高中數(shù)學(xué)《直接證明與間接證明》文字素材2 新人教A版選修2-2

1、例談數(shù)學(xué)歸納法一、要點掃描1數(shù)學(xué)歸納法證題步驟 （1）證明當(dāng)取第一個值時命題成立； （2）假設(shè)時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立。其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納奠基”；第二步解決的是延續(xù)性問題，又稱“歸納遞推”。運用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題應(yīng)注意以下幾點： 兩個步驟缺一不可； 在第一步中，的初始值不一定以1取起，也不一定只取一個數(shù)（有時需取等），證明應(yīng)視具體情況而定； 第二步中證明時，必須使用歸納假設(shè)，否則就會打破數(shù)學(xué)歸納法步驟間的嚴密邏輯關(guān)系，造成推理無效。 證明成立時，要明確求證的目標形式，一般要湊出歸納假設(shè)里給出的形式，以便使用歸納假設(shè)，然后再去湊出當(dāng)時的結(jié)論，這樣就能有效減少論證的盲

2、目性。 2運用數(shù)學(xué)歸納法時易犯的錯誤 （1）對項數(shù)估算的錯誤，特別時尋找與的關(guān)系時，項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯。 （2）沒有利用歸納假設(shè)，歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了。 （3）關(guān)鍵步驟含混不清，“假設(shè)時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明時結(jié)論也成立”，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范性。 二、范例剖析 例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明。 分析：要證等式的左邊共項，右邊共項，與相比左邊增二項，右邊增一項，而且左、右兩邊的首項不同。因此，由“”到“”時要注意項的合并。 證明：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，命題成立。 （2）

3、假設(shè)當(dāng)時命題成立，即 那么當(dāng)時，左邊 。 上式表明，當(dāng)時命題也成立。 由（1）和（2）知，命題對一切自然數(shù)均成立。 評注：用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與的取值是否有關(guān)，由到時，等式兩邊會增加多少項。例2 比較與的大?。ǎ?分析：我們可從特例入手，探求與的大小關(guān)系。 解析：當(dāng)時，即； 當(dāng)時，即； 當(dāng)時，即； 當(dāng)時，即； 當(dāng)時，即； 當(dāng)時，即； 猜測：當(dāng)時，。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測成立。 （1）當(dāng)時，由上式可知猜測成立。 （2）當(dāng)時，命題成立，即， ，即當(dāng)時命題也成立。 由（1）和（2）可知，當(dāng)時，。 評注：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時，第一個步驟中的初始值是使命題成立的最小自然數(shù)，這個自然數(shù)不一定是1。例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被17整除。 分析：用用數(shù)學(xué)歸納法證整除性問題，關(guān)鍵是由配湊出的部分。 證明：（1）當(dāng)時，故能被17整除。 （2）設(shè)時，命題成立，即能被17整除，則 當(dāng)時，。 由歸納假設(shè)可知，能被17整除，又顯然可被17整除，故能被17整除。 由可知，對任意正