2014屆高三專題復習篇專題五 第二講

1、第二講空間點、直線、平面的位置關(guān)系1點、線、面的位置關(guān)系(1)公理1A，B，AB.(2)公理2A，B，C三點不共線，A，B，C確定一個平面(3)公理3P，且P，l，且Pl.三個推論：過兩條相交直線有且只有一個平面過兩條平行直線有且只有一個平面過一條直線和直線外一點有且只有一個平面(4)公理4ac，bc，ab.(5)等角定理OAO1A1，OBO1B1，AOBA1O1B1或AOBA1O1B1180°.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理a，b，ab，a.(2)線面平行的性質(zhì)定理a，a，b，ab.(3)面面平行的判定定理a，b，abP，a，b，.(4)面面平行的性質(zhì)定理，

2、a，b，ab.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理m，n，mnP，lm，ln，l.(2)線面垂直的性質(zhì)定理a，b，ab.(3)面面垂直的判定定理a，a，.(4)面面垂直的性質(zhì)定理，l，a，al，a.4異面直線所成的角(1)定義(2)范圍：(0，(3)求法：先通過取中點或作平行線找到兩異面直線所成的角，然后解含有這個角的三角形若求得的角為鈍角，則這個角的補角才為所求的角5直線與平面所成的角(1)定義(2)范圍：0，(3)求法：先找到(或作出)過斜線上一點垂直于平面的直線，斜足與垂足的連線就是斜線在平面內(nèi)的射影，該斜線與射影的夾角就是所求的線面角，解這個角所在的直角三角形可得6二

3、面角(1)定義(2)范圍：0，(3)找二面角平面角的方法定義法垂面法垂線法特殊圖形法垂線法是最重要的方法，具體步驟如下：弄清該二面角及它的棱考慮找一條過一個平面內(nèi)的一點垂直于另一個平面的直線(往往先找垂面再找垂線)過這條垂線的兩個端點中的一個作二面角棱的垂線，連結(jié)垂足與另一個端點，所得到的角(或其補角)就是該二面角的平面角解這個角所在的直角三角形，可得到二面角的大小1 (2013·安徽)在下列命題中，不是公理的是()A平行于同一個平面的兩個平面相互平行B過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)D如果兩個不重合的平

4、面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線答案A解析B、C、D選項是公理2 (2013·廣東)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A若，m，n，則mnB若，m，n，則mnC若mn，m，n，則D若m，mn，n，則答案D解析A中，m與n可垂直、可異面、可平行；B中m與n可平行、可異面；C中若，仍然滿足mn，m，n，故C錯誤；故D正確3 (2013·山東)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A. B. C. D.答案B解析如圖所示：SA

5、BC×××sin 60°.VABCA1B1C1SABC×OP×OP，OP.又OA××1，tanOAP，又0<OAP<，OAP.4 (2012·安徽)設(shè)平面與平面相交于直線m，直線a在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi)，且bm，則“”是“ab”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析當時，由于m，b，bm，由面面垂直的性質(zhì)定理知，b.又a，ba.“”是“ab”的充分條件而當a且am時，bm，ba.而此時平面與平面不一定垂直，“”不是“ab”的必要條件，故選A.

6、5 (2013·浙江)在空間中，過點A作平面的垂線，垂足為B，記Bf(A)設(shè)、是兩個不同的平面，對空間任意一點P，Q1ff(P)，Q2ff(P)，恒有PQ1PQ2，則()A平面與平面垂直B平面與平面所成的(銳)二面角為45°C平面與平面平行D平面與平面所成的(銳)二面角為60°答案A解析本題關(guān)鍵是理解Bf(A)的含義若平面與平面不垂直在其中一個平面上取一點P.則PQ1PQ2.所以平面與平面垂直，故選A.題型一空間點、線、面的位置關(guān)系例1對于四面體ABCD，下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號)相對棱AB與CD所在的直線是異面直線；由頂點A作四面體的高，其垂足

7、是BCD三條高線的交點；若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合；任何三個面的面積之和都大于第四個面的面積；分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點審題破題可以畫出四面體ABCD的直觀圖，根據(jù)圖形分析點、線、面的位置關(guān)系答案解析若AB與CD共面，ABCD就成了平面圖形，故對；若垂足為BCD高線的交點，必推出對棱垂直，故錯；只有當以AB為底的三角形是等腰三角形時，垂足才能重合，故錯；設(shè)垂足為O，過O作OECD于E，連接AE，則OE<AE.SCODCD·OE<SACDCD·AE.同理可得SABD>SBOD，SABC>SBOC

8、，SACDSABCSABD>SBCD.故對如圖，點E、F、G、H、M、N為各邊中點，這樣可得到EFGH和ENGM它們的對角線EG和FH互相平分，EG和MN也互相平分因此，三條線段EG，F(xiàn)H，MN交于一點，故對反思歸納準確畫出相應(yīng)的幾何體，結(jié)合該幾何體來研究各命題的真假若判定一個命題為假，只需舉一反例(特殊狀態(tài)、特殊位置、特殊圖形)即可有時用反證法來判斷也可以變式訓練1(1)給出下列關(guān)于互不相同的直線m，n，l和平面、的四個命題：m，lA，Am，則l與m不共面；l、m是異面直線，l，m，且nl，nm，則n；若l，m，lmA，l，m，則；若l，m，則lm.其中假命題的序號是_答案解析命題可用

9、反證法證明成立；命題利用線面平行的性質(zhì)，過l、m分別作平面、交平面于l，n，易知nl，nm且m，n相交，故n；命題即為面面平行的判定定理；命題中l(wèi)，m可以平行、相交，也可以異面(2)若P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則下列命題中假命題的序號是_過點P有且僅有一條直線與l，m都平行；過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直；過點P有且僅有一條直線與l，m都相交；過點P有且僅有一條直線與l，m都異面答案解析可以利用模型進行判斷題型二平行關(guān)系與垂直關(guān)系例2在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且ADPD2MA.(1)求證：平

10、面EFG平面PMA；(2)求證：平面EFG平面PDC；(3)求三棱錐PMAB與四棱錐PABCD的體積之比審題破題(1)證明EG、FG都平行于平面PMA.(2)證明GF平面PDC.(3)設(shè)MA為1，從而其他邊的長度都可表示，問題可求解(1)證明E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，EGPM，GFBC.又四邊形ABCD是正方形，BCAD，GFAD.EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA內(nèi)，EG平面PMA，GF平面PMA.又EG、GF都在平面EFG內(nèi)且相交，平面EFG平面PMA.(2)證明由已知MA平面ABCD，PDMA，PD平面ABCD.又BC平面ABCD，PDBC.四邊形ABCD為正

11、方形，BCDC.又PDDCD，BC平面PDC.在PBC中，G、F分別為PB、PC的中點，GFBC，GF平面PDC.又GF平面EFG，平面EFG平面PDC.(3)解PD平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA1，則PDAD2.DA平面MAB，且PDMA，DA即為點P到平面MAB的距離，VPMABVPABCDSMAB·DAS正方形ABCD·PDSMABS正方形ABCD(2×2)14.反思歸納垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下：(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換；三是

12、利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可，l，ala.變式訓練2(2013·北京)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分別為CD、PC的中點求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.證明(1)平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB

13、，E為CD的中點，ABDE，且ABDE.ABED為平行四邊形BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，且四邊形ABED為平行四邊形BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，則PACD，CD平面PAD，從而CDPD，又E、F分別為CD、CP的中點，EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EFBEE，CD平面BEF.平面BEF平面PCD.題型三空間線面關(guān)系的綜合問題例3如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD平面ABE，AEEBBC，F(xiàn)為CE上的點，且BF平面ACE.(1)求證：AEBE；(2)設(shè)M在線段AB上，且滿足AM2MB，試在線段CE上確定一

14、點N，使得MN平面DAE.審題破題(1)通過線面垂直證明線線垂直(2)這是一道探索性問題，先確定點N的位置，再進行證明要注意解題的方向性，通過尋找到的條件，證明MN平面DAE成立(1)證明AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，AE平面ABE，AEBC.又BF平面ACE，AE平面ACE，AEBF，BCBFB，AE平面BCE，又BE平面BCE，AEBE.(2)解在ABE中過M點作MGAE交BE于G點，在BEC中過G點作GNBC交EC于N點，連接MN，則由比例關(guān)系易得CNCE.MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE.同理，GN平面ADE.又GNMGG，平面MGN平面ADE.又M

15、N平面MGN，MN平面ADE.N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點反思歸納解決探究某些點或線的存在性問題，一般方法是先研究特殊點(中點、三等分點等)、特殊位置(平行或垂直)，再證明其符合要求，一般來說是與平行有關(guān)的探索性問題常常尋找三角形的中位線或平行四邊形變式訓練3(2013·浙江)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABBC2，ADCD，PA，ABC120°.G為線段PC上的點(1)證明：BD平面APC；(2)若G為PC的中點，求DG與平面APC所成角的正切值；(3)若G滿足PC平面BGD，求的值(1)證明設(shè)點O為AC、BD的交點由ABBC，ADCD，得BD

16、是線段AC的中垂線所以O(shè)為AC的中點，BDAC.又因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，且ACPAA.所以BD平面APC.(2)解連接OG.由(1)可知OD平面APC，則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG，所以O(shè)GD是DG與平面APC所成的角由題意得OGPA.在ABC中，AC2.所以O(shè)CAC.在RtOCD中，OD2.在RtOGD中，tanOGD.所以DG與平面APC所成角的正切值為.(3)解連接OG.因為PC平面BGD，OG平面BGD，所以PCOG.在RtPAC中，得PC.所以GC.從而PG，所以.典例(12分)如圖，在ABC中，B，ABBC2，P為AB邊上一動點，PDBC交AC于

17、點D，現(xiàn)將PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)當棱錐APBCD的體積最大時，求PA的長(2)若點P為AB的中點，E為AC的中點，求證：ABDE.規(guī)范解答(1)解令PAx(0<x<2)，則APPDx，BP2x.因為APPD，且平面APD平面PBCD，故AP平面PBCD.所以VAPBCDSh(2x)(2x)x(4xx3)令f(x)(4xx3)，4分由f(x)(43x2)0，得x(負值舍去)5分當x時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減7分所以當x時，f(x)取得最大值故當VAPBCD最大時，PA.8分(2)證明設(shè)F為

18、AB的中點，如圖所示，連接PF，F(xiàn)E，則有EF綊BC，PD綊BC.10分所以EF綊PD.所以四邊形EFPD為平行四邊形所以DEPF.又APPB，所以PFAB，故DEAB.12分評分細則(1)從已知條件得到AP平面PBCD，得2分；(2)f(x)的單調(diào)區(qū)間寫成閉區(qū)間不扣分；少一個區(qū)間扣1分；(3)輔助線沒有按要求畫出或?qū)嵦撳e誤扣1分閱卷老師提醒(1)解決折疊問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后哪些位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系改變，哪些不變，抓住翻折前后不變的量，充分利用原平面圖形的信息是解決問題的突破口(2)把平面圖形翻折后，經(jīng)過恰當連線就能得到三棱錐、四棱錐，從而把問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的幾何體中解決1 關(guān)于直線a、b

19、、c，以及平面M、N，給出下列命題：若aM，bM，則ab；若aM，bM，則ab；若ab，bM，則aM；若aM，aN，則MN.其中正確命題的個數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案C解析中a與b可以相交或平行或異面，故錯中a可能在平面M內(nèi)，故錯，故選C.2 下列命題中，m、n表示兩條不同的直線，、表示三個不同的平面若m，n，則mn；若，則；若m，n，則mn；若，m，則m.正確的命題是()A B C D答案C解析平面與可能相交，中m與n可以是相交直線或異面直線故錯，選C.3 (2012·四川)下列命題正確的是()A若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B若一個平面內(nèi)有三個點到另

20、一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行答案C解析A錯誤，如圓錐的任意兩條母線與底面所成的角相等，但兩條母線相交；B錯誤，ABC的三個頂點中，A、B在的同側(cè)，而點C在的另一側(cè)，且AB平行于，此時可有A、B、C三點到平面距離相等，但兩平面相交；D錯誤，如教室中兩個相鄰墻面都與地面垂直，但這兩個面相交，故選C.4 如圖所示，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD，則在三棱錐ABCD

21、中，下列命題正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析由題意知，在四邊形ABCD中，CDBD.在三棱錐ABCD中，平面ABD平面BCD，兩平面的交線為BD，所以CD平面ABD，因此有ABCD.又因為ABAD，ADDCD，所以AB平面ADC，于是得到平面ADC平面ABC.5 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1上的動點，則直線NO、AM的位置關(guān)系是()A平行 B相交C異面垂直 D異面不垂直答案C解析易證ON在平面A1ADD1上的射影與AM垂直，進而可證得ONAM.

22、6 若l為一條直線，為三個互不重合的平面，給出下面三個命題：，；，；l，l.其中正確的有_答案解析正方體中一個對角面和一個側(cè)面都與底面垂直，但這兩個面不垂直，故命題不正確；若，在平面內(nèi)作平面與平面的交線的垂線m，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，m，又，故m，這樣平面過平面的一條垂直，故，命題正確；過直線l作平面交平面于直線n，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，ln，又l，故n，這樣平面就過平面的一條垂線，故，故命題正確專題限時規(guī)范訓練一、選擇題1 若平面平面，直線a，點B，則在內(nèi)過點B的所有直線中()A不一定存在與a平行的直線B只有兩條與a平行的直線C存在無數(shù)條與a平行的直線D存在唯一與a平行的直線答案D解析由

23、直線a與B確定的平面與有唯一交線故存在唯一與a平行的直線2 設(shè)m，n為兩條直線，為兩個平面，則下列四個命題中，正確的命題是()A若m，n，且m，n，則B若m，mn，則nC若m，n，則mnD若m，n為兩條異面直線，且m，n，m，n，則答案D解析選項A中的直線m、n可能不相交；選項B中直線n可能在平面內(nèi)；選項C中直線m，n的位置可能是平行、相交或異面故選D.3 下列命題中錯誤的是()A如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面答案D解析兩個平面，垂直時

24、，設(shè)交線為l，則在平面內(nèi)與l平行的直線都平行于平面，故A正確；如果平面內(nèi)存在直線垂直于平面，那么由面面垂直的判定定理知，故B正確；兩個平面都與第三個平面垂直時，易證交線與第三個平面垂直，故C正確；兩個平面，垂直時，平面內(nèi)與交線平行的直線與平行，故D錯誤4 正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上的動點，則直線A1D與直線C1E所成的角等于()A60° B90°C30° D隨點E的位置而變化答案B解析在正方體中，顯然有A1DAB，A1DAD1，所以A1D面AD1C1B，又C1E面AD1C1B，故A1DC1E.故選B.5 如圖，若是長方體ABCDA1B1C1D1

25、被平面EFGH截去幾何體EB1FHC1G所得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點，且EHA1D1，則下列結(jié)論中不正確的是()AEHFG B四邊形EFGH是矩形C是棱柱 D是棱臺答案D解析A中，EHA1D1，EHBC，EH平面BCC1B1.又過EH的平面EFGH與平面BCC1B1交于FG，EHFG.故A成立B中，易得四邊形EFGH為平行四邊形，BC平面ABB1A1，BCEF，即FGEF.四邊形EFGH為矩形故B正確C中可將看作以A1EFBA和D1DCGH為上下底面，以AD為高的棱柱故C正確6 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，ACEF

26、G.現(xiàn)在沿AE、EF、FA把這個正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為P，則在四面體PAEF中必有()AAPPEF所在平面 BAGPEF所在平面CEPAEF所在平面 DPGAEF所在平面答案A解析在折疊過程中，ABBE，ADDF保持不變AP面PEF.7 已知，表示兩個不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“m”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析由平面與平面垂直的判定定理知，如果m為平面內(nèi)的一條直線，m，則，反過來則不一定所以“”是“m”的必要不充分條件8 已知m、n是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，有下列命題：若m，

27、n，則mn；若m，m，則；若m，mn，則n；若m，m，則.其中真命題的個數(shù)是()A1個 B2個 C3個 D4個答案A解析不成立，故選A.二、填空題9 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_答案解析由于在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E為AD的中點，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F(xiàn)為DC的中點，EFAC.10如圖所示，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，將ABC沿DE，EF，DF折成正四面體PDEF(點A、B、C重合后記為P)，則四面體中異面直線PG與DH所成角的余弦值為_答案解析折成的正四面體如圖所示，連接HE，取HE的中點K，連接GK，PK，則GKDH，故PGK即為所求的異面直線所成角或其補角設(shè)這個正四面體的棱長為2，在PGK中，PG，GK，PK ，故cosPGK.即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是.11如圖，AB為圓