專(zhuān)題15三角形的四心選講

1、全國(guó)名校初高中數(shù)學(xué)銜接專(zhuān)題匯編（附詳解）專(zhuān)題15三角形的四心四心”在解題時(shí)有很多應(yīng)用，在 重心，垂心.三角形中有許多重要的特殊點(diǎn)，特別是三角形的本節(jié)中將分別給予介紹.三角形的四心”指的是三角形的外心，內(nèi)心,1、三角形的外心三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形（外接圓圓心）.三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.都等于三外接圓半徑.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；直角三角形的夕 邊中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形外.2、三角形的內(nèi)心三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的內(nèi) 心（內(nèi)切圓圓心）.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等 ，都等于三角形內(nèi)切圓半 徑.內(nèi)切圓半徑r的計(jì)算：1S設(shè)三

2、角形面積為S，并記p=1（a+b+c），則詩(shī)1特別的，在直角三角形中，有r=2（a+b C）.3、三角形的重心 三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心. 我們可得到以下結(jié)論：三角形的重心到邊的中點(diǎn)與到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離之比為 1 : 2 重心與三頂點(diǎn)相連將三角形面積三等分.4、三角形的垂心 三角形的三條高交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的垂心.斜三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與垂心這四個(gè)點(diǎn)中，任何三個(gè)為頂點(diǎn)的三角形的垂心就是第四個(gè)點(diǎn)所以把這樣的四個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為一個(gè)垂心組” 例1已知G為 ABC的重心，不過(guò)三角形頂點(diǎn)的直線 L過(guò)G點(diǎn)，從A、B、C三點(diǎn)向直線 L引垂線AO BE, CF, 0, E, F為垂足.DC求證：

3、A0=BE+C.F分析：直接證A0=BE+CF匕較困難。可考慮連 AG延長(zhǎng)交BC于D,過(guò)D作D川丄厶于H,則可知DH為梯 形BCFE勺中位線，問(wèn)題即可得證.證明：如圖所示，連 AG并延長(zhǎng)交BC于D. G是重心，故BD=DC 過(guò)D點(diǎn)作 DE丄厶于H,又-CF丄厶腿丄厶12 DH為梯形BCFE勺中位線,又 AOGpA DHG, - £±=匹AO AG即因此，AO=BE+C.F解：！ , D, C, E 共圓,J,ZZ)/£"lS0f -(ZC'n 211101'tif從而知ZC - 60于是巾迢=|120.XI U Z2連CI則V I, D,

4、 C, E 共圓.因而ID=IE .73|由余弦定理解得，f=¥3即1在 DIE中，DQ 妙卜只七©時(shí)閘12列例3已知 ABC的重心G和內(nèi)心O的連線GO/BC，求證AB+CA=2BC則AG為中線，A0和CO分別為和的平分線。cGC/iBC.2 i>AOAG 1drGM1nc.又 CO是/ ACB的平分線,I caao 得 CA=2CT同理可證AB=2BT AB+CA=2（ BT+CT =2BC思路2:也可以考慮利用面積公式證明.證明2 :如圖所示，作中線 AM和高AH則AM過(guò)G GO/BC,.GD等于 ABC的內(nèi)切圓半徑r,GDGM從而 AH=3GD=3r. AB+A

5、C=2BC.于是AM I引又過(guò)G作丄歸U于D.例4求證：任一三角形中，外心，重心和垂心共線， 心到重心的距離.證明： 如圖，設(shè)H, G, 0分別為 ABC的垂心，重心，外心，取 BC中點(diǎn)M連am 貝y G在 AM上 且 AG=2GM連 0M 貝U OML BC連結(jié)AH則AHI BC AH/OM連CO延長(zhǎng)交外接圓于 P,再連AP, BP, BH （如圖）易證 AH=20M又/ HAGM OMG得 AGHA MGO 7且垂心到重心的距離二倍于外1加AH ,'GO2又/ AGH= MGO故 HG=2G（且 H, G, O共線.點(diǎn)評(píng)：外心、重心、垂心所在的直線稱(chēng)為歐拉線.例5 如圖，D, E,

6、 F 分別為 ABC各邊BCCAAF:且朋上的點(diǎn),則 ABCn DEF有相同的重心.挫kb AC3s+«)*2令A(yù)BC的重心，連 GA GB GC GD GE GF,得EiXB<?: 艸a +科wa=S同理血88 = "go J 23g亍'SAiBCrftm 0用+«LAS?+得弘商匸£cs（?B H £JiFSf-1 G也為 DEF的重心.習(xí)題1.已知AD, BE, CF為銳角 ABC三條高線,垂心為H,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為2.若一等腰三角形的底邊上的高等于18厘米，腰上的中線等于15厘米，則該等腰三角形的面積等于 .已知

7、ABC的垂心為 M AM=3 BM=4, CM=5,那么 =.已知H為ABC的垂心，求證由A B C H四點(diǎn)中任意三點(diǎn)所確定的各圓相等 設(shè)銳角 ABC的三條高ADDECF交于H,若BC=a, AC=b, AB=c,則 ahad bh ns'+ orIJcf3.4.5.的值是多少?AH /E6.設(shè)H為等腰三角形ABC的垂心,在底邊BC保持不變的情況下,讓頂點(diǎn)A至底邊BC的距離變小，這時(shí)乘積的值變小，變大，還是不變？并證明你的結(jié)論.參考答案：1.答案：12提示：直角三角形有 ADB, ADC, BEA, BEC; CFA, CFB; HDB, HDCHEC, HEA; HFA, HFB.提示：如圖所示,AD=8, BE=CF=15,過(guò)D作DM/BE,與CF交于 M點(diǎn),易知 0D=6, OM=MD=5,4 SgQ3. 答案：18.提示：延長(zhǎng)MF到N,使4.證明： 當(dāng) ABC為銳角三角形時(shí),H為垂心,設(shè)R和劉分別為 ABC, HBC的外2R接圓半徑.據(jù)正弦定理，在 ABC中 ,竺;同樣有2爲(wèi)Sin AinWcl 但 A, D, H,sinE四點(diǎn)共圓.- ISO' -彈，A.sin.sinZBHC =sin（180" ,2應(yīng)2知即|應(yīng)-坷.同理可讓 HAC HAB外接圓半徑均為R.(2)當(dāng) ABC為銳角三角形時(shí)，可將 A看