利用空間向量解立體幾何

1、向量法解立體幾何引言立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題， 它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角 等。教材上講的比較多的主要是用向量證明線線、 線面垂直及計算線 線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及 面面角的例題不多，給老師對這部分內(nèi)容的教學(xué)及學(xué)生解有關(guān)這部分 內(nèi)容的題目造成一定的困難，下面主要就這幾方面問題談一下自己的 想法，起到一個拋磚引玉的作用。基本思路與方法一、基本工具1. 數(shù)量積：a b a b cos2. 射影公式：向量a在b上的射影為a blb3. 直線

2、Ax By C 0的法向量為A,B，方向向量為 B, A4. 平面的法向量（略）二、用向量法解空間位置關(guān)系1. 平行關(guān)系線線平行兩線的方向向量平行線面平行線的方向向量與面的法向量垂直面面平行兩面的法向量平行2. 垂直關(guān)系線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直線面垂直 線與面的法向量平行面面垂直 兩面的法向量垂直 三、用向量法解空間距離1點點距離點P與Q Xzyz的距離為 pq 2X1f（y2yp（Z2纖2點線距離求點P Xo,yo到直線l : Ax By C 0的距離：)n =|Axo By。C nVa2 b2的距離.方法：在直線上取一點Q x, y ，則向量PQ在法向量n A,B上的射影即

3、為點P到I的距離.3. 點面距離求點P Xo，yo到平面的距離：方法：在平面 上去一點Q x,y，得向量PQ計算平面的法向量n， 計算PQ在上的射影，即為點P到面四、用向量法解空間角1. 線線夾角（共面與異面）線線夾角兩線的方向向量的夾角或夾角的補角2. 線面夾角求線面夾角的步驟:先求線的方向向量與面的法向量的夾角， 若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾角.3. 面面夾角(二面角)若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法 向量同進同出，貝匸面角等于法向量的夾角的補角 .實例分析亠、運用法向量求空間角向量法求空間兩條異面直線a, b所成角B,只要在兩條異面

4、直線a, b上各任取一個向量uuir uuiruuir uuur 亠AA和 BB'，貝卩角 <AA',BB'>=0 或 n - 0,因為B是銳角，所以uuir AA'uuirBB'1 ULr I|aa|uuirBB'COS 0 =不需要用法向量A1、運用法向量求直線和平面所成角設(shè)平面a的法向量為n= (x, y, 1)，則直線AB和平面a所成的角0的正弦值為uuu rsin 0 = COS（ 3 - 0 ） = |cos< AB , n >| 二uuu r AB ? nturnAB?n2、運用法向量求二面角設(shè)二面角的兩個面

5、的法向量為 需，則 帶,養(yǎng)或n -爲(wèi) 是所求角。這時要借助圖形來判斷所求角為銳角還是鈍角，來決定n-i,n2 是所求，還是n -< n-j, n2>是所求角二、運用法向量求空間距離1、求兩條異面直線間的距離設(shè)異面直線a、b的公共法向量為 在a、b上任取一點A、B,則異面直線 離uuu rd =AB cos / BAA =|ABr?n|n|略證：如圖，EF為a、b的公垂線段，a為過F與a平行的直線，/ / / /在a、b上任取一點A B,過A作AA = EF,交a于A , uuuir r/ uun r則AA? / n，所以/ BAA =<BAn> （或其補角）uuu r二

6、異面直線 a、b 的距離 d =AB cos/ BAA =| AB?n 1 *uuur uuu（或圖中的AE,BF ）,|n|其中，n的坐標(biāo)可利用a、b上的任r 、及n的疋義得n ?a 0 r r n?b 0r解方程組可得n2、求點到面的距離求A點到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為 n (x, y,1)，在auun r內(nèi)任取一點b,則a點到平面a的距離為d =兇鬥 n的坐標(biāo)由n與|n|'平面a內(nèi)的兩個不共線向量的垂直關(guān)系， 得到方程組(類似于前面所述，若方程組無解，則法向量與XOY平面平行，此時可改設(shè)n (1,y,0),下同)。3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線a到平面a的距離

7、，設(shè)平面a的法向量法為 n (x,y,1)，在 直線a上任取一點A,在平面a內(nèi)任取一點B,則直線a到平面a的uur r距離 d = 1 AEr?n|n|4、求兩平行平面的距離設(shè)兩個平行設(shè)平面a、 B的公共法向量法為n (x,y,1),在平面a、uju rB內(nèi)各任取一點A B,則平面a到平面B的距離d = 脾口|n|三、證明線面、面面的平行、垂直關(guān)系設(shè)平面外的直線a和平面a、B,兩個面a、B的法向量為, 則LTuua/ a naa/n1ir uuir uu/m / n2n1 n2四、應(yīng)用舉例：例1:如右下圖，在長方體ABCAiBCD中，已知AB= 4, AD =3,AA二2. E、F分別是線段

8、AB BC上的點，且 EB= FB=1.(1) 求二面角C- DE- C的正切值;求直線EG與FD所成的余弦值.解：(I )以A為原點， 建立空間直角坐標(biāo)系，貝S D(0,3,0)、D(0,3,2)C(4,3,2)uuu 于是，DE 設(shè)法向量n r uuu n DE r uuu n EGluurluur(3, 3,0), EG (1,3,2), FD1( 4,2,2)(x,y,2)與平面CDE垂直，則有3y 03xx 3y 2z 01, 1,2),UUU(0, 0,2)與平面n (Q向量AA1r uuun與人幾所成的角r uuun? AAs甘 uuur|n| |AA12設(shè)EG與FD所成角為B,

9、則 uuu uuu EC, ? FD, I imI I inLJULolUI LJUUI|EG | |FDjQ costan(II )cosC101022 76Z/| J 14 丁0043AlAIECDE垂直.21141 ( 4)3 22 2.'123222. ( 4)22222例2:如圖，已知四棱錐 P-ABCD底面ABCD是菱形，/ DAB=60, PDL平面 ABCD PD=AD 點 E 為AB中點，點F為PD中點。(1)證明平面PEDL平面PAB(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值證明：(1)v面ABC兎菱形，/ DAB=60 ABD是等邊三角形，又E是AB中點，連結(jié)BD

10、/ EDB=30, / BDC=60EDC=90如圖建立坐標(biāo)系 D-ECP設(shè)AD=AB=1貝S PF二FD,ED=2 2二 P (0, 0,1)，E(T，0,0)，BV，2，0)uuu G PB=(寧,1uuu1，-1 )，PE =(于，0, -1),uuur平面PED的一個法向量為DC = (0,1,0),設(shè)平面PAB的法向量為 n= (X, y, 1)r uuu n PB r uuu n PE近1(x, y,1)?(, , 1)2 2爲(wèi)(x,y,1)?(,0, 1)2x2.3x212y 1r 2.n= ( A, 0, 1)uuxriuur r DC n=0 即 DC 丄 n .平面 PED

11、L平面 PABr o(2) 解：由(1)知：平面PAB的法向量為n= (一2亍0,1),設(shè)平面FAB的法向量為n1二(x, y, -1),由(1)知:1 uuaF (0, 0, f ), FB =ULTFEniniuuu FB uuu FE(X, y,(x, y,73 1 11)?-,-,-)2 2 2巧11)?( ,0,-)22、3x2、3x212y1 02n 1=(-,0, -1)二二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos 0=|cos< n , n 1>|5.714例3:在棱長為4的正方體ABCD-A1CD中，C是正方形ABGD的中心，點P在棱CG上，且CG=4CP.(I )

12、求直線AP與平面BCGB所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；(II)設(shè)O點在平面DAPh的射影是H,求證：DH丄AP;(皿)求點P到平面ABD的距離.解：(I )如圖建立坐標(biāo)系D-ACDT棱長為4 A (4, 0, 0), B(4, 4, 0), P (0, 4, 1)uuu- uuurAP = (-4, 4, 1),顯然 DC = (0, 4, 0)z為平面BCGB的一個法向量umrDC >| =16/42 421 ?、44 3333二直線AP與平面BCGBi所成的角B的正弦值sin 0 = |cos< AP ,0為銳角直線AP與平面BC®所成的角0為arcsin

13、垮(皿)設(shè)平面ABD的法向量為n= (x, y, 1),uuuuuju AB= (0, 4, 0), AD1 = (-4 , 0, 4)r uuu rujuu由n丄AB , n丄AD1得y 0n= (1,0, 1),點P到平面ABD勺距離d =4x 4 0uuu rr n3、22例4:在長、寬、高分別為 2, 2, 3的長方體ABCD-A1C1D中，0是底面中心，求A0與BC的距離解：如圖,建立坐標(biāo)系 D-ACD,則0( 1，1,(2, 2, 3),jjjr二 AO ( 1,1,C(0, 2, 0)UUJT3) BQ ( 2,0,3)設(shè)AO與BC的公共法向量為n(x, y,1),r umr n

14、 AO r uujr n BQ(x,y,1)?( 1,1, 3) 0(x,y,1)?( 2,0, 3) 0x2xt'i,1) A1O與BC的距離為uuuj r d =|ABr?n| |n|0,2,0 ?芻I,12 2I22332231123 2211例5:在棱長為1的正方體ABCD/BCD 中,的中點，求A到面BDFE的距離。E (1 , 1, 1)2uuuuuu1uur BD ( 1, 1,0)BE ( ,0,1)A1B2解：如圖，建立坐標(biāo)系 D-ACD,則B (1,r nuuu BD(x, y,1)?(1, 1,0) 0x y 0ruuu11nBE(x, y,1)?(,0,1) 02x 102r n(2, 2,1)設(shè)面BDFE勺法向量為n (x, y,1)，則ujjr r A1 到面 BDFE的距離為 d =1AB?£J |n|UUJAB1 (0,2,0)E、F分別是BC、CD1, 0), A1 (1, 0, 1),o,1'1?2, 2g 1222 2 1 31五、課后練習(xí):1、如圖,已知正四棱柱 ABCD-ABCD, AB=1,AAi=2,點E為CG中點,點F為BD中點.（1） 證明EF為BD與CG的公垂線；（2）求點D到面BDE勺距離.2、已知正方形ABCD邊長為1,過D作PDL平面ABCD 且 PD=1E、F分別是AB和BC的中點，（1