?cái)?shù)等于它對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)即若IA(1 ) n1 (2 )n2