教學(xué)課題§3數(shù)列極限存在的條件

1、教學(xué)課題：數(shù)列極限存在的條件教學(xué)目的：1，使學(xué)生理解、掌握單調(diào)有界定理及其證明,能夠用它證明一些數(shù)列極限的存在性；2， 能夠運(yùn)用重要極限熟練求出一些類(lèi)似形式的極限；3， 能夠運(yùn)用柯西收斂準(zhǔn)則判斷一些數(shù)列極限的存在性。教學(xué)重點(diǎn)：柯西收斂準(zhǔn)則判斷教學(xué)過(guò)程：在研究比較復(fù)雜的數(shù)列極限問(wèn)題時(shí)，通常分兩步來(lái)解決：先判斷該數(shù)列是否有極限（極限的存在性問(wèn)題）；若有極限，再考慮如何計(jì)算些極限（極限值的計(jì)算問(wèn)題）。這是極限理論的兩基本問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，解決了數(shù)列極限的存在性問(wèn)題之后，即使極限值的計(jì)算較為困難，但由于當(dāng)充分大時(shí)，能充分接近其極限a，故可用作為a的近似值。本節(jié)將重點(diǎn)討論極限的存在性問(wèn)題。為了確定某個(gè)

2、數(shù)列是否有極限，當(dāng)然不可能將每一個(gè)實(shí)數(shù)依定義一一加以驗(yàn)證，根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來(lái)作出判斷。一、 單調(diào)數(shù)列定義若數(shù)列的各項(xiàng)滿足不等式，則稱(chēng)為遞增（遞減）數(shù)列。遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列例如：為遞減數(shù)列；、為遞增數(shù)列；不是單調(diào)數(shù)列。二、 單調(diào)有界定理定理2.9（單調(diào)有界定理）任何單調(diào)有界數(shù)列必收斂。注：從數(shù)軸上來(lái)看，單調(diào)遞增數(shù)列只可能向右移動(dòng)，故只有兩種可能：若無(wú)上界，則點(diǎn)沿?cái)?shù)軸正向移向無(wú)窮遠(yuǎn)；若有上界，則無(wú)限趨于某一個(gè)定點(diǎn)，即。證明：不妨設(shè)單調(diào)遞增有上界，把看作數(shù)集，根據(jù)確界原理，存在上確界，記，下證。事實(shí)上，根據(jù)上確界的定義，中存在某一項(xiàng)，使得.又遞增,故當(dāng)時(shí)有；另一方面，是的一

3、個(gè)上界，故，所以當(dāng)時(shí)有 ，即 證完。三、 應(yīng)用例設(shè)其中，證明數(shù)列收斂。例證明下列數(shù)列收斂，并求其極限：例3 設(shè)為有數(shù)集。證明：若，則存在嚴(yán)格遞增數(shù)列,使得.例4證明存在。證法一：先證明數(shù)列單調(diào)增加 比較與的展開(kāi)式，注意，并且多一項(xiàng)，由此下證有界 故存在。 證法二： 先證明：對(duì) 和正整數(shù)，有不等式 事實(shí)上， 該不等式又可變形為 ( 為正整數(shù) )在此不等式中, 取 則有 就有 .取 又有 對(duì)成立， 又由 故存在。說(shuō)明： 通常我們記此極限值為，即可以證明它是一個(gè)無(wú)理數(shù)。以為低的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)，記為 .例5 求 四、 柯西收斂準(zhǔn)則單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，下面給出在實(shí)數(shù)集中數(shù)列收斂的充分必

4、要條件柯西收斂準(zhǔn)則。 Cauchy收斂準(zhǔn)則：定理（auchy收斂準(zhǔn)則）數(shù)列收斂的充分必要條件是：對(duì)任給的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有。 說(shuō)明（） auchy收斂準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問(wèn)題。（） auchy收斂準(zhǔn)則的條件稱(chēng)為auchy條件，它反映這樣的事實(shí)：收斂數(shù)列各項(xiàng)的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值可以小于預(yù)先給定的任意小正數(shù)。或者，形象地說(shuō)，收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是“擠”在一起。（） auchy準(zhǔn)則把定義中與a的之差換成與之差。其好處在于無(wú)需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其（收）斂（發(fā)）散性。 應(yīng)用例6證明收斂。例7證明發(fā)散。五、