(完整版)數學分析(4)復習提綱(全部版)

1、數學分析（ 4）復習提綱第一部分實數理論§ 1實數的完備性公理一、實數的定義在集合 R 內定義加法運算和乘法運算，并定義順序關系，滿足下面三條公理，則稱R 為實數域或實數空間。（ 1）域公理：（ 2）全序公理：（ 3）連續(xù)性公理 （ Dedekind 分割原理）：設 R 的兩個子集 A ， A 滿足：1°A ,A 2°AAR3°xA,xAxx則或 A 中有最大元而A 中無最小元，或A 中無最大元而A 中有最小元。評注域公理和全序公理都是我們熟悉的，連續(xù)性公理也稱完備性公理有許多等價形式（比如確界原理），它是區(qū)別于有理數域的根本標志，它對實數的描述沒有借助

2、其它概念而非常易于接受，故大多數教科把它作為實數理論起步的公理。二、實數的連續(xù)性（完備性）公理實數的連續(xù)性（完備性公理）有許多等價形式，它們在使用起來方便程度不同，這些公理是本章學習的重點。主要有如下幾個公理：確界原理 ：單調有界定理：區(qū)間套定理 ：有限覆蓋定理：（ Heine-Borel ）1聚點定理 ： (Weierstrass)致密性定理 ： (Bolzano-Weierstrass)柯西收斂準則：(Cauchy)習題 1證明 Dedekind 分割原理與確界原理的等價性。習題 2用區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理。習題 3用有限覆蓋定理證明聚點定理。評注以上定理哪些能夠推廣到歐氏空間Rn ？

3、如何敘述？§ 2閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質有界性定理 ：上冊 P168；下冊 P102,Th16.8 ；下冊 P312,Th23.4最值定理 ：上冊 P169；下冊下冊P102,Th16.8介值定理與零點存在定理：上冊 P169；下冊 P103,Th16.10一致連續(xù)性定理（Cantor 定理）：上冊 P171；下冊 P103,Th16.9 ；下冊 P312,Th23.7習題 4用有限覆蓋定理證明有界性定理習題 5用致密性定理證明一致連續(xù)性定理§ 3數列的上 (下 )極限三種等價定義：（ 1）確界定義；（ 2）聚點定義；（ 3）N 定義評注確界定義易于理解；聚點定義易于計算；N

4、 定義易于理論證明習題 6用區(qū)間套定理證明有界數列最大（?。┚埸c的存在性。（ P173）習題 7證明上面三種定義的等價性。第二部分級數理論§ 1數項級數前言 級數理論是極限理論的直接延伸， 但又有自身獨特的問題、 特點和研究方法。 上（下）極限是研究級數的一個有力工具。 對于數項級數， 可看作有限個數求和的推廣， 自然要考慮如何定義其和， 兩個級數的和與積， 結合律、 交換律是否還成立等問題。級數的收斂性與無2窮積分有著極大的相似性，學習時要注意二者的比較。一、 Cauchy收斂準則unu1u2n 1幾個概念部分和？收斂？發(fā)散？絕對收斂？條件收斂？收斂的必要條件un收斂un0n1評注

5、此結論由 unSnSn1 兩邊取極限即得證，也可由下面的Cauchy 收斂準則得到。要注意此性質與無窮積分有較大差別。對于收斂的無窮積分af ( x)dx 即使 f (x)0也不能推出 f ( x) 0( x) （參見反常積分）Cauchy 收斂準則un 收斂0,N , nN , p, 有n 1Sn pSnun 1un 2un p思考正面敘述級數發(fā)散的 Cauchy 準則。加括號對于收斂的級數可以任意加括號，新的級數仍收斂且其和不變。 也就是說收斂的級數滿足結合律。評注只要認識到加括號后級數的部分和是原級數部分和的子列即可得到這一結論。我們常常利用這一點證明一個級數的發(fā)散性，即先證明加括號的發(fā)

6、散，從而推出原級數 （去括號的）也發(fā)散。二、正項級數正項級數的特點是部分和數列是單調遞增的，由此得：基本結論正項級數收斂其部分和有上界。比較判別法 ：比較判別法的極限形式：評注對于比較判別法，主要考慮n 充分大以后（nn0 ） u n 與 vn 的大小關系，因此極限3形式更方便。如果 lim unl (0 l) ，要認識到，當n 充分大時， un 與 vn 是“等價”vn的，即大小“差不多” ，確切地說當 n n0時，存在正常數c1 和 c2 使 c1 vnun c2vn ，由此 c1 unvnc2 un 。如果 l0 或，它們的“大小”關系如何？n根式判別法設 limunl ，當 l1時，u

7、 n 收斂；當 l1 時，un 發(fā)散。比式判別法lim un1q1，則un收斂；u nlim un1q1，則un發(fā)散。un習題 1證明上面根式判別法習題 2證明 lim un1lim nunlim n unlim un 1 （ un0 ）unun推論： limun1llim n unlun評注由習題 2 知，用比式判別法能判別的，用根式判別法一定能判別，但反之不然。也就是說根式判別法比比式判別法更有效。換言之， 凡根式法無能為力時，比式法一定也無能為力。但是，它們在判別發(fā)散時， 卻沒有誰比誰有優(yōu)勢可言，都是用一般項不趨于零來推斷的。這一點要特別注意，我們在討論冪級數的收斂半徑時就要用到此結論。

8、習題 3考慮級數 111111，說明根式法比比式法更有效。2322322333評注無論是比式判別法還是根式判別法，其實質都與等比級數cqn 比較的，對于 p級數1 必然失效。（這種級數的通項比等比級數的通項收斂于零的速度要慢）。如果與pn p級數比較還可以得到更細致的一些判別法，拉貝判別法就是其中之一。積分判別法：拉貝判別法的極限形式：習題 4( 2n 1)!1P17，11（1） 用拉貝法判別級數的收斂性，并說明比式法與(2n)!2n 1根式法都無效。4三、一般項級數評注對一般項級數un （有無窮多個正項，且有無窮多個負項），一般首先要考慮絕對收斂性（即un 是否收斂），如果是絕對收斂，當然原

9、級也收斂，如果是用根式或比式判別法得到un 發(fā)散，則un 必發(fā)散（這在前面的評注中已經說過了）。Leibniz 判別法 ：Able 引理 ： uk ,vk ， k1,2, n 是兩數組， uk 單調，kv1vk ，則nAuk vkA( u12 un ) ，其中kk1對于形如an bn 的級數，設an 單調，把 Able 引理用于npak bk2M ( an 12an p )kn 1其中 M 滿足： Sn(b )nnpSn(b)pSn(b )bkMbk2Mk 1kn 1再結合 Cauchy 準則，附加適當的條件使2M ( an 12an p ) 能充分小，便可得到Able 和Dirichlet判

10、別法D 判別法 ：（ 1） an單調；（ 2） an0；（ 3）bn 有界，則an bn 收斂。A 判別法 ：（ 1） an單調；（ 2） an 有界；（ 3）bn收斂，則anbn 收斂。評注 記住 A 和 D 判別法的關鍵是記住Able 引理。這兩個判別法在函數項級數以及反常積分中還有不同的表現。習題 5用 D 判別法直接證明Leibniz 判別法和Able 判別法。習題 6討論級數11111（R ）的收斂性。13456021提示：分，01，1情況討論。，答案：1時，收斂，其它發(fā)散。習題 7xn111利用級數收斂性，證明數列2ln n的極限存在。（注：此極限稱n為 Euler 常數0.577

11、216）5提示：把 xn 看成某數列的部分和。即a1x1 ， anxnxn 1 (n2,3,) ，等價地要證明an收斂， an11111111nln(1)2n2o(2 )2n2o(2 )nnnnn四、絕對收斂與條件收斂級數的性質重排定理 ：設un 絕對收斂， 其和為 S ，則任意重排后得到的新級數也絕對收斂且其和不變。Riemann 定理 ：設un 條件收斂，又，則一定存在un 的重排級數u n ，使其部分和Sn 滿足： lim Sn， lim Sn。也就是說一個條件收斂的級數，適當重排后可收斂到任意指定的數，也可按任意指定的方式發(fā)散。柯西定理 ：設un 和vn 都絕對收斂，unA ，vnB

12、，則對所有乘積項ui v j 按任意順序排列得到的新級數也絕對收斂且其和等于AB 。評注兩個級數的乘積最常用的是對角線排列，即cnu0vnu1 vn 1unv0cn 也稱u n 和vn 的柯西乘積。§ 2函數項級數前言函數列是數列的推廣，由函數列的收斂又可定義函數項級數的收斂。數列的極限 （或數項級數的和） 定義了一個數，而函數列的極限函數（或函數項級數的和函數）就定義了一個函數，這樣定義的函數往往不是初等函數。我們關心的是極限函數（或和函數）的分析性質（連續(xù)性、可微性、可積性）能否保留下來，實質是運算次序是否可交換的問題。一、函數列（函數項級數）的一致收斂幾個概念對于函數列：逐點收

13、斂（也稱點態(tài)收斂）？收斂域？極限函數？一致收斂？對于函數項級數如何敘述以上概念？評注逐點收斂是局部性質，完全就是數列的收斂問題。而一致收斂是整體性質，是我們研究的重點。6思考正面敘述不一致收斂。用范數定義一致收斂記fsup f ( x) （稱為f 的一致范數或無窮大范數），x D如果f nfsup f n ( x)f ( x)0(n0) ，則稱 f n ( x) 在 D 上一致收斂于f ( x) 。xD評注fg就是兩個函數的距離。定義的等價性是顯然的（見P29， Th13.2 ）。這個定義往往使用起來更方便（參見P30，例 3）。二、函數項級數一致收斂的判別法Cauchy 準則 ：必要條件 ：

14、u n (x) 一致收斂un ( x)0 （一致）M 判別法（控制收斂判別法） ：Able 與 Dirichlet判別法 ：習題 8設 un ( x)C a, b, (n1,2,) ，un (x) 在 (a,b) 上一致收斂，證明：（1）un (a),un (b) 收斂（2）un (x) 在 a, b 上一致收斂。提示：用 Cauchy 準則。評注 第一結論的逆否命題是判別不一致收斂的一個常用結論。即設un (x) C a,b ，而u n (a) 發(fā)散，則un (x) 在 (a, a) 必不一致收斂。習題 9判別下面級數的一致收斂性（1）ln(1xa) ， xn2n ln 2 n（2）sin

15、x sin nx ， 0xn1nx（3）x(xn)n， x0,1n1n2n提示：（ 1）考慮用 M 判別法（ 2）考慮用 D 判別法（ 3）考慮用 A 判別法習題 10（參見P34，例7）若數列an單調趨于零，證明級數an cosnx 在 (0,2) 內7閉一致收斂，舉列說明在(0,2 ) 不一致收斂。提示：前半部分即書上例題，后半部分例如取an118 的結論。，對cosnx 應用習題nn三、一致收斂函數列（函數項級數）的性質連續(xù)性（逐項求極限） ：可積性（逐項求積） ：可微性（逐項求導） ：評注容易舉例說明沒有一致收斂的保證，上述三個性質都不能保證。同時，又可舉例說明，上述所附加的條件只是充

16、分條件而非必要條件。 要記清楚每個定理的條件尤其是可微性的條件。習題 11證明 f (x)( x1) n 在 (1,1) 連續(xù)。n 1n提示：該級數在( 1,1) 并不是一致收斂（為什么？），不能直接用連續(xù)性定理。但可以證明在 ( 1,1) 上是內閉一致收斂的，這對連續(xù)性就夠了。評注 連續(xù)性與可微性都是對點而言的， 在應用這兩個定理時， 不必要求在整個區(qū)間上一致收斂，只要內閉一致收斂就夠了。習題 12設函數項級數ne nx , x(0,)n 1（ 1）證明此級數在 (0, ) 收斂但不一致收斂。（ 2）求此級數的和函數提示：（ 1）對于不一致可用習題 8 的結論，也可證明通項不一致趨于零。建議

17、兩種方法都試一試。（ 2）證明內閉一致收斂，再用逐項微分法。習題 13 求證（1）xnsin t d tx sin td t (0 x1)t1 tn 000（2）x t n sin t dt 在 x 0,1上一致收斂n 0081tnsin t d t1 sin （3）0tdt0tn 0提示：上述3 條結論后者要借用前者，每上步的依據一定要說清楚。評注該題啟示我們： 如果在閉區(qū)間能直接用逐項積分當然更好，否則先縮小區(qū)間在小區(qū)間上用，然后再利用連續(xù)性把結論擴大到整個區(qū)間上。§3冪級數前言冪級數是最簡單同時又有很大應用性的級數，不僅在數學分析而且在復變函數論中有重要應用。學習的重點是求收斂

18、半徑和收斂域；求和函數；冪級數展開。一、收斂半徑考慮an xn1（R可以是 0和）Cauchy-Hadamard 定理 Rlim nan則上面冪級數在xR 絕對收斂，在xR 發(fā)散。幾個概念收斂半徑？收斂區(qū)間？收斂域？習題 14證明 Cauchy-Hadamard 定理。二、冪級數的性質內閉一致斂性 冪級數在其收斂域上內閉一致收斂。也就是說在收斂區(qū)間上內閉一致收斂，如果級數在端點的收斂，則內閉區(qū)間可擴大到端點。與分析運算可交換性 和函數在收域內連續(xù)； 在收斂區(qū)間可逐項積分與逐項求導， 而且逐項積分與逐項求導后的級數其收斂半徑不變。習題 15 （P51， 3）證明：設f (x)an xn 在 xR

19、 內收斂，若anR n 1 也收斂，n 1Rf (x) d xan R n 1則0n 1評注這是一個很有用的結論，冪級數通過逐項積分后其收斂域可能擴大到端點。注意這里9不要求an xn 在 xR 收斂。例如 f ( x)11x x2x3， x 1 。在 x 11x是發(fā)散的，但逐項積分后x 2x3在 x1是收斂的，由該結論x32ln(1 x)x 2x3， x( 1,1 ，從而 ln 211x31322習題 16求冪級數的收斂域。x n2（1）2n （ P51， 1（ 8）（2）3 ( 1) n n ( x1) n （ P51， 7（ 1）有所改動）n 1n答案：（ 1） 1,1 ；（ 2） (3

20、 , 5)4 4三、冪級數展開常用的冪數展開1？ ln(1x)？ arctan x？ ex？ sin x？ cos x？ (1 x)？1 x歐拉公式eixcos xi sin x習題 17求 f ( x)arctan2x 2在 x0的冪級數展開21x提示：f ( x)1x2習題 18（ 1）求 ln 2 (1x) 在 x0 的冪級數展開（2）求( 1)n 1(111)的和n 1n12n提示：（ 1）考慮級數的柯西乘積。（ 2）利用（ 1）的結論。答案：（ 1） 2x 2( 1)n 1(111 ) x n 1 , x1；（ 2） ln 2 2n 1n 12n210第三部分反常積分§ 1

21、(不含參量的 )反常積分前言 ：Riemann 積分的定義要求積分區(qū)間有限，被積函數有界，如果這兩有一條不滿足，則稱為反常積分。 不含參量的反常積分大部分內容已經學過， 這里再復習一下， 它也是含參量反常積分的基礎。一、無窮積分定義f (x) 在 a,) 有定義，對ua ， f 在 a, u 可積defaf ( x) d xbdeff ( x) d xdef類似地，f ( x) d xf (x) d xlimux評注f (x) d x 。例如2d x按兩種定義結果如何？uu1 x絕對收斂與條件收斂如果對 ua， f 在 a, u 可積，且f (x) d x 收斂，稱為絕對a收斂；如果f (x)

22、 d x 收斂，而f ( x) d x 不收斂，稱為條件收斂。aa評注積分絕對收斂的定義與級數絕對收斂的定義有點不同。對于級數，un 收斂就稱絕對收斂，而對于積分一定要有“對ua ， f 在 a,u 可積”這個條件。否則絕對收斂2uf ( x)1/ x, xQ ，f d x 收斂，但自身不一定收斂，例如：f d x 不存在。1/ x2, xQ11以后“對u a ， f在 a,u 可積”這個條件作為默認，不再明確指出。審斂法1柯西準則2絕對收斂與條件的關系3比較判別法及其極限形式4柯西判別法及其極限形式5 Able 與 Dirichlet判別法11評注比較判別法只適于判別正值函數或絕對收斂，而柯

23、西判別法是與p積分比較而得到的比較判別法。A, D 判別法是借助于積分第二中值定理證明的，而積分第二中值定理我們作為已知結論。對于A, D 判別法要理解其證明的思想以例把它平移到含參量的一致收性判別，再與級數的這兩個方法比較，它們的本質是差不多的。常用結論 （它們收斂情況如何？）1 p( a 0)d xd x積分ap ， (a 1)ax(ln x)px2cosax d x ，sin ax d x1xp1xp3sin x 2 d x ，cos x 2 d x ，xsin x 4 d x111二、瑕積分請對照無窮積分寫出有關定義的結論評注瑕積分都可轉化為無窮積分習題 1舉例說明：在 a,) 上的連

24、續(xù)函數 f ( x)0 或 f ( x)0 ，f (x) d x 收斂，a但 limf (x)0x習題 2（上冊 P276， 9） f在 a,) 上一致連續(xù)，af ( x) d x 收斂，則 lim f (x) 0x習題 3（上冊P274，例 3）討論cosaxd x ，sin ax0 ）的收斂性1xpxpd x （ p1sin xarctan x d x( p習題 4討論0) 的收斂性1xp提示利用上題結論。答案p1時絕對收斂； 0p1時條件收斂習題 5x s 1 e x ln xt討論d x 的收斂性0答案s 0, t1時收斂，其它發(fā)散( p, q)11 (1x) q 1 d x 的收斂性

25、習題 6討論x p012§ 2含參量反常積分說明主要以無窮積分為主進行討論一、一致收斂定義Cauchy 準則M- 判別法Able 與 Dirichlet判別法習題 7（P189， 1（3）習題 8（P180，例 1）習題 9（P183，例 3）習題 10（P183，例 4）二、含參量反常積分的性質連續(xù)性可積性可微性習題 11（P189， 2）習題 12（P189， 3）習題 13（P189， 4（ 1）（ 2）（3）三、歐拉積分習題 14證明歐拉積分（兩個）在其定義域上內閉一致收斂習題 15計算下面各題（1）dx；（ 2）tan xdx ；（ 3）x2 n exdx1/ 2201 x

26、1/ 40013第四部分向量函數§ 1歐氏空間 Rn一、歐氏空間Rn線性空間 ：Rn 首先作為線性空間 （向量空間） 有如下概念： 線性表示 （組合），線性相關（線性無關），子空間，基，維數等概念。歐氏空間 ： Rn 作為歐氏空間有如下概念：內積，正交，范數，距離等概念。注意我們都是使用約定的內積，范數，距離。當然還要了解公理化定義的這三個概念。比如，TT( x, x) Ax Ax （ A 是對稱正定矩陣）也是一種內積，而x Ax Ax 就這個內積導出的范數。二、點集拓撲有了距離的概念可導出Rn 上的拓撲。搞清下列概念：鄰域：內點、外點、邊界點： （內部，邊界）聚點、孤立點、外點：開

27、集、閉集：S 開SC 閉（ P93，9）區(qū)域：有界集、無界集： （直徑）習題 1（P92， 3）習題 2（P313， 2）三、完備性點列的極限 ： x (k )(x1(k ) , x2(k) , xn(k)TR n ，如果 xi( k)xi (k) ， i1,2, , n ，則稱 x( k) 的極限是 x(x1, x2 , xn ) T，14lim x( k)xlimx( k)x 0kkCauchy 準則 ： x (k ) 收斂0,K ,kK ,p ，有( x (k p) , x(k ) )x(k p )x( k)聚點定理 ：有限覆蓋定理：§ 2向量函數一、線性映射（函數）映射 ：單

28、射，滿射，一一對應，逆映射，復合映射等。它們是如何定義的？線性映射 ：（定義是什么？）RnR m 的線性映射全體記為 L( R n , R m ) ，而 R nR n 的線性映射又稱線性變換，其全體記為 L(R n ) 。在 L(R n , R m ) 中，可定義線性映射的加法、數乘（如何定義的？），使得L( R n , R m ) 又成為一個線性空間，還可定義乘法即復合線性映射（如何定義的？）。線性映射的表示矩陣 ：在選定 Rn 與 Rm的基之后， L( R n , Rm ) 就與 Rm n 建立了一一對應關系。設 A L( Rn , R m ) 與之對應的矩陣A 就稱為線性映射 A 的表示

29、矩陣。當都選定自然基時， A(x )Ax 。在這種約定下，線性映射也說成一個矩陣，以后不再寫粗體，要注意區(qū)分。算子范數 ：線性映射也稱為算子，在L (Rn , Rm ) 中定義算子范數如下：A maxAxmax Axxx 0x 1可以證明這樣定義的算子范數滿足：（1）A0且A0A0（ 2）（ 3）kAkA , kRABAB ， A, BL(R n , R m )15（4） BAB A ， AL (Rn , R m ), BL(R m , Rr )上面算子范數也可看成矩陣范數。有了范數，L( R n , R m ) 就成為線性賦范空間。二、連續(xù)函數（映射）連續(xù)和一致連續(xù)的定義：有界閉集上連續(xù)函數的性質： P312，Th23.4.5.6習題 3設 f ( x) 是 Rn 上的實值連續(xù)函數，并滿足：（1） x 0, f (x)0；（ 2） x,c0, f (cx) cf (x) ，證明 c1 ,c20使 c1 xf ( x) c2 x提示：單位球面 Dx Rn | x1 是有界閉集（為什么？） ， f 在 D 取到最大值與最小值，記為 c2 和 c1 。評注由該題知， Rn 中所有范數（滿足三條范數公理）都是等價的。即設x與 x 是兩種范數，則c1 , c20使 c1xxc2 x 。例如對 x AxT Ax 與 xxT x（這一結論在討論極值時要用到）。這一結論可