韋達定理地應用與提高自招題集

1、應用題例題 .1 、某商場銷售一批襯衫，平均每天可出售 30 件，每件賺 50 元，為擴大銷售，加盈利，盡量減少庫存， 商場決定降價， 如果每件降 1 元，商場平均每天可多賣 2 件，若商場平均每天要賺 2100 元，問襯衫降價多少元2. 某化工材料經(jīng)售公司購進了一種化工原料 , 進貨價格為每千克 30 元. 物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克 70 元 , 也不得低于 30 元. 市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價每千克 70 元時日均銷售 60kg；單價每千克降低一元 , 日均多售 2kg。在銷售過程中 , 每天還要支出其他費用 500 元（天數(shù)不足一天時 , 按一天計算） . 如果日均獲利 1950

2、元 , 求銷售單價3. 某服裝廠生產(chǎn)一批西服，原來每件的成本價是 500 元，銷售價為 625 元，經(jīng)市場預測，該產(chǎn)品銷售價第一個月將降低 20%，第二個月比第一個月提高 6%，為了使兩個月后的銷售利潤達到原來水平，該產(chǎn)品的成本價平均每月應降低百分之幾？根的判別式1、（2017? 和平區(qū)校級模擬）一元二次方程ax2+bx+c=0 中，若 a 0， b 0， c 0，則這個方程根的情況是（）A有兩個正根B有兩個負根C有一正根一負根且正根絕對值大D有一正根一負根且負根絕對值大【分析】 根據(jù)根的判別式 =b24ac 的符號，就可判斷出一元二次方程的根的情況；由根與系數(shù)的關系可以判定兩根的正負情況【解

3、答】 解： a 0，b0，c0，1 =b2 4ac0， 0，0，2一元二次方程ax +bx+c=0 有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根異號，正根的絕對值較大【點評】 此題考查了根的判別式；一元二次方程根的情況與判別式的關系： （1） 0? 方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2） =0? 方程有兩個相等的實數(shù)根； （3） 0? 方程沒有實數(shù)根一元二次方程的根與系數(shù)的關系（韋達定理）知識點及應用解析1、定義： 若 x1， x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a 0) 的兩個根，則有x1 + x 2 = -b ，c 。對于二次項系數(shù)為 1ax1· x2 =的一元二次方程 x2+px+q=0，則

4、有 x1+ x 2 =-p ， x1·x2 =qa2、應用的前提條件：根的判別式0方程有實數(shù)根。3、若一個方程的兩個為x1， x2 ，那么這個一元二次方程為ax 2+(x 1+x2)x+ x 1·x2=0(a0)4、根與系數(shù)的關系求值常用的轉(zhuǎn)化關系：222= x1+x2 =(x 1+x 2) -2x 1x22b22ac- b2c=a 2aa11x1 x2bx1x2x1 x2c(x 1+a)(x 2+a)= x 1x2 +a(x 1+x2) +a 2 = c -b +a 2a2(x 1-x 2) 2 =(x 1+x2) 2-4x 1x2 = b - 4aca 25、方法歸納：

5、（ 1）一元二次方程的根與系數(shù)的關系的運用條件條件為一元二次方程，即a 0，且必須有實數(shù)根，即 0；（ 2）運用一元二次方程的根與系數(shù)的關系時，一元二次方程應化為一般形式，若系數(shù)中含字母要注意分類討論；（ 3）一元二次方程的根與系數(shù)的關系有時與一元二次方程根的定義綜合運用，注意觀察所求代數(shù)式是特點。（ 4）解題思路：將含有根的代數(shù)式變形成含有兩根和與兩根積的式子，再通過韋達定理轉(zhuǎn)化成關于系數(shù)的式子，同時要注意參量的值要滿足根的實際意義。6、一元二次方程的根與系數(shù)的關系的應用：（ 1）不解方程，判別一元二次方程兩根的符號。（判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關系”結合起來進行確定，

6、判別式判定根的存在與否，若 0，所以可判定方程的根為一正一負；倘若 0，仍需考慮的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。）例：不解方程，判別方程兩根的符號。2解： ，4×2×( 7) 650方程有兩個不相等的實數(shù)根。設方程的兩個根為， 0原方程有兩個異號的實數(shù)根。（ 2）已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數(shù)的值。（3）運用判別式及根與系數(shù)的關系解題。例：已知、是關于的一元二次方程的兩個非零實數(shù)根， 問和能否同號？若能同號，請求出相應的的取值范圍；若不能同號，請說明理由，解：因為關于的一元二次方程有兩個非零實數(shù)根則有又、是方程的兩個實數(shù)根，所以由一元二次方程

7、根與系數(shù)的關系，可得：假設、同號，則有兩種可能：（1）（2）若，則有：；即有：3解這個不等式組，得時方程才有實樹根，此種情況不成立。若， 則有：即有：解這個不等式組，得；又，當時，兩根能同號練習： 1 設一元二次方程的根分別滿足下列條件，試求實數(shù)a 的范圍。二根均大于1；一根大于1，另一根小于1。2（2013 秋? 沙灣區(qū)期末）關于x 的方程 x2+2（k+2）x+k2=0 的兩實根之和大于 4，則 k 的取值范圍是（）Ak 1Bk0C 1k0D 1 k 03（2015? 南充）關于 x 的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關于y 的一元二次方程 y2+2ny+2m=0

8、同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結論：這兩個方程的根都負根；（ m1）2+（n1）2 2； 12m2n 1，其中正確結論的個數(shù)是（）A0 個 B1 個 C2 個 D3 個(4) 運用根與系數(shù)的關系求代數(shù)式的值例 : 已知一元二次方程2x2-3x+1=0 的兩個根分別為x1，x2，求（ x1-x 2） 2 的值解：由題意及韋達定理得：x1+x2= - （ -3 ） = 3 ， x1x2 =1222 (x -x )2=(x2x3211+x ) -4x= （） -4×=1212122244（ x1-x 2）2 的值是 14(5) 運用根與系數(shù)的關系解決幾何問題例：在 ABC中，若 C

9、=90°，AB=5，AC、BC的長是關于 x 的一元二次方程 x2-(2k+3)x+k 2+3k+2=0 的兩個實數(shù)根，求 k 的值和 ABC的面積22解： AC+BC=25 (AC+BC)2-2AC· BC=252 AC+BC=2K+3,AC· BC=K+3K+2 (2K+3) 2-2(K 2+3K+2)=252整理，得k +3k-10=0 AC+BC=2K+3 0 k -1.5, k=2S ABC = 1 AC· BC=1 (K 2+3K+2)=622【要點講解】1求代數(shù)式的值應用韋達定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值。 例 1

10、若 a， b 為實數(shù)，且，求的值。思路注意 a， b 為方程的二實根；（隱含）。解 （ 1）當 a=b 時，；（2）當時，由已知及根的定義可知，a， b 分別是方程的兩根，由韋達定理得， ab=1.說明此題易漏解a=b 的情況。 例 2 若，且，試求代數(shù)式的值。思路此例可用上例中說明部分的遞推式來求解，也可以借助于代數(shù)變形來完成。解：因為，由根的定義知m， n 為方程的二不等實根，再由韋達定理，得，5練習：（ 2017? 黔東南州二模）設 a，b 是方程 x2+x2017=0 的兩個實數(shù)根，則 a2+2a+b 的值為（）A2014B2015C2016D20172構造一元二次方程如果我們知道問題

11、中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達定理構造以這兩個字母為根的一元二次方程。 例 3 設一元二次方程的二實根為和。（1）試求以和為根的一元二次方程；（2）若以和為根的一元二次方程仍為。求所有這樣的一元二次方程。解 （ 1）由韋達定理知，。，。所以，所求方程為。（2）由已知條件可得解之可得由得，分別討論（p,q ） =(0,0) ， (1,0)， (1 ,0) ， (0,1)， (2,1)，(2 ,1) 或 (0,1 ) 。于是，得以下七個方程，22x 1 0 ，2，x1 0x其中 x 21 0 無實數(shù)根，舍去。其余六個方程均為所求。3證明等式或不等式根據(jù)韋達定理（或逆定理）及判別式，可以證明某

12、些恒等式或不等式。 例 4 已知 a， b， c 為實數(shù)，且滿足條件：，求證 a=b。證明 由已知得，。6根據(jù)韋達定理的逆定理知，以a， b 為根的關于x 的實系數(shù)一元二次方程為由 a， b 為實數(shù)知此方程有實根。 c 20 ，故 c=0，從而。這表明有兩個相等實根，即有a=b。說明由“不等導出相等”是一種獨特的解題技巧。另外在求得c=0 后，由恒等式可得，即 a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。5求參數(shù)的值與解方程韋達定理及其逆定理在確定參數(shù)取值及解方程（組）中也有著許多巧妙的應用。例6 解方程。解：原方程可變形為。令，。則,。由韋達定理逆定理知，以a，b 為根的一元二次方程是

13、。解得，。即 a=8 或 a=9?；蛲ㄟ^求解 x 結果相同，且嚴謹。，（舍去）。解之得，。此種方法應檢驗：是或否成立強化訓練A 級 1. 若 k 為正整數(shù)，且方程有兩個不等的正整數(shù)根，則k 的值為_ 。 2. 若，則_ 。7 3 . 已知和是方程的二實根，則_。 4. 已知方程（ m為整數(shù)）有兩個不等的正整數(shù)根，求m的值。級 5. 已知：和為方程及方程的實根，其中n 為正奇數(shù)，且。求證：，是方程的實根。 6. 已知關于x 的方程的二實根和滿足，試求 k 的值。參考答案1 2提示：原方程即，所以，由知 k=1， 2， 3， 5， 11；由知 k=2， 3， 4， 7。所以 k=2， 3，但 k=

14、3 時原方程有二相等正整數(shù)根，不合題意。故k=2。2提示：由x， y 為方程的二根，知，。于。3 21提示：由，知，4設二個不等的正整數(shù)根為，由韋達定理，有消去 m，得。即。則且。8，。故。5由韋達定理有，。又，。二式相減得。，。將代入有。從而，同理和是方程的根。6當時，可知1，所以 14k 3 12k 2 ，當時，易證得。從而，為方程的二不同實根。，。于是，。當時，方程為。解得或取，即能符合題意，故k 的值為 。2的兩個實數(shù)根，則2）練習： 1、設 a、b 是方程 x +x 2014=0a +2a+b的值為（A2014B2015C2012D201392（2012? 德清縣自主招生）如果方程（

15、x 1）（x22x+） =0 的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k 的取值范圍是3已知 a+b=3，ab=7，則代數(shù)式 2a2+b2+3b 的值為4（2015? 黃岡中學自主招生）已知實數(shù)ab，且滿足（ a+1）2 =33（a+1），3（ b+1）=3（ b+1）2則的值為5（2013? 自貢）已知關于x 的方程 x2（ a+b） x+ab 1=0，x1、x2 是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結論： x1 x2；x1x2 ab；x12+x22a2+b2則正確結論的序號是（填上你認為正確結論的所有序號）6（2013? 荊門）設 x1，x2 是方程 x2 x2013=0的兩實數(shù)根，則=7

16、（2012? 成都模擬）若，是方程x23x+1=0 的兩個根，則 2+ 3 =1012212223）+a=2，則 a= 88（ 2010? 南通）設 x、x是一元二次方程 x+4x3=0 的兩個根， 2x（x+5x9（2010? 寧陽縣模擬）已知實數(shù)a、b（ab）分別滿足，試求的值10（ 2009? 河南模擬）設 A 是方程 x2x2009=0的所有根的絕對值之和，則A2=11（2007? 瀘州）若非零實數(shù) a，b（ab）滿足 a2a2007=0，b2b2007=0，則：=12（ 2004? 廈門）已知關于x 的方程 x2（ a+b）x+ab2=0x1、x 2 是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個

17、結論：（ 1） xx ；（2）xx ab；（3 ）x2222+x a +b ，121212則正確結論的序號是（在橫線上填上所有正確結論的序號）13（ 2001? 呼和浩特）如果關于x 的一元二次方程2x22x+3m 1=0 有兩個實數(shù)根 x1，x2，且它們11滿足不等式，則實數(shù) m的取值范圍是14（2013? 孝感）已知關于 x 的一元二次方程 x2（ 2k+1）x+k2 +2k=0 有兩個實數(shù)根 x1，x2 （ 1）求實數(shù) k 的取值范圍；（ 2）是否存在實數(shù)220成立？若存在，請求出k 的值；若不存在，請說明理k 使得 x1? x2x1x2由一元二次方程韋達定理應用作業(yè)一選擇題（共16 小

18、題）22m等于（）1若方程 x（ m 4） x+m=0的兩個根互為相反數(shù)，則A 2 B2 C± 2 D42若關于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一個根為 1，則另一個根為（）A 4 B2 C4 D33設 a，b 是方程 x2+x 2017=0 的兩個實數(shù)根，則 a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2016D20174一元二次方程 ax2+bx+c=0 中，若 a0，b0，c0，則這個方程根的情況是（）A有兩個正根12B有兩個負根C有一正根一負根且正根絕對值大D有一正根一負根且負根絕對值大22）5已知 m、n 是方程 x +3x 2=0 的兩個實數(shù)根，則 m+4m+n+2

19、mn的值為（A1 B3 C 5 D96已知關于 x 的一元二次方程 x2+mx8=0 的一個實數(shù)根為2，則另一實數(shù)根及 m的值分別為（）A4， 2 B 4， 2C4，2D 4， 27一元二次方程 x2+x1=0 的兩根分別為 x1 ，x2，則 +=（）AB1CD 8關于 x 的方程 x2+2（k+2）x+k2 =0 的兩實根之和大于4，則 k 的取值范圍是（）Ak 1 Bk0C 1k0D 1 k 022m的值是（）9已知方程 x 2（m 1）x+3m=0的兩個根是互為相反數(shù)，則Am=±1 Bm=1Cm=1 D m=010已知 a、b 是一元二次方程 x2 3x2=0 的兩根，那么+的

20、值為（）ABCD11已知關于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一個根為 2，則另一個根為（）A5 B1 C2 D512已知實數(shù) x1，x2 滿足 x1+x2=7，x1x2=12，則以 x1， x2 為根的一元二次方程是（）Ax2 7x+12=0 B x2 +7x+12=0 C x2 +7x12=0 Dx27x12=013設 a、 b 是方程 x2+x2014=0 的兩個實數(shù)根，則 a2 +2a+b的值為（）A2014B2015C2012D201314關于 x的一元二次方程x2+2mx+2n=0 有兩個整數(shù)根且乘積為正，關于y 的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，

21、給出三個結論：這兩個方程的根都負根；（m1）2 +（ n 1） 22； 1 2m2n1，其中正確結論的個數(shù)是（）A0 個 B1 個 C2 個 D3 個15（非課改）已知，是關于22的兩個不相等的實數(shù)根，且x 的一元二次方程 x+（2m+3）x+m=0滿足+ =1，則 m的值是（）A3 B1 C3 或1 D 3 或 116設 a， b 是方程 x2+x2011=0 的兩個實數(shù)根，則 a2 +2a+b的值為（）13A2009B2010C2011D2012二填空題（共30 小題）17已知：一元二次方程x26x+c=0 有一個根為 2，則另一根為18一元二次方程x2+x 2=0 的兩根之積是19若、是

22、一元二次方程x2+2x6=0 的兩根，則 2+2 =20一元二次方程x2+mx+2m=0的兩個實根分別為x1 ，x2，若 x1+x2=1，則 x1 x2=21已知 m、n 是關于 x 的一元二次方程 x2 3x+a=0 的兩個解，若（ m1）（n1）=6，則 a 的值為22某學生在解一元二次方程 x22x=0 時，只得出一個根是2，則被他漏掉的另一個根是 x=23已知 a，b 是方程 x2x3=0 的兩個根，則代數(shù)式 a2 +b+3 的值為22x ，x，滿足 x22=2，則 a 的值是24已知關于 x 的方程 x 2ax+a 2a+2=0 的兩個實數(shù)根+x121225如果方程（ x 1）（x2

23、2x+）=0 的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k 的取值范圍是26方程 x23x+1=0 中的兩根分別為 a、b，則代數(shù)式 a2 4ab 的值為27已知 a+b=3， ab=7，則代數(shù)式 2a2+b2+3b 的值為28已知 x1，x2 是關于 x 的方程 x2+nx+n3=0 的兩個實數(shù)根，且 x1+x2=2，則 x1 x2=29已知實數(shù) ab，且滿足（ a+1）2=3 3（a+1），3（b+1）=3（ b+1）2則的值為2230已知 m，n 是方程 x +2x5=0 的兩個實數(shù)根，則 mmn+3m+n=31閱讀材料：設一元二次方程2的兩根為 x ，x，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關系式ax +bx+c=012x1+x2= ，x1? x2 = 根據(jù)該材料填空，已知x1，x2 是方程 x2+3x+1=0 的兩實數(shù)根，則的值為32已知關于 x 的方程 x2（ a+b）x+ab1=0，x1、x2 是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結論： xx； xxab； x2222（填上你認為正確結論的所+x a +b 則正確結論的序號是121212有序號）33若兩個不等實數(shù)2222的值是m、 n 滿足條件： m2m1=0，n 2n1=0，則 m+n34設 x1，x2 是方程 x2 x 2013=0