離散數(shù)學(xué)中形式邏輯與數(shù)理邏輯的對比教學(xué)

1、離散數(shù)學(xué)中形式邏輯與數(shù)理邏輯的對比教學(xué)1背景邏輯是離散數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的分支，傳統(tǒng)上講授數(shù)理邏輯，或稱符 號(hào)邏輯。數(shù)理邏輯的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生掌握正確的思維方法，培養(yǎng)抽象 思維、邏輯思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交磉_(dá)能力，但由于采用符號(hào)化的研究 方法，數(shù)理邏輯本身忽略了用自然語言表達(dá)的思維推理研究。與此形 成對照的是，形式邏輯卻將自然語言表達(dá)的推理作為主要的形態(tài)加以 研究。較強(qiáng)的語言表達(dá)能力、能夠準(zhǔn)確地交流和表達(dá)思想，對一名未 來的指揮軍官而言至關(guān)重要，為此我們決定在新一代人才培養(yǎng)方案的 通識(shí)類離散數(shù)學(xué)課程中簡要介紹形式邏輯，采用基于對比教學(xué)法的教 學(xué)設(shè)計(jì)，加深學(xué)生對抽象內(nèi)容的理解，加快知識(shí)的內(nèi)化過程，緩解學(xué)

2、生壓力。2形式邏輯與數(shù)理邏輯概述形式邏輯和數(shù)理邏輯都是研究思維推理的科學(xué)。形式邏輯又叫傳統(tǒng)邏 輯、古典邏輯，特點(diǎn)是用自然語言研究人的思維推理，由于思維形式 必須借助語言形式表達(dá)，故研究邏輯的同時(shí)必須研究語言結(jié)構(gòu)。數(shù)理 邏輯起源于用數(shù)學(xué)方法研究形式邏輯中的某些問題，它舍棄了形式邏 輯要求的條件命題中前提與結(jié)論之間的因果關(guān)聯(lián)，采用真值函數(shù)的實(shí) 質(zhì)蘊(yùn)涵定義，建立了演繹推理的數(shù)學(xué)模型數(shù)理邏輯現(xiàn)已成為基 礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，語義層面的邏輯代數(shù)（命題演算和一階謂詞 演算），語構(gòu)層面的形式系統(tǒng)，語義和語構(gòu)關(guān)系的合理性、完備性等 元理論是其經(jīng)典內(nèi)容3.筆者從研究內(nèi)容、研究方法、研究成果3個(gè)方面對形式邏輯和數(shù)

3、理邏 輯作一個(gè)對比與區(qū)分。（1）形式邏輯既研究演繹推理，也研究歸納推理、類比推理、假說等, 還研究與推理方法對應(yīng)的語言表達(dá)結(jié)構(gòu)，故而形式邏輯也被稱為辯學(xué)、 修辭學(xué)。數(shù)理邏輯不研究可能導(dǎo)致無效推理的類比、假說等推理方法, 也不專門研究語言表達(dá)的結(jié)構(gòu)。（2）形式邏輯對推理的研究基于自然語言，數(shù)理邏輯則采用數(shù)學(xué)的方 法，將推理全部形式化為數(shù)學(xué)演算，更在形式化的基礎(chǔ)上構(gòu)造了嚴(yán)密 的公理化符號(hào)系統(tǒng)。（3）受制于自然語言的局限性，形式邏輯研究成果局限于特定語言結(jié) 構(gòu)之間的邏輯關(guān)系。數(shù)理邏輯卻能在更高的抽象層次上研究推理，研 究成果更具一般性。3邏輯模塊的教學(xué)設(shè)計(jì)3. 1內(nèi)容側(cè)重而的考慮盡管形式邏輯對語言表

4、達(dá)結(jié)構(gòu)的關(guān)注和歸納推理、類比推理等內(nèi)容是 數(shù)理邏輯所沒有的，但畢竟其內(nèi)容相比數(shù)理邏輯較為淺顯，研究方法 也較為初步，從訓(xùn)練學(xué)生的科學(xué)思維和科學(xué)方法來看，數(shù)理邏輯具有 不可替代性。另外，專業(yè)基礎(chǔ)課改革為通識(shí)課程后學(xué)時(shí)壓力較大，因 此必須優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容。在邏輯模塊的教學(xué)改革中我們制定的原則是： 以數(shù)理邏輯內(nèi)容為主，簡要介紹形式邏輯；側(cè)重介紹基本概念，兼顧 邏輯知識(shí)的應(yīng)用。3.2內(nèi)容編排與學(xué)時(shí)分配通識(shí)類離散數(shù)學(xué)課程中邏輯模塊安排的教學(xué)時(shí)數(shù)為14.按照前面定下 的原則，我們將其中10學(xué)時(shí)分配給數(shù)理邏輯，2學(xué)時(shí)分配給形式邏輯, 2學(xué)時(shí)介紹邏輯知識(shí)的應(yīng)用。具體講授內(nèi)容與能力、素質(zhì)訓(xùn)練目標(biāo)見 表1.在講授順序

5、上，采取了先命題演算后謂詞演算、先數(shù)理邏輯后形式邏 輯、先基本概念后邏輯應(yīng)用的順序。此處數(shù)理邏輯和形式邏輯的先后 編排主要考慮時(shí)間的節(jié)省。如果按照自然順序，應(yīng)該先介紹形式邏輯, 但2學(xué)時(shí)對初學(xué)邏輯者而言遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。學(xué)生經(jīng)過了 10學(xué)時(shí)的數(shù)理邏 輯學(xué)習(xí)，在已熟悉基本概念的基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí)形式邏輯，就可以很快地 理解、吸收有關(guān)教學(xué)內(nèi)容，當(dāng)然，對形式邏輯的介紹仍是較為初步的。 最后2學(xué)時(shí)重點(diǎn)介紹邏輯知識(shí)的應(yīng)用，順帶簡要介紹推理規(guī)則及其使 用方法，使學(xué)生初步建立推理形式系統(tǒng)的概念。3. 3關(guān)于教學(xué)方法的思考為使學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)對形式邏輯有一個(gè)基本了解，正確認(rèn)識(shí)與數(shù) 理邏輯的關(guān)系，形式邏輯部分我們采用了對比

6、教學(xué)法，對照數(shù)理邏輯 中的相應(yīng)內(nèi)容和處理方法介紹形式邏輯有關(guān)概念和結(jié)論。對比法是一 種常用的教學(xué)方法，其本質(zhì)特征在于比較對照對比參照，即把 彼此之間具有某種聯(lián)系的教學(xué)內(nèi)容放在一起，加以對比分析，以確定 其異同關(guān)系，認(rèn)識(shí)本質(zhì)差異4.形式邏輯與數(shù)理邏輯既有相關(guān)性、相似性，又有相異性，正好滿足了 對比法教學(xué)的前提條件。將它們對照起來介紹，一方面可以幫助學(xué)生 將形式邏輯中的概念迅速定位到通過數(shù)理邏輯學(xué)習(xí)建立起來的邏輯知 識(shí)樹上；另一方面可以使學(xué)生切身體會(huì)兩者對同一研究內(nèi)容不同研究 方法的差異，了解科學(xué)、合理的研究方法對研究結(jié)果的重要性，進(jìn)一 步培養(yǎng)形式化的觀念和技能。4形式邏輯與數(shù)理邏輯的對比教學(xué)形式

7、邏輯的大部分內(nèi)容在數(shù)理邏輯中都有對應(yīng)，課堂教學(xué)時(shí)可加以對 照介紹，如對比自然語句的形式化介紹命題,將性質(zhì)判斷命題關(guān) 系判斷命題簡單命題復(fù)合命題等概念與數(shù)理邏輯中的公式、聯(lián)接 詞、謂詞、量詞等概念聯(lián)系對比，使學(xué)生快速掌握命題部分內(nèi)容， 體會(huì)形式邏輯和數(shù)理邏輯在概念上的細(xì)微差別，諸如數(shù)理邏輯中所謂 的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵究竟是何含義，與形式邏輯對蘊(yùn)涵詞（條件命題）的理 解有何不同。12下一頁另外，還可以對比限定謂詞介紹形式邏輯的概念,對比公式的邏輯蘊(yùn) 涵關(guān)系介紹形式邏輯的推理，對比永真式介紹形式邏輯的基本規(guī)律, 使學(xué)生在跟隨形式邏輯學(xué)習(xí)各種思維形式的語言表達(dá)、研究不同語言 表達(dá)之間的邏輯關(guān)系時(shí)，還能夠超越這些

8、具體的語言和結(jié)構(gòu)，站在數(shù) 理邏輯提供的平臺(tái)上作更為一般的抽象思考，從而明了形式邏輯囿于 自然語言方法在研究成果上的局限，而形式化方法可以幫助我們打破 這一局限，將任意問題的邏輯推理變?yōu)闈M足特定規(guī)則的符號(hào)演算。下面以對當(dāng)關(guān)系推理、三段論為例具體介紹形式邏輯與數(shù)理邏輯的對 比教學(xué)。4.1 對比介紹對當(dāng)關(guān)系推理形式邏輯把關(guān)于同一素材的性質(zhì)判斷命題之間的真假關(guān)系叫做對當(dāng)關(guān) 系，利用對當(dāng)關(guān)系，從一個(gè)性質(zhì)判斷命題的真假推出另一個(gè)同素材判 斷命題的真假即為對當(dāng)關(guān)系推理，見圖1.介紹對當(dāng)關(guān)系推理時(shí)，先在形式邏輯的框架內(nèi)講解：分析4種形式的 性質(zhì)判斷命題(全稱肯定判斷A、全稱否定判斷E、特稱肯定判斷I、 特稱否

9、定判斷0)在主項(xiàng)和謂項(xiàng)為全同、包含、交叉、對立等各種可 能關(guān)系情況下的真假取值，將結(jié)果畫成圖1所示的邏輯方陣。邏輯方陣是形式邏輯對對當(dāng)關(guān)系推理的總結(jié)和概括。依據(jù)邏輯方陣， 可以從一個(gè)性質(zhì)判斷命題的真假，迅速推出另一個(gè)同素材判斷命題的 真假。如根據(jù)A與E之間的上反對關(guān)系，由A真可立即知道E假。在介紹了邏輯方陣及其應(yīng)用之后，再轉(zhuǎn)入數(shù)理邏輯框架，分析A、E、 I、0之間的邏輯蘊(yùn)涵關(guān)系。以A與E為例，形式化為一階公式后分 別是 x (S (x) -P(x)、x (S (X) f-P(x),這 本是兩個(gè)真假不相關(guān)的公式，但如果假設(shè)xS (x)真(即限定S為不 空概念)，那么易知它們的合取為永假式，所以有

10、x(S (x) - P (x) ) |- x (S (x) f P (x) ) , x (S (x)f-P(x) |1 x (S (x) - P(x),即 A 真時(shí) E 假，E真時(shí) A 假，但由于 n x (S (x) - P (x) ) An x (S (x) f q P (x)可滿足，所以上述兩個(gè)蘊(yùn)涵式的逆均不成立，即由A (E) 假不能推出E (A)真。兩相對比之后，學(xué)生不僅搞清楚了對當(dāng)關(guān)系推理，而且還知道了對當(dāng) 關(guān)系推理中的隱含條件一主項(xiàng)S不能為空概念。更為重要的是，通過 對比，學(xué)生了解到形式邏輯的對當(dāng)關(guān)系推理在數(shù)理邏輯中只是一個(gè)邏 輯蘊(yùn)涵關(guān)系推導(dǎo)的特例。4.2 對比介紹三段論三段論是

11、形式邏輯的經(jīng)典內(nèi)容，其格與式的研究也是形式邏輯 最為復(fù)雜的內(nèi)容之一。所謂三段論，是指借助兩個(gè)性質(zhì)判斷前提中都 包含的一個(gè)共同概念，推出一個(gè)新的性質(zhì)判斷結(jié)論的推理，其中起聯(lián) 結(jié)作用的共同概念稱為中項(xiàng)(M)，而作為謂項(xiàng)出現(xiàn)在結(jié)論中的概念 稱為大項(xiàng)(P)，作為主項(xiàng)出現(xiàn)在結(jié)論中的概念稱為小項(xiàng)(S) .例 如著名的蘇格拉底三段論所有人都是要死的；蘇格拉底是人；所以， 蘇格拉底是要死的中，蘇格拉底是小項(xiàng)，是要死的是大項(xiàng)， 人是中項(xiàng)。為確保推理的有效性，形式邏輯不僅為三段論定義了各種規(guī)則，還根 據(jù)中項(xiàng)在前提中的位置將三段論區(qū)分為4個(gè)不同的格，根據(jù)前提和 結(jié)論的判斷質(zhì)(肯定還是否定)和量(全稱還是特稱)的不同

12、區(qū)分為 64個(gè)不同的式，并進(jìn)一步為各個(gè)格定義了特殊規(guī)則，總結(jié)了適用 于每個(gè)格的式.學(xué)習(xí)三段論，學(xué)生可以充分體會(huì)形式邏輯對推理中語言表達(dá)結(jié)構(gòu)的關(guān) 注，以及這一關(guān)注與其自然語言研究方法之間的必然聯(lián)系，而通過與 數(shù)理邏輯中邏輯蘊(yùn)涵關(guān)系推導(dǎo)的對比，又可以體會(huì)形式化方法帶來的 超越具體和繁瑣、使推理變得簡潔和一般的優(yōu)越性。具體內(nèi)容的對比，可以穿插在三段論的規(guī)則格式的介紹中進(jìn)行, 如介紹了各個(gè)格的特殊規(guī)則后，就可以對應(yīng)地介紹如何從數(shù)理邏輯的角度看待這些特殊規(guī)則，對比同樣規(guī)則在兩種框架下的不同分析和求 證過程。以針對第一格（形如蘇格拉底三段論）的特殊規(guī)則小前提（S-M）必 須肯定，大前提（M-P）必須全稱為

13、例，該特殊規(guī)則在形式邏輯中通 常這樣證明1:如果小前提否定，則根據(jù)前提有一個(gè)否定判斷，則結(jié)論為否定判斷 （一般規(guī)則5）,結(jié)論必然為否定，且大前提必須肯定（前提中至少 有一個(gè)肯定判斷，一般規(guī)則4） o此時(shí)大項(xiàng)在結(jié)論中周延，但在大前 提中不周延，就會(huì)出現(xiàn)大項(xiàng)擴(kuò)大的錯(cuò)誤，而大前提必須全稱是因?yàn)橛?小前提為肯定判斷，可以知道中項(xiàng)M作為謂項(xiàng)在小前提中不周延，根 據(jù)中項(xiàng)在前提中至少周延一次（一般規(guī)則2）,作為主項(xiàng)的中項(xiàng)在 大前提中必須周延。從數(shù)理邏輯的角度，則可以這樣解釋：小前提（S-M）為肯定判斷（全 稱肯定A或特稱肯定I）,大前提（M-P）為全稱判斷（全稱肯定A或 全稱否定E）時(shí)，兩者可以組合出如下4

14、個(gè)邏輯蘊(yùn)涵式，代表4種 有效的推理模式： x (M (x) - P (x) ) A x (S (x) f M (x)卜x (S (x) f P (x) ) x (M (x) f P (x) ) A x (S (x) A M (x) 卜x (S (x) A P (x) ) x (M (x) - P (x) ) A x (S (x) f M (x)卜x (S (x) f P (x) ) x (M (x) -I P (x) ) A x (S (x) A M (x) ) Fx (S (x) A - P (x) 但如果小前提(S-M)為否定判斷(全稱否定E或特稱否定0),或 大前提(M-P)為特稱判斷(

15、特稱肯定I或特稱否定0),則無法在 A、E、I、0范圍內(nèi)組合出有效的邏輯蘊(yùn)涵式(可以一一驗(yàn)證)。顯然，這樣的對比有助于學(xué)生更深刻地理解和把握第一格特殊規(guī)則， 如果要突出形式化方法在一般化推理方面的優(yōu)勢，還可以進(jìn)一步給出 以下兩個(gè)推理模式： x (n M (x) P (x) ) A x (S (x) AiM(x) 卜 x (S (x) A P (x) ) x (- M (x) A P (x) ) A x (S (x)f M (x) ) Fx (q S (x) A P (x)上面第一個(gè)蘊(yùn)涵式的小前 提為否定，第二個(gè)蘊(yùn)涵式的大前提為特稱，雖違反特殊規(guī)則，卻仍然 成立，因?yàn)樗鼈兊拇笄疤岢搅诵问竭壿嬔?/p>

16、究的A、E、I、0 4種性 質(zhì)判斷形式。如此，形式邏輯的三段論在研究成果上的局限性一目 了然的己有知識(shí)，然后將遇到的難以解決的問題帶到課堂，師生采用 討論式授課模式進(jìn)行分析和化解。在授課過程中，我們發(fā)現(xiàn)很多小組 在數(shù)據(jù)表的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上遇到了困難，主要是初學(xué)數(shù)據(jù)庫對數(shù)據(jù)表之間 的關(guān)系把握不夠，經(jīng)過討論和教員啟發(fā)，學(xué)生對關(guān)系數(shù)據(jù)庫的理解更 加深刻了。針對以往學(xué)生難以掌握的開發(fā)平臺(tái)使用問題，教員提供充 足的參考資料和視頻教程，學(xué)生通過努力自學(xué)并實(shí)踐，本次教學(xué)過程 中未成為妨礙項(xiàng)目進(jìn)度的因素。4. 4結(jié)果評價(jià)通過課上和課下共一周左右的時(shí)間，學(xué)生按組提交項(xiàng)目開發(fā)結(jié)果并自 評成績。在課上每組指定2人進(jìn)行匯報(bào)

17、。教員和其他學(xué)生為該組評 定成績，講評優(yōu)缺點(diǎn)，各組學(xué)生再根據(jù)講評結(jié)果有針對性地進(jìn)行修正, 最后教員給出總評成績。5結(jié)語隨著信息技術(shù)的爆炸式發(fā)展，計(jì)算思維能力的重要性不斷凸顯。在我 軍信息化建設(shè)不斷深化的背景下，努力轉(zhuǎn)變老舊的教育觀念，采用先 進(jìn)的教學(xué)模式，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)案例，使計(jì)算思維能力的培養(yǎng)更有效、 更高效，是培育適應(yīng)新時(shí)期軍事斗爭準(zhǔn)備人才的必由之路。筆者以軟 件設(shè)計(jì)基礎(chǔ)為研究對象，分析研究了計(jì)算思維培養(yǎng)的知識(shí)切入點(diǎn)和具 體教學(xué)方法，并給出了具體的教學(xué)案例，教學(xué)結(jié)果表明學(xué)生的學(xué)習(xí)效 果更好、理解更深入、學(xué)習(xí)興趣更濃厚?？偠灾瑢W(xué)生的計(jì)算思維 能力得到了鍛煉和提高。參考文獻(xiàn):1J Wing J M. Computational thinkingLJ. Communications of the ACM, 2006, 49 (3) ： 33-35.2李鋒，王吉慶。計(jì)算思維：信息技術(shù)