第四版微分幾何第一章課后答案

1、2證明第(需卜款齋)J 跆1(熾 3713證明：設(shè)rd)在a上定義，且對于任一z(a.6)有r7t)=0.則是5,6上的常向量因此在(4#)上有任意階 微商且都是0即rz( r) = r*(r) = = rw)( z) = = 0,于是r(r +A/)有泰勒展開式：r(t +A/) = r(r) + Afr*(/)十壬/*(/)牛+十(血)八(f+ = r(t) +0-AZ+ )(F +扣山)0+=r(f),所以在t的鄰域中尸(小是常向量.考慮到rla,d的任意性，則 尸(r)在a,6上是常向號.彰4證明：必要性 設(shè)r(/) = A(r)e(e為常單位向量)，則rt)-入所以r(r ) X /

2、*(/) = o.充分性 設(shè)r(/) = A(z)e(r)(e(r)為單位向僦函數(shù))，則r7O = Az(r)e(r) +A(nez(z), r(/)x (r) = A2(r)e(z)xez(O.因為于是人(門工0當(dāng)Fa)XF(z)mO,從而有e(r) x e()= o.即e(/)#e7O.因為e(O以仃(根據(jù)e(z)|=l),因此e(t) =0即“)為常向量所以r(r) = A(r)e(z)有周定方向.5證明： 必要性 設(shè)固定平面衣的單位法向雖為丹依題意Hr)丄加，則r(r)*n =0.從而rz(/)-n =0rv(r)-n =0.r(z).rz(r),r7r)均與n垂直，所以(尸仃“仃)十

3、”()=0.充分性由已知,r(r),rz(/)#Z(r)共面若r(z)X /)三0.則由r(/) 0可知仃)有固定方向(上題)，所以廠(門平行于固 定平面.若 尸(Jxh()H0則由r(z),rz(r),r*(O共面可知/(門二入尸()，記則n/(t) = r(z)Xr*(O = (r)r(i)xr，(r) =Z/ Csin r)2+ (cos /)24- 1 =QHO,所以曲線是正則曲線.cos z = 1.令.n解岀z=0,則對應(yīng)于點仃,0,0)有/=0,所以sin z = 0 ,尸(0) =10.1,11,則曲線在(1,0,0)點(即r=0點)的切線方程為z-0-01 j 或p =+ A

4、e2+入“法面方程為(p - r(0)T；(0)=0,即(#-1)0+ ($-0)1十(左一0)1 =0y + z = 02r(；) = | at,btct3Tr(f )= Is 2加.3亍I.p-r(r0)Tz(ro)=O,+(丿一武)2見十(z -= 0,n -(a%十2幾：+3幾；)=0,5因為(EC - gin Oggs趴兒取2軸上的單位向量 巧=10,01|則一a sin & 0十“cos 0 0十Z 1/( 41 sin 0)5+ (acos + 6-1二晟十即與命的夾角不隨Q的變化而變化，丙之曲線的切線與龍軸作 固定角(0|J/| =/l +462X2.對應(yīng)于-axa一段

5、的弧長為：/(x) =yi + 462x2dx+ 電J 1 + “2 + yln( U + J + “2 )=a J Ha訶十吉ln(2db + J1 +4“，) 14r = | a cos31, asinJ 0 1vr = - 3acos2zsin t basin zcos r *0 I I rz = | 3 a sin /cos t | 3a | sin Zcos 11 0W今一段的弧長為：=2 J+ 4 62x1dx03asin tcos tdtKt)=15r = I a (/ - sin t) .a(l - cos f ) 0!0,rz= | a(l - cos r)9Asin 1I,

6、I rz| = v a(l - cos r)!+ (flsin )2對應(yīng)0段的現(xiàn)長為:4a | sin udu=8a16曲線與xOy平Ift相交時.z=0tW4ai=0得r - 13acos t ,3asin tt4af !.rz= I 3asin t 3aoos t ,4a j ,I r| = /9a2+ 16a1= 5a 17曲線與兩平面交點的橫坐標(biāo)分別為工=a,. = 3a取工 為參數(shù)曲線的方程為=2aZ( /) = J 5zdz = Sat.sin /d(sin t3sm -ya丿(2/*尸+(2T)U (/)2 _2x 6 I 巴r( z) = |一acos rT- asin rf0

7、|,密切平面的方程為：(R一r,rz,r*) =0,X - a cos t Y a sin/ Z - bta cos t a sin t展開整理得展開整理得 Xsin t Ycos t + #Z - a：=0-2解：尸=|rsin 11rcos r. re I r t) zcos e + sin r ,cos t一rsin + rerIt尸(t)= |2cos t /sin t 2sin t - Zcos t 2er+ Ze1L在原點處t=0,r(0)= 10.0,01,(02 10,1,1(,r*(0)= |2,0,2|.衣原點處切平面的方程為：(R 心”.兒)=0X+ Y-Z = 0.as

8、in ta cos(法平面的方程為:(R -譏=0.即y + z = o.從切平面的方程為：(R - r, rz0 x rv0, rz0) = O,rzox r*0= 11.1一1 I,即2X- Y + Z= 0.切線方稈為：R r0= Ar0,WJx_ Y- Z90 1 1主法線方程為：R - n匕A (FOx幾)x兒,由于(人X幾)X fo = 12, - 1川.主法線方程為：X _ Y _ Z副法線方程為(R - r0) = A (ry0 xr*0),3r= I acxjs t asin t bt rz= | - asin t .acos zt6|v| - a cos t - a sin

9、 / ,0l,F X了=I absin t, - aftcos tta2tX Y Z(/x)x*3I (擊 +a )cos ( a + ab1)sin t 01 , I (r*xr*) X rz| = ab1+ ay,主法線的方程為:(R - r)=入0.X _ a cos / _ Y 42 sin t _ Z blcos l sin t0又工紬的方程為:對任意.有0巧=-cos zO+(sin /)0 + 0T = 0,即主法線與z軸垂宜又由于點(0,0, Az)即在主法線上，又在z軸上，故主法線與z軸垂直相交于(0,0,6/).4M : r = ! cos cr cos t ,cos a

10、sin 19rsin a Ifr = I - cos asin t ,cos a cos / ,sin a I, r= ,| - cos a cos t, - cos asin f ,0 I , rX r*= j sin a cos asin tf sin a cos a cos tFcos2a I , I r X r，z| = cos a,所以7 = I sin asin - sin a cos cos a 新曲線的方程為：r = r + y=(cos a cos t + sin asin t?cos asin t sin a cos 19tsin a + cosa :=|cos( t cr

11、)tsin( t - a) tsin a + cos a I r = I sin( t一a) ,OOs( t - o) sin a It、r*= I - cos(/ a), - sin(r a) ,0 新曲線密切平面的方程為Y - sin( t - a) Z -(tsin a + cos a ) cos(Z - a) sin a=0-3n( / - a )0展開題理得X -cos( t- a)sin(tsin orsinQ - a) X - sin acos(f - a) Y十Z - (rsin a + cos a) 0.5證明：設(shè)球面的半徑為R,球心在原點球面曲線的方程 為r2= RWJr*

12、r = 0.曲線的法平面方程為lp - r = aA x2+ y2= 62Az2= a2A即得a2(x2+ /) = 62227(1)因為r=a cosh 11a sinh t at Itr = I sinh t衛(wèi)cosh t9 accwh 19a sinh tfC9rzX = | 2sinh t a2cosh c _ a? .1 / 1 =-/2acosh ty| r?X rM =72a2cosh t r= ( a sinh t. a coshZ 0!, (rrr)= a5所以2acosh2/ *2acosh2Z(2)因為r =r#= |3a(l=|a(3r - r3),3a/Ja(3r +

13、 z3) 1- )96at 3a(l +/=- 6at、6a ,6a/ ,r xr*= |18a2(?-l). - 36a2G18a?(/2+ 1)|.I r* | = 3-/2a (I +)，I rzx r* | = 8y/2az(1 + tz), r9= 1 - 6a ,0,6a | , (/#,/*) =216/,所以3a (1 +2a (1 +8解：因為r = I cos11, sin11, cos21 I ,r* = | - 3cos tv3sin t, 2|sin zcos tfr* = 13cos t (3sin21 - 1),3sin t (3cos2Z 1 ), 4cos 2

14、t Itr* X r* = sin22/cos f sin r,寺f r I = 51 sin /cos 11 ,I r* x r*| =乎sin“2f = 15sin21 + cos31 r*= !3sin t (9oos21 - 2 ) ,3cos t (2 9sin21) ,8sin 2t | , (r r*, r*) =36sinJFeos t.所以，曲率趴撓率r分別為,_ 廠，X f = 1申sir/ 2十cos t _3I rz|3(51 sin toon 11 )3251 sin /cos 11，(1)當(dāng)0r時,I sin /cos Z I = sin fcos Z /J = s

15、in tcna rT0 )t(2)當(dāng)-JzKt|-x27r時.I sin roos r I = sin zoos tf這時_ 36sii?1=_4Irx八 $_ (15sin2cos2/y _ 25sin Zcos r-3cos t ,3$in r , - 41根據(jù)sin -cos r的周期性，所有討論只考0t2iz即可當(dāng)t =0冷、廠4、2只時，在對應(yīng)點宀0即這些點是曲線的非正尊這時p= y xa =sirwcosiI sin rcos r I333oos l, -ysinsin rcosr I3stn Zcos Z | |5loosI sin ttcos 01.(1)當(dāng)0r時,點4dadr

16、d7dadrd73737= =a-a- s sd-dd-d二 a a_ da=T77*d715|sinZeas1153sinr,ycos r ,0 ,kf =一I sin t .cos tt0l251 sin rcos 11嘰喬一1 0P_37*_T7Ta75sin t95cos t31251 sin rcos t f4425sin fcos t 50 = - sin f ,cos r,Ol = I -sin t9cos t,Olt下面驗證伏雷由于丑=I了I = 5 I sin zcos 119當(dāng)0 u即=一 對于時，完全可以按上述方法驗證59證法一，設(shè)所給曲線為(C)：r = r(5),定點

17、的向徑為R。.則r(s) - R9= A(s)a(s), a(5)= A(s)a十Xkfi.但a,0線性無關(guān)，從而A = 1,= 0,又入MO,所以食=0,即(C)是直線.證法二根據(jù)已 有r(5) Ro x a(j)=0,r(x)x a + r(s) - Wo x =r(s) - RQXkfi = 0r(5)-RoxO.- -Y Y s sd-dd-d- - vfvf3 3425cost425sin t25Sinzeos-lsio9lsin_drdlsin_drdzdvd?zdvd?5 5 = = - -1|5sin Zcos 110(否則，($)-心)0,由已知得出(/2).因為6/a2從而

18、a, = 6,于是+些邑1_血血觥01 =土錢02于是有所以即 八并且 因為a八從而k=T7Ta#=八上式兩+( (-ka +ry)d$ |(kT7T=d$ *因此，艮0-即，巧在對應(yīng)點的主法線平行又所以wm卩幾、廠2在對應(yīng)點處的副法線平行.證法二因為a, X a2=0,所以a, x a2H干是有 atx心獸=0,婦01 X 2 T-a：X為爲(wèi)獸丸.從而土銚0i x a, 2x（根鋸a2= aj.小土訃2惡卜0丙此人廠，又由于ajg,所以d$2所以 6 6 為常數(shù)，即叭與作固定角.16證明：設(shè)曲線r：F = r（）,曲線尸：八=r- （y- ）.r在 的主法線與F在r-（r）的副法線重合，則/

19、（） = r（s）+入（$）0（s）.于是有a 石一=a十久0十人（一人a + ry）.因為P/r*,于是0丄a，0丄0上式兩邊點乘0,可得A=0.從而入是常數(shù).設(shè)2=入。則證明：因為于是丄價.5 丄民從而d（叫6 ）上式兩邊對$求微商，可得上式兩邊點乘0迥料（l-A0）-Aor?=O.即怡=入（宀/）.17解 因為尸=a(t - sin- cxw r)T4acos-ya( 1 - cos t) a sin t, - 2 a sin當(dāng)y = y+wIT, HP t = r+ 2nir= (2n + l)c時，+ =Q最大.K18解：因為Hs)在$。點的泰勒展開式r(se+ Ai) = r(50) + r()As