圓錐曲線的綜合問題詳細(xì)解析版

1、圓錐曲線的綜合問題(一)最新考綱1.掌握解決直線與橢圓、 拋物線的位置關(guān)系的思想方法；2. 了解圓錐曲線的簡單 應(yīng)用；3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 判斷直線I與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線I的方程Ax+By+ C- 0( A, B不同時為0)代入圓錐曲線 C的方程F(x, y) = 0,消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或變量 y)的一元方程,Ax+ By+ C- 0,2即消去y,得ax + bx+ c= 0.F (x, y)= 0(1)當(dāng)aM 0時，設(shè)一元二次方程ax2+ bx+ c= 0的判別式為A ,則A > 0?直線與圓錐曲線 C相交;A =

2、 0?直線與圓錐曲線 C相切;A< 0?直線與圓錐曲線 C相離. 當(dāng)a= 0, bM 0時，即得到一個一次方程， 則直線I與圓錐曲線C相交，且只有一個交點,此時，若C為雙曲線，則直線I與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線I與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合.2.圓錐曲線的弦長 設(shè)斜率為k(kM0)的直線I與圓錐曲線C相交于A, B兩點，A(X1, yd , B(x2, yj，則 | AB = p 1 + k21 X1 X2|=寸1 + k2 寸 (X1 + X2)2 4x1x=寸 1+k | y1y2| =寸 1+右 7( y1+y)2'y®.J考

3、點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例110)，且點R0 , 1)在 C 上.2 2x y在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓C :- +右=1(a>b>0)的左焦點為F( 1,a b(1)求橢圓C的方程；2 設(shè)直線I同時與橢圓C和拋物線 G： y = 4x相切，求直線I的方程.解 橢圓C的左焦點為Fi( 1, 0) , c= 1, 又點P(0 , 1)在曲線C上,0 1 2 2 2-z+1，得 b= 1，貝U a = b + c = 2,a b2x 2所以橢圓C的方程為-+ y2= 1.(2)由題意可知，直線I的斜率顯然存在且不等于0，設(shè)直線I的方程為y = kx + m2x 2h y

4、 = 1 由 2消去 y，得(1 + 2k )x + 4kmx+ 2m 2= 0.y= kx + m因為直線I與橢圓C相切，所以 A1= 16k2m 4(1 + 2k2)(2 m- 2) = 0.2 2整理得2k m +1 = 0.由 y = 4x,消去 y，得 k2x2 + (2 km- 4)x+ m= 0. y = kx+ m因為直線I與拋物線G相切，所以 A 2= (2 km- 4)2 4k2m= 0,整理得 km= 1.k=¥，k一¥，綜合，解得2 或2n=/2m=所以直線I的方程為y=¥x +迄或y=-¥x-2.規(guī)律方法 研究直線與圓錐曲線的位

5、置關(guān)系時,組成的方程組解的個數(shù)，消元后，應(yīng)注意討論含般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程 x2項的系數(shù)是否為零的情況，以及判別式的應(yīng)用.但對于選擇、填空題要充分利用幾何條件，用數(shù)形結(jié)合的方法求解【訓(xùn)練1】 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點M到點F(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點M的軌跡為C (1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)斜率為k的直線I過定點P( 2, 1),若直線I與軌跡C恰好有一個公共點，求實數(shù)k 的取值范圍.解設(shè)點Mx, y)，依題意IMF = |x| + 1, 7 (X 1) 2+ y2 = |x| + 1,化簡得 y2 = 2(| x| + x),24x ( x> 0)

6、,故軌跡C的方程為y =0 (x < 0).在點 M的軌跡 C中，記 C： y2 = 4x( x> 0); G： y= 0( x< 0).依題意，可設(shè)直線I的方程為y-1 = k(x + 2).y 1 = k (x+ 2), 由方程組 2()，y = 4x,2可得 ky 4y+ 4(2 k+ 1)= 0.當(dāng)k= 0時，此時y = 1.把y= 1代入軌跡C的方程，得x=寸.1故此時直線I : y =1與軌跡C恰好有一個公共點4 1 .當(dāng) kM 0時，方程的 A= 16(2 k2 + k 1) = 16(2 k 1)( k + 1)，設(shè)直線I與x軸的交點為(X0, 0)，則2k

7、+ 1由 y 1 = k(x + 2)，令 y= 0,得 X0= .(i )若A< 0，由解得k< 1,或k>2.X0< 0,2所以當(dāng)k< 1或k>2時，直線I與曲線C沒有公共點，與曲線G有一個公共點，故此時直線I與軌跡C恰好有一個公共點.22k + k 1 = 0,A = 0,(ii )若即2k+ 1解集為?.XoA 0,< 0,綜上可知，當(dāng)k< 1或k>2或k = 0時，直線I與軌跡C恰好有一個公共點.考點二弦長問題2 2x y【例21 (2016 四川卷)已知橢圓E：孑十p= 1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直

8、角三角形的三個頂點，直線I : y= x + 3與橢圓E有且只有一個公共點T.(1)求橢圓E的方程及點T的坐標(biāo);(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點，直線I '平行于OT與橢圓E交于不同的兩點 A, 點P證明：存在常數(shù) 入，使得| PT| 2= X I PA I PB，并求入的值.2 2(1)解 由已知，a = 2b，則橢圓E的方程為 命+ ¥= 1.B,且與直線I交于2 2. y_= 1由方程組2bb 得3x 12x十(18 2b) 0.y = x十 3 ,2 2 方程的判別式為 A 24( b 3),由A 0,得b 3 ,2 2此時方程的解為 x= 2，所以橢圓E的方程為X + y =

9、1.點T的坐標(biāo)為(2 , 1).1 證明由已知可設(shè)直線I 的方程為y =只+ m(nM 0),1y = mx+ m由方程組2可得2mx = 2百，y = x + 3,2my =1+ 亍一2m 2 8 2所以P點坐標(biāo)為2 , 1 + "3 -I PT = gm.2m設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為A(xi,yi),B(X2,y)2 2X y+= 16十3，由方程組1y= 2X + m2 2可得 3x + 4mx+ (4m 12) = 0.方程的判別式為 A = 16(9 2吊),<m<由 A >0,解得一322<m<322.=才 2xi ,同理 IPB =才 2 m

10、 X2 .52m2m所以 I PA -IPB = 42 y X1 2 X2102 - 2m22m22 亍故存在常數(shù)規(guī)律方法2m2 52m2y(Xl + X2)+ XlX24m 4m125十入=4，使得 I pt2=入 I PA - IPB.5'有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法:涉及垂直關(guān)系時也可考慮用圓錐曲線涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練的利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計算弦長;往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點的弦的問題, 的定義求解.X221【訓(xùn)練21已知橢圓篤十y2= 1(a> b> 0)經(jīng)過點(0, (3)，離心率為1左、右焦點分別為ab2Fi( C, 0)

11、，F(xiàn)2(c，0).(1)求橢圓的方程; 若直線I : y=- 2x +m與橢圓交于 A B兩點，與以F1F2為直徑的圓交于C, D兩點，且滿足帀、帀1 CD字，求直線I的方程.b=73.解(1)由題設(shè)知=2,解得 a= 2, b = 3, c = 1,.2 2 2 b = a c ,橢圓的方程為(2)由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為 X2+ y2= 1,圓心到直線I的距離d =申扌，由dv 1，得im <羋.(*)I CD = 2p1 d = 2寸 1 4m =-75 4n2.設(shè) A(xi, yi),巳 X2,y2),X2 mx m 3 = 0,2-由根與系數(shù)關(guān)系可得=1,解得

12、m=± 乂3，滿足(*).34，得直線X1 + X2= m X1X2 = m 3.考點三中點弦問題【例3】2 2X y(1)已知橢圓E： -+白一1(a>b>0)的右焦點為a bF(3 , 0),過點F的直線交E于AB兩點.若AB的中點坐標(biāo)為(1 , - 1)，貝y E的方程為(2 2X yA. 45+ 36=* 12 2X yB.36+27=2c.27+ 18=12 2x yd.18+9 =1已知雙曲線X? y = 1上存在兩點 M N關(guān)于直線y= x+ m對稱，且 MN的中點在拋物線2_2p= 1消去y,得+ bx2|a2x + 9a224y2= 18x上，則實數(shù) m

13、的值為解析 （1）因為直線AB過點F（3 , 0）和點（1 , 1）,1所以直線AB的方程為y = 3（x 3）,代入橢圓方程2a22"a b = 0,所以AB的中點的橫坐標(biāo)為3 22a2a 22 - + b41，即 a2= 2 b2,又 a2 = b2 + c2，所以 b= c= 3, a= 32,選 D.(2)設(shè) Mxi, yi)，N(X2, y2)，MN的中點 P(xo, yo)，22 y1 ,x1 3 =12 y2 則x23 = 1,X1 + X2= 2x0,y1 + y2= 2y0, 由一得（X2 X1）（ x2+X1）= 3（y2 y1）（ y2+ y",顯然x

14、1 Mx2. Xb£ X+1 =3,即kMN - X0=3,M N關(guān)于直線 y = x+m對稱，kMN= 1,m3m y0= 3x0.又 y0= X0+ m . P 4,代入拋物線方程得9 2m新=18 4 ,解得mF 0或8,經(jīng)檢驗都符合.答案(1)D(2)0或一8xi +規(guī)律方法 處理中點弦問題常用的求解方法 （1）點差法：即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有X2, y1+ y2,三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求X1 X2得斜率.（2）根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后，由C.有且只

15、有三條D.有且只有四條根與系數(shù)的關(guān)系求解.【訓(xùn)練3】設(shè)拋物線過定點 A 1, 0)，且以直線x= 1為準(zhǔn)線. 求拋物線頂點的軌跡 C的方程;MN恰被直線x= 2平分，設(shè)弦MN勺垂(2)若直線I與軌跡C交于不同的兩點 M N,且線段直平分線的方程為y= kx + m試求m的取值范圍.解 設(shè)拋物線頂點為 Rx, y)，則焦點F(2x 1,2 2| AF| = 2，即(2X) + y = 4,2X2+ y-= 1.4再根據(jù)拋物線的定義得所以軌跡C的方程為y).(2)設(shè)弦MN勺中點為yo , Mxm, yM), N(xn, yN)，則由點M N為橢圓C上的點,2 24xm+ yM= 4, 可知 224

16、xn+ yN= 4.兩式相減，得4( XM XN)( xm+ xn) + (yM yN)( yM+ yN) = 0,朽1將 xm+ xn= 2x 2 = 1, y卄 yN= 2yo,yM yN 1yoXM;= k代入上式得k= 2.又點P 1, yo在弦MN勺垂直平分線上,所以yo = 一 m所以13m= yo+ 尹=4yo.由點P 1, yo在線段BB上(B', B為直線X = 1與橢圓的交點,圖所示)，所以屮< yo< yB，也即一< yo </3.所以-學(xué)< m<學(xué)，且m# o.44弓基礎(chǔ)過關(guān)1.過拋物線y2= 2X的焦點作一條直線與拋物線交于

17、A B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于2,則這樣的直線()解析 通徑2p=2,又|AB = X1 + X2 + p,.I AB = 3 > 2p,故這樣的直線有且只有兩條 答案 Bb> 0）的交點個數(shù)是（）b2.直線y = aX + 3與雙曲線孑一2= 1(a>0,A.1B.2C.1 或 2D.0解析因為直線y= bx+ 3與雙曲線的漸近線y = bx平行，所以它與雙曲線只有 1個交點. a答案3.經(jīng)過橢圓2+y2= 1的一個焦點作傾斜角為45°的直線I，交橢圓于A, B兩點，設(shè)0為坐標(biāo)原點，貝y 0A-于（）A. 3C. 3或一 3解析 依題意，當(dāng)直線I經(jīng)過橢圓的右焦點

18、(1 , 0)時，其方程為 y 0= tan 45 ° (x 1),即y= X 1,代入橢圓方程+ y= 1并整理得3x 4x= 0,解得x= 0或x= 3,所以兩個交41_歩 _歩1點坐標(biāo)分別為（0， 1）, 0入OB= 3,同理，直線I經(jīng)過橢圓的左焦點時，也可得 0A- OB= -.3答案 B4.拋物線y= X2到直線X y 2 = 0的最短距離為（）a.>/2C.2磁| X y 2| X2+ X 2|解析設(shè)拋物線上一點的坐標(biāo)為（X ,y），則d=-''答案 B5.（2017 石家莊調(diào)研）橢圓ax2 + by2= 1與直線y = 1 x交于A, B兩點，過原

19、點與線段 AB 解析 設(shè) A(xi, yi) , B(x2, y2)，線段 AB中點 Mxo, yo),由題設(shè)kO= X0=乎ax? + by2= 1,由 ax2+ by2= 1，得(y2 + y1)( y2 yj(X2 + X1)( X2 X1)y2 y1 又一-X2 X11,y2+ y1 =理=2/3X2+ X1= 2X0= 2 所以a=¥答案 A6.已知橢圓C：2 2X yg+ F= 1(a> b> 0), Fj2, 0)為其右焦點，過 F且垂直于X軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2.則橢圓C的方程為解析由題意得c =也,b2a =1，2 .2 .a = b +解得a

20、=2廠橢圓C的方程為x+y=1.b/2,427.已知拋物線y = ax2(a>0)的焦點到準(zhǔn)線的距離為2,則直線y = x+ 1截拋物線所得的弦長等于11解析由題設(shè)知p= 2a= 2，a=1.拋物線方程為12y = 4X2，焦點為F(0 , 1)，準(zhǔn)線為y = 1.1 2聯(lián)立y=4X，消去X,y = X +1,整理得y2 6y+ 1 = 0, y1 + y2= 6,v直線過焦點F,所得弦 I AB| = 1 AF| + I BF| = yi + 1 + y2+ 1 = 8.答案 82 28.過橢圓話+ 4 = 1內(nèi)一點R3 , 1)，且被這點平分的弦所在直線的方程是解析 設(shè)直線與橢圓交于

21、 A(xi, yi) , B(X2, y2)兩點,由于A, B兩點均在橢圓上,2 2 “ X1 y1 故花十4 =1，2 2X2 y2 恆 + 4 = 1,兩式相減得(X1+ X2)( X1-X2)+(y1+ y2)(y1 y2)= 0.16又 P是 A B的中點， xi + X2= 6, yi + y2= 2, kAB=0 = 3.X1 X243直線AB的方程為y 1 = 4( x 3).即 3x + 4y 13= 0.答案 3x + 4y 13 = 0三、解答題9.設(shè)Fi, F2分別是橢圓2 2x yE： - +右=1(a>b>0)的左、右焦點，過 F1且斜率為1的直線I與a

22、bE相交于A B兩點，且I A冋，|AB ,1 BF|成等差數(shù)列.(1)求E的離心率;設(shè)點R0 , 1)滿足I PA = I PB，求E的方程.解(1)由橢圓定義知I A冋+ I BF| + I AB = 4a,4又 2IAB =|ARI + IBRI，得 IAB = 3a,y= x 十 c,x2y2消去y,化簡得(a2十十1!? = 1,a b l的方程為y = x+c,其中c=ya2 b2.設(shè)A(x1, y1), 0X2, y2)，貝y A, B兩點的坐標(biāo)滿足方程組/ 2 .2、 (c b )2 22 222222a cab ) x 十2a cx十 a (c b ) = 0,貝U X1 十

23、 X2 = _-r, X1X2=2_a十ba十b因為直線 AB的斜率為 1，所以 I AB =2|X2 X1| = >y2 (X1 + X2)2 4x1X2，即 4a= 4.2,3 a十b故 a2 = 2b2,所以E的離心率e=a=(2)設(shè)AB的中點為, 2X1 + X2 a cX0= - = _2 a + bN(xo, yo)，由(1)知2cc2= , yo = Xo + c= 3.y0+ 1由 |PA = |PB，得 kpN=- 1，即一X0-1,得 c= 3，從而 a= 2, b= 3.2 2X y18+ 9 = j故橢圓E的方程為2X10.已知橢圓C：云+1( a>b>

24、;0)的一個頂點為 A：2 ,0),離心率為直線y= k(x- 1)與橢圓C交于不同的兩點 M N(1)求橢圓C的方程；當(dāng) AMN勺面積為時，求k的值.a= 2,解(1)由題意得 =H；,a 22.2,2a = b + c .解得b=p2，所以橢圓C的方程為y= k (X 1),(2)由 X2 y2得(1 + 2k2)X2-4k2x + 2k2-4= 0.+ = 14 + 2'，設(shè)點M N的坐標(biāo)分別為(X1, yi),(X2, y2),則屮=k(X1 - 1), y2= k(x2-1),4 k22k2-4X1 + X2= 一T , X1X2= 一2 ,1 + 2k1 + 2k所以 |

25、MN (X2-X1)2+( y2- y1) 2 f22= (1 + k ) (X1 + X2) 4x1X2 2乜(1 + k2)( 4 + 6k2)1 + 2k又因為點A(2 , 0)到直線y = k(x- 1)的距離d= J k| 2, 寸1 + k所以 AMN勺面積為S= 1| MN d = 耳+4+6k，由| k|J4+ 6k2 顧 ” 口 七廠=V，解得k=±1.能力提高2 2Fi, F2,過Fi的直線I交橢圓于A BX y11.已知橢圓-+希=1(0 < bv 2)的左、右焦點分別為兩點，若I B冋+ I AFd的最大值為5，則b的值是()5A.1B.p2C. 2解析

26、 由橢圓的方程，可知長半軸長為a= 2,由橢圓的定義，可知IAF2I +1 BF2I + | AB = 4a所以 I AB = 8 (I AF2| + I BF2|) > 3.由橢圓的性質(zhì)，可知過橢圓焦點的弦中,通徑最短，即2b=3,可求得 b2=3,即 b=v9答案 D12.(2016 四川卷)設(shè)0為坐標(biāo)原點,是線段PF上的點，且I PM = 2| MF ,P是以F為焦點的拋物線 y2 = 2px(p>0)上任意一點，M 則直線OM勺斜率的最大值是(2B.3解析 如圖所示，設(shè) Rxo, yo)( yo>O)，則yO = 2pxo,1即 xo = 2p.0卜 *設(shè) Mx', y),由 pM= 2MFD.1A.半-Xo= 2 2 X'/X得y'yo= 2 (0 y )，解之得p+ XoX '=3，且 y - y0.直線OM勺斜率y_= =2pX y0 2pp+ 27 匸 + yo2P yo又y0+叱y。2V2p,當(dāng)且僅當(dāng)yo=72p時取等號.k-聶纓則k的最大值為乎.答案 CA為垂足.如果直線13.設(shè)拋物線y2= 8X的焦點為F,準(zhǔn)線為I , P為拋物線上一點，PAII , AF的斜率為一羽，那