第十一知識(shí)塊 推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 (3)

1、第3課時(shí) 數(shù)學(xué)歸納一、填空題1 平面內(nèi)有n(n2)個(gè)圓心在同一直線l上的半圓，其中任何兩個(gè)都相交，且都在直線l的同側(cè)(如圖)，則這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成的圓弧的段數(shù)為_解析：設(shè)最多分成的圓弧的段數(shù)為f(n)，則由題圖容易發(fā)現(xiàn)，f(2)422，f(3)932，f(4)1642.答案：n22(2010·江西吉水一中)設(shè)nN*，則4×6n5n1除以20的余數(shù)為_ 解析：取n1，則4×6n5n1242549，被20除余數(shù)為9.答案：93用f(n)表示凸n邊形的內(nèi)角和，則f(k1)f(k)_.解析：因?yàn)橛赏筴邊形變?yōu)橥筴1邊形時(shí)，其內(nèi)角增加了一個(gè)三角形的內(nèi)角和，所以f(

2、k1)f(k).答案：4用數(shù)學(xué)歸納法證明“123n321n2(nN*)”時(shí)，從nk到nk1時(shí)，該式左邊應(yīng)添加的代數(shù)式是_解析：當(dāng)nk1時(shí)，左邊12k(k1)k21，從nk到nk1時(shí)，應(yīng)添(k1)k2k1.答案：2k1111135. (江蘇南京模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程，由nk推導(dǎo)nn1n2nn24k1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是_解析：不等式的左邊增加的式子是1 (2k1)(2k2)1111. 2k12k2k1(2k1)(2k2)答案：6用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于足夠大的正整數(shù)n，總有2n>n3”時(shí)，驗(yàn)證第一步不等式成立所取的第一個(gè)最小值n0應(yīng)當(dāng)是_解析：n1時(shí)，21>13，n

3、2,3，9時(shí)2n<n3，n10時(shí)，2101 024>103，n010. 答案：107數(shù)列an中，已知a12，an1an的表達(dá)式為_2222解析：a12，a2，a3，a4，猜測(cè)an. 713196n5答案：an二、解答題8用數(shù)學(xué)歸納法證明：n111. 1×55×9(4n3)(4n1)4n126n5anN*)，依次計(jì)算出a2，a3，a4后，歸納、猜測(cè)得出3an11111證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立 1×554×115(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即k111， 1×55×9(4k3)(4k1)4k11111

4、則 1×55×9(4k3)(4k1)(4k1)(4k5)4k25k1(4k1)(k1)k1k1 4k1(4k1)(4k5)(4k1)(4k5)(4k1)(4k5)4(k1)1即當(dāng)nk1時(shí)等式成立由(1)(2)知，等式成立11111119 (2010·江西蓮塘一中測(cè)試)用數(shù)學(xué)歸納法證明：12342n12nn1n21. 2n111證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊 22211111(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即1 2342k12k上式表明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立由(1)和(2)知，命題對(duì)一切自然數(shù)均成立111110(2010·通州市高三素質(zhì)檢測(cè))用數(shù)學(xué)歸納法證明

5、不等式：n1(nN*nn1n2且n1)11113證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，不等式的左邊為1，故n2時(shí)表達(dá)式成立； 234121111(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)不等式成立，即k1 kk1k2那么，當(dāng)nk1時(shí)，由k2得111111111111kk1kkk1k2k1k2(k1)k2k11)é111ù112k11k(kk(k1)(k1)ûë(k1)(k1)(k1)當(dāng)k2時(shí)，k2k10成立，故當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知，當(dāng)n1，nN*時(shí)不等式都成立1試證：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，f(n)32n28n9能被64整除 2證明：證法一：(1)當(dāng)n1時(shí)，f(

6、1)348964，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，f(k)32k28k9能被64整除 由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)9·8k9·98(k1)99(32k28k9)64(k1)即f(k1)9f(k)64(k1)，nk1時(shí)命題也成立 根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)任意的nN*，命題都成立證法二：(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)328964，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，f(k)32k28k9能被64整除，由歸納假設(shè)，設(shè)32k28k964m(m為大于1的自然數(shù))，將32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，nk1時(shí)命題成立根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)任意的nN*命題都成立 n1112已知Sn1n，求證： >1n2，kN*) 232111252證明：(1)當(dāng)n2時(shí)， 1>1，即n2時(shí)命題成立 234122k11