噴泉設計建模

1、 美麗湖飯店噴泉設計建模摘要噴泉作為一種優(yōu)美的水景越來越深受人們的喜愛，而拉斯維加斯美麗湖飯店前的噴泉是世界上最為杰出的代表之一，本文針對如何控制噴泉水柱的噴射情況做了深入研究。本文建立了拉斯維加斯美麗湖飯店噴泉噴射高度與水泵功率和噴頭之間關系的模型，在水注達到需求的高度的前提下，給出噴泉水泵功率與噴頭之間最適宜的搭配。并分析了噴頭，噴管設計對噴泉噴射的影響。針對問題a，為了精準的計算出如何讓水柱高度超過10m，我們對噴嘴半徑、水泵功率與水柱關系之間建立了模型。在建立模型的過程中，我們將噴射出的水柱理想化的化為了許多個截面積和噴頭相同的一個個球形水滴，然后對小水滴受力分析，列出小水滴的受力式，

2、再通過Matlab對其積分求出小水滴運動到與水柱高度相同的得到距離時所需的能量，從而求出水柱到達最高點需要的能量，在假設水泵的全部能量傳遞給水柱的情況下，通過水泵在單位時間所做的功等于從噴頭噴出的全部水滴的重力勢能和克服阻力所做的功關系式列出水泵功率與噴水嘴半徑以及噴射高度的關系模型，計算出噴射高度超過10米所需求的功率和噴頭要求，最后用Matlab做出關系式的圖形（如圖1）。對問題b，設計噴射高度為20，50，100米等噴射高度的水同樣運用問題a給出的關系方程得出功率與噴頭的最佳搭配，同時分析噴管和噴頭設計對水流動能的影響損耗的關系，從而建立能量損耗與噴管的長度、直徑的模型，并通過Matla

3、b作圖（如圖2）分析給出最佳設計意見。關鍵詞：水泵功率；噴頭半徑；運動分析；能量守恒；噴射高度1問題重述 拉斯維加斯 美麗湖飯店的音樂噴泉設計， a、如何讓水流噴射超過 10 米的高度； b、如何設計水泵的功率和噴頭實現(xiàn) 20 米， 50 米， 100 米等噴射高度的水流，并分、噴管的設計影響。2問題分析 隨著物質水平的提高，人們?nèi)找孀非缶裆系南硎?。而音樂噴泉作為一種為了娛樂而創(chuàng)造出來的可以活動美麗水景開始映入人們的眼球。該題旨在通過相關的建模計算來精準地控噴泉的噴射高度，使噴泉的美感得以淋漓盡致的表現(xiàn)出來。分析問題a： 問題a要求將噴射的水流的高度控制到10米以上。該問題可以根據(jù)能量守恒定

4、律求出一定時間內(nèi)水柱噴射10米的高度所需要的能量，同時需要通過網(wǎng)上查找和翻閱書籍了解拉斯維加斯當?shù)氐奶囟ōh(huán)境以判斷水流在空中運動時的能量損耗。再通過Maltlab對相應數(shù)據(jù)進行處理最后得出與噴射高度、噴水嘴半徑以及水泵頻率相關的模型，從而得出水流高度超高10米是需要滿足的條件。分析問題b: 問題b要求通過設計噴頭和水泵的頻率來精準地控制使水流高度達到20、50、100米，該問題可通過問題a中建立的模型分別求出水流噴射到相應高度時噴頭和水泵需要滿足的條件。同時問題需要分析噴頭和噴管的影響，可以根據(jù)流體力學建立噴頭和噴管對噴出水柱產(chǎn)生的影響的模型，結合問題a中模型得出噴頭和噴管的影響。3模型假設1

5、、 水滴是球形且在運動過程中形狀保持不變。2、 風的運動方向是水平，在豎直方向風速為0。3、 噴頭嘴為圓形，與水滴半徑相同，并且豎直向上。4、 水柱是連續(xù)的，且水柱最高點一定，豎直方向只受重力和空氣阻力。5、 水泵只給一個噴頭提供動力，并全部轉化為噴出水滴的動能。4符號說明P：水泵的功率；：水的密度；H：水流噴射的高度；r：噴嘴頭和水滴的半徑；c：空氣阻力系數(shù)；：空氣密度；：水滴任意時刻的速度；：噴嘴噴出水滴的速度；s:噴嘴的面積；m：每個水滴的質量；V:每個水滴的體積；：阻力做功；h：每個時刻水滴所在的高度相距最高點的距離；：常數(shù)；：水流動時在水管中損耗的能量；：水在水管截面的平均流速；L：

6、水管的長度；d：水管的截面直徑；：沿程阻力系數(shù)；：局部阻力系數(shù)。5模型的建立與求解5.1對問題a的求解5.1.1模型分析通過水景噴泉相關類書籍，了解到影響噴泉噴射高度的因素大致有管道、噴嘴半徑、空氣溫度、水池水位高度、空氣阻力、風速以及水泵頻率等因素。這些因素涉及到許多常數(shù)，其參考值見附表。根據(jù)題意我們對噴泉本身主要考慮噴嘴半徑、水泵頻率兩個因素。模型最終要列出噴嘴半徑、噴水頻率和水流噴射高度的關系是，由于涉及到頻率，所以可以應用能量守恒。先對水滴受力分析，再對其積分求出水滴到達最高點所需的能量，由此求出一定時間段水泵對噴出的水流所做的功，從而求出頻率、噴嘴半徑與水流高度的關系式。5.1.2模

7、型求解噴泉在噴射過程中，噴出的水滴在豎直方向上會受到空氣阻力和重力的影響根據(jù)牛頓第二定律可得出： 空氣阻力與型阻系數(shù)空氣密度、水滴的截面積和水滴的速度存在一定關系，但型阻系數(shù)一定，空氣密度由拉斯維加斯當?shù)氐沫h(huán)境決定，所以可認為水滴所受空氣阻力僅由水滴的速度和水滴截面積決定?？諝庾枇εc速度的關系 隨著水滴的上升，由于重力和空氣阻力的作用水滴的速度在不斷下降，從而加速度不恒定，取dv,dt,dh分別為水滴運動過程中的速度微元、時間微元和距離微元，則其加速度為： 由得出水滴在一定高度上高度和速度的線性微分方程 由matlab初步求得水滴所在高度和速度的關系式（c1為常數(shù)，b為） 求空氣阻力F與h之間

8、的關系，需要以含h的式子代替速度v,過程如下： 將帶入等式得： 已知在水滴運動過程中當水滴到達最高點時，水滴的速度為0，從而求解出常數(shù)c1,故當v=0，h=0有： 將帶入中，可得出中常數(shù)并得出水滴所在高度與速度的關系 已知當水滴在最低點時，速度最大，故當h=H時，則可得出水滴初速度v0與最高點H的關系式，過程如下： 將 帶入中可以得出空氣阻力與h的關系式： 取水滴與最高點的距離為dh微元作為研究對象，空氣阻力F與水滴距離最高點的距離dh的乘積對水滴由最高點到最低點求積分，即可初步建立起空氣阻力做功與水滴相距與最高點距離的數(shù)學模型。 單個水滴的體積 在單位時間內(nèi)噴頭噴出水柱的體積 單位時間內(nèi)通過

9、噴頭的水滴總個數(shù)為 根據(jù)能量守恒定律水泵在時間段t輸出的能量等于水柱的機械能和克服空氣阻力所做的功之和 將帶入得 將帶入即可得出水泵功率與噴頭半徑和水柱高度的關系式 已知水滴的截面積 水滴的質量 將兩式帶入得令，進行化簡計算可得 對上式轉換得到最終模型 由Matlab求得該模型的圖如下 圖1由圖1可知當水泵頻率增大,噴水嘴半徑減小時水流的噴射高度越高，且噴嘴半徑對水流噴射高度的影響更大。綜上所述，為了使水流噴射超過10m的高度，噴水嘴半徑和水泵噴射頻率需滿足如下關系式： 5.2對問題b的求解5.2.1模型分析 當水流高度分別為20，50，100時其水泵頻率與噴頭半徑的關系可以通過問題a中所建模

10、型求解。由于流體在流動過程中受到流動阻力產(chǎn)生能量損失，所以我們必須考慮管道對模型建立的影響。分析影響流動阻力的主要因素：水流的粘滯性和慣性、管道邊壁形狀及壁面的粗糙度的阻礙和擾動作用。因此分別將能量損失分為兩種：沿程損失h1和局部損失h2兩種形式。沿程損失為克服沿程阻力產(chǎn)生的能量損失，局部損失為克服局部阻力產(chǎn)生的能量損失。兩種損失分別與管長和局部管件有關。5.2.2模型的求解在問題a中得到模型（c1,c2,c3為常數(shù)） 由該模型可得當H=20時功率與噴頭半徑的關系為 當H=50時功率與噴頭半徑的關系為 當H=20時功率與噴頭半徑的關系為 從問題a中的圖1分析可得，水流高度隨著噴頭半徑的增大而減

11、小。由范寧公式可得沿程損失與水流速度的平方成正比，與管道直徑成反比，如下： 已知局部損失與與水流的速度的平方成正比；公式如下： 水流在管道中能量的損失為沿程損失與局部損失之和，故能量損失與管道設計之間的關系模型如下： Matlab對該模型所畫圖形如下： 圖2 由圖2知隨著水管長度的增加和水管直徑的減小，水流在水管中損耗的能量增多。 綜上所述：當水泵頻率與噴頭半徑分別滿足，時水流高度可達到20、50、100米；噴頭的半徑越小水流高度越高；當選擇的水管的沿程阻力系數(shù)和局部阻力系數(shù)越小，水管的長度越短，水管的直徑越小，水流在管道中損失的能量月少，則水柱噴射高度越高。6模型的評價與改進6.1模型的優(yōu)點

12、1、 模型將噴出的水流理想化為以小水滴的形式噴出，使噴射水流在運動時 能量的轉換過程顯得更加清晰，從而減小了與實際問題的誤差。2、 在計算水滴在空中受力時，以一階線性微分方程的算法求解，使模型更加的精準，對問題的適用性更強。3、 建模過程中考慮到了當?shù)靥厥庖蛩氐挠绊懀鼓Ｐ透泳哂锌尚行浴?6.2模型的缺點及改進1、 建立的模型沒有考慮風的影響而是假設豎直方向上沒有風速，為了完善模型應考慮當?shù)仫L速以及風向，根據(jù)風與水滴的相對速度，相對摩擦算出風對水滴速度的影響進而求出風對噴射高度的影響。2、 建立模型并沒考慮水泵的實際輸出功率小于額定功率的問題，致使最后存在誤差。為了完善模型應考慮在排除水泵在

13、運行時存在的熱量損失以及其他各方面的能量損失后，進行計算數(shù)據(jù)的步驟。3、 本模型的建立沒有考慮一個水泵對多個噴頭進行輸出能量的情況而只考慮了單對單的情況，如要進行一對多的操作需另行計算。4、 本模型假設前一個水滴對后一個水滴不造成影響，但實際由于受重力和空氣阻力的影響前一個水滴會對后一個水滴造成阻礙作用。對模型進行改進時需計算兩水滴之間的速度差，進而計算前一個水滴對后一個水滴的相對阻力之間的關系，分析對最終結果的影響。參考文獻附錄程序1：求解速度與距離之間的微分方程 clear>> syms a b m mg cps;syms h H;W=int('a*(exp(b/m*h

14、)-1)',h,0,H) W = (a*m*(exp(H*b)/m) - 1)/b - H*a >> f1=subs(W,'a',mg) f1 = (m*mg*(exp(H*b)/m) - 1)/b - H*mg >> subs(f1,'b',cps) ans = (m*mg*(exp(H*cps)/m) - 1)/cps - H*mg 程序2：空氣阻力做功的求解 clear>> syms a b m mg cps;syms h H;W=int('a*(exp(b/m*h)-1)',h,0,H) W =

15、 (a*m*(exp(H*b)/m) - 1)/b - H*a >> f1=subs(W,'a',mg) f1 = (m*mg*(exp(H*b)/m) - 1)/b - H*mg >> subs(f1,'b',cps) ans = (m*mg*(exp(H*cps)/m) - 1)/cps - H*mg程序3：對問題a中的模型作圖syms c1 c2 c3;r=0:50;h=0:0.02:1;R,H=meshgrid(r,h);c1=double(136.76);c2=double(0.225);c3=double(87.11);P=c

16、1*R.3.*(exp(c2*H./R)-1).*sqrt(c3*(exp(c2*H./R)-1);mesh(P,R,H)surf(P,R,H)shading interpxlabel('水泵功率P');ylabel('噴水嘴半徑R');zlabel('噴射高度H')程序4：對問題b中的模型作圖l=0:1:10;d=0:0.01:0.1;L,D=meshgrid(l,d);a=double(9.8);b=double(9);E=a*L./D+b;mesh(L,D,E)surf(L,D,E)grid onshading flatxlabel('水管的長度 m');ylabel('水管的直徑 m');zlabel('水流損耗的能量 J'); 水在不同溫度下的密度 局部損失系數(shù)表空氣密度表空氣密度表絕對壓力空氣溫度空氣密度絕對壓力空氣溫度空氣密度Mpa攝氏度Mpa攝氏度0.1251.26911.42