在選修4-5不等式選講中起重要作用的數(shù)學(xué)思想的分析

1、在選修4-5不等式選講中起重要作用的數(shù)學(xué)思想的分析a) 恒等關(guān)系是義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種基本的關(guān)系。在義務(wù)教育的學(xué)習(xí)過程中，有哪些恒等關(guān)系是重要的？是需要學(xué)生掌握的？決定這些恒等關(guān)系的基本數(shù)學(xué)思想是什么？這些數(shù)學(xué)思想是怎么發(fā)揮作用的？ b) 在義務(wù)教育階段也引入了事物之間的不等關(guān)系，同時也引出了一些重要的不等關(guān)系，例如，實數(shù)中的不等關(guān)系。我們還引出了一些不等關(guān)系的性質(zhì)，例如，a>b>0,b>c>0就可以得出，a>c。建議同學(xué)們梳理一下在義務(wù)教育階段所學(xué)的不等關(guān)系，體會不等關(guān)系與恒等關(guān)系的區(qū)別。 c) 在高中的必修5，我們設(shè)置了不等式的內(nèi)容。它大體上由四部分內(nèi)容組

2、成。我們同學(xué)們梳理復(fù)習(xí)這四部分內(nèi)容。 第一部分是，一些基本不等式的性質(zhì)，例如，a>b,c>0得出，ac>bc等。 第二部分是，在學(xué)會解一元一次不等式的基礎(chǔ)上，引入了一元二次不等式。 第三部分是，介紹了我們一個經(jīng)常使用的不等式， 這個重要的不等式有許多不同的呈現(xiàn)形式，值得一提的是，它還有很多重要的幾何形式。 第四部分是，簡單的線性規(guī)劃問題。解決線性規(guī)劃問題是按照以下基本步驟實現(xiàn)的： 1）確定目標(biāo)函數(shù) 2）確定目標(biāo)函數(shù)的約束條件，即討論這個目標(biāo)函數(shù)的可行區(qū)域。利用不等式刻畫目標(biāo)函數(shù)的約束條件。 3）觀察目標(biāo)函數(shù)在可行區(qū)域內(nèi)的變化趨勢。 4）確定使得目標(biāo)函數(shù)達到最大或最小值的解。

3、同學(xué)們應(yīng)該思考的是，在討論這些不等式的過程中什么思想發(fā)揮了作用。 d) 在我們上面分析的這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，我們可以體會到由運算思想所體現(xiàn)的恒等變換的能力。這種能力在研究不等式中發(fā)揮了重要的作用。建議同學(xué)們在教師的幫助下更好的發(fā)揮這種能力。 e) 由運算思想所體現(xiàn)的恒等變換的能力，是一種重要的邏輯推理的能力。在本專題中，提高這種能力是本專題的基本定位。建議教師思考在本專題中，如何體現(xiàn)這樣一個基本定位。 f) 我們知道基本不等式，a2+b22ab,它有著重要的幾何背景。如圖所示： 令A(yù)F=a,BF=b,則AB2=a2+b2,而S正方形ABCD4SABF 即，所以，a2+b22ab， 當(dāng)AF=BF時

4、，正方形EFGH縮為一點，S正方形ABCD=44SABF 實際上每一個好的不等式都有重要的數(shù)學(xué)背景，特別是重要的幾何背景。 教師應(yīng)思考這樣的問題，如何引導(dǎo)學(xué)生體會和認(rèn)識不等式的幾何背景，以及這些幾何背景在證明不等式的過程中發(fā)揮的幾何意義？ g) 本專題我們主要介紹以下內(nèi)容 （1）不等式的基本性質(zhì)和基本不等式； （2）絕對值不等式及其幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明和求解一些絕對值不等式； （3）認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式及其幾何意義，用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況； （4）用向量遞歸方法討論排序不等式； （5）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題； （6）會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式； （7）會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值； （8）通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。 教師應(yīng)該思考，如何讓學(xué)生構(gòu)架起本專題的知識結(jié)構(gòu)。 教師還應(yīng)該思考，如何幫助學(xué)生總結(jié)、概括高中階段有關(guān)不等關(guān)系的內(nèi)容，并能寫出一個好的讀書報告與學(xué)生進行交流，總結(jié)在不等