高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題一匯總情況

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題一一試（考試時(shí)間： 80 分鐘滿分 100 分）一、填空題（共8小題， 8756 分）1、已知 ,點(diǎn) ( x, y) 在直線 x2 y3上移動(dòng) ,當(dāng) 2 x4 y 取最小值時(shí) ,點(diǎn)(x, y) 與原點(diǎn)的距離是。2、設(shè) f (n) 為正整數(shù) n （十進(jìn)制）的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和，比如f123 1222 3214f( n)f (n)f(n)f ( f(n)，。記 1， k 1kk1,2,3. ，則 f 2010 (2010 )。3、如圖，正方體 ABCDA1 B1C1 D1 中，二 面 角 A BD1A1的度數(shù)是。4 、在 1,2,2010 中隨機(jī)選取三個(gè)數(shù)，能

2、構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是。5 、 若 正 數(shù) a, b, c 滿 足abc， 則b的最大值b ca ca bac是。6 、在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，給定兩點(diǎn) M ( 1,2)和 N(1,4) ，點(diǎn) P 在 X軸上移動(dòng)，當(dāng)MPN 取最大值時(shí)，點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)是。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案7 、已知數(shù)列 a0 , a1, a2 ,., an ., 滿足關(guān)系式 (3an 1 )(6an )18 且 a03 ，則n1i0ai 的值是。8、函數(shù) f ( x)sin xcosxtan xcot xsin x cos xtan x cot x 在 x (o,) 時(shí)sin xtan xcosxtan xcosx cot

3、 xsin x cot x2的最小值為。二、解答題（共 3 題， 14151544分 ）9 、設(shè)數(shù)列 an 滿足條件：a11,a22 ，且 an 2 an 1 an (n 1, 2, 3, )求證：對(duì)于任何正整數(shù)1n ，都有： n an 1 1n an文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案10 、已知曲線 M : x 2y 2m ，x0，m 為正常數(shù) 直線 l 與曲線 M 的實(shí)軸不垂直，且依次交直線yx 、曲線 M 、直線 yx 于 A 、 B 、C 、 D 4 個(gè)點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)。（ 1）若 | AB | | BC | |CD |，求證：AOD 的面積為定值；（ 2）若 BOC 的面積等于AOD面積的 1，求

4、證： |AB| |BC | |CD |3文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案11 、已知、 是方程 4x24tx 1 0( tR) 的兩個(gè)不等實(shí)根， 函數(shù) f (x)2xt的定義域?yàn)?, .x21（）求g(t )max f (x)min f ( x);（）證明：對(duì)于ui(0,) (i1,2,3) ，若 sin u1sin u2sin u31 ，21則 g (tan u1 )113g (tan u2 )g(tan u3 )6 .4文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案二試（考試時(shí)間： 150 分鐘總分： 200 分）一、（本題 50 分）如圖， e O1 和 e O2P與 ABC 的三邊所在的三條直線都相切， E, F ,G,H 為切點(diǎn)

5、，并且 EG 、FH 的延長線交于P 點(diǎn)。求證：直線PA 與 BC 垂直。GHO1。A。 O2EBCF文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案二、（本題 50 分）正實(shí)數(shù) x, y, z，滿足 xyz 1。證明：x5x2y5y2z5z20x5y2z2y5z2x2z5x2y2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案三、（本題 50分 ） 對(duì) 每 個(gè) 正 整 數(shù) n ， 定 義 函 數(shù)（當(dāng) 為平方數(shù)）0nf ( n)1 （當(dāng) 不為平方數(shù)）nn240（其中 x 表示不超過 x 的最大整數(shù)， x x x) 。試求：f ( k) 的k 1值。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案四、（本題50分）在世界杯足球賽前，F(xiàn) 國的教練員為了考察A1 , A2 , A3, A4 ,

6、 A5 , A6 , A7 這七名隊(duì)員，準(zhǔn)備讓他們?cè)谌龍?chǎng)訓(xùn)練比賽( 每場(chǎng)比賽90分鐘 ) 中都上場(chǎng)，假設(shè)在比賽的任何時(shí)刻，這些隊(duì)員都有且只有一人在場(chǎng)上，并且A1 , A2 , A3 , A4 每人上場(chǎng)的總時(shí)間(以分鐘為單位 )均被 7 整除， A5 , A6 , A7 每人上場(chǎng)的總時(shí)間(以分鐘為單位 )均被 13 整除如果每場(chǎng)換人的次數(shù)不限，那么，按每名隊(duì)員上場(chǎng)的總時(shí)間計(jì)，共有多少種不同的情況？文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案答案與解析一、填空題1 、 3 5 。 2x4y22x 2 y42 . x3 , y3 時(shí)取最小值 , 此時(shí)424x2y2= 35 。42、4。解： 將 f (2010)5 記做 201

7、05 ，于是有20105252985891454220416375889從 89開始， f n 是周期為 8的周期數(shù)列。故f 2010 ( 2010 )f 2005 (89 )f 5 2508(89)f 5 (89 )4 。3 、60o 。解：連結(jié) D1C ,作 CEBD1 ，垂足為 E ，延長 CE 交 A1B 于 F ，則 FEBD1 ，連結(jié) AE ，由對(duì)稱性知 AEBD1,FEA 是二面角D1C1A BD1A1 的平面角。A1B1連結(jié) AC ，設(shè) AB1，則 ACAD12, BD13.FEABD1 中， AEAB AD12 ，D在 RtCBD13AB文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案22224221AEC

8、EAC2AE AC3在 AEC中 , cos AEC2AE CE2AE 2243AEC 1200 , 而FEA是 AEC 的補(bǔ)角，F(xiàn)EA600 。4、3。解：三個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為a, a d, a 2d ，4018按題意必須滿足a2d2010,d 1004 。 對(duì)于給定的d, a 可以取1,2,L ,2010 2d .1004故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為(20102d )1005 * 1004 .d11005* 10043。C 2010340185 、171 。解：由條件，有abca，4cab bc令 abx,bcy,caz ；則 axz y , bx y z

9、, cy z x ，222從而原條件可化為：x yyzzx1zz14zzxyxyx1,y令 xyt, 則 t41，解得 t117或 t117 ，zt22故 bcxyzt1171a2z2246 、 解：經(jīng)過M , N兩點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y 3 x1.文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案上，設(shè)圓心為S(a,3a) ，則圓 S 的方程為：(xa)2( y3a)22(1a2 )對(duì)于定長的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)MPN 取最大值時(shí)，經(jīng)過M ,N,P 三點(diǎn)的圓 S必與 x 軸相切于點(diǎn) P ，即圓 S 的方程中的 a 值必須滿足2(1a2 ) (a3) 2 , 解得 a1 或

10、 a7 .即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為P(1,0) 和 P (7,0) ，而過點(diǎn) M , N , P 的圓的半徑大于過點(diǎn) M , N , P 的圓的半徑，所以MPNMP ' N ，故點(diǎn) P(1,0) 為所求，所以點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 1.7 、 1 ( 2 n 2n3) .3解：設(shè) bn1 ,n0,1,2,., 則(31)(61 )18,anbn 1bn即 3bn 1 6bn10.bn12bn1 , bn 112(bn1)333故數(shù)列 bn1 是公比為2 的等比數(shù)列，3bn12n (b01) 2n ( 11)1 2n 1bn1 (2 n 1 1) 。33a0333n1nn 1(2i112(2n 1

11、1)( n1)1n 2n 3 。i o aibii 0 31)2 132i 038 、 4.解：f ( x)(sin x cosx)11(tan x cot x)11tan xcosxcot xtanxsin xcot xsin xcosx(sinx cos x )4(tan x cotx )4tan xcosx cotxtan x cos x cot xsin xxsin文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（由調(diào)和平均值不等式）4要使上式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)sin xtan xcosxcot x(1)tan xcosxcot xsin x( 2)（ 1 ）（ 2 ）得到 sin xcosxcos xsin x ，

12、即得 sin xcosx 。因?yàn)?x(0,) ，2所以當(dāng)x時(shí)， f ( x)f ()4 。所以 min f ( x)4 。44二、解答題9 、證明：令a01 ,則有 ak 1 akak 1 ，且1akak 1 (k 1, 2,)ak 1ak 1nan a于是nkk 1k1 ak 1k 1 ak 1由算術(shù) - 幾何平均值不等式，可得1na1 a2 Lan + na0 a1 L an 1a2 a3an 1a2 a3an 1注意到aa1，可知01111，即n an 1nan an 11yAnan11BnanBPOCxQCA文檔D實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案10 、解：（ 1 ）設(shè)直線 l ： ykxb 代入 x2y

13、 2m 得：(1 k 2 )x 22bkx b2m 0 ，0得： b2m(1k 2 )0 ，設(shè) B( x1 , y1 ) ， C( x2 , y2 ) ，則有x12bk(b 2m)，x2k2， x1 x2k211設(shè) A( x3 , y3 ) ， D( x4 , y4 ) ，易得： x3b， x4b，1k1 k由|AB| |BC| |CD |得|BC|1|AD|，3故 | x1x2 | 1 | x3x4 |，3代入得2bk2 4(b2m)12b|，(k2 )1k2|1k213整理得： b29 m( k 21) ，8又|OA|2 |b|，|OD |2 |b|， AOD90 ，kk11S AODb2

14、2|9 m 為定值 .|1 k8（2）設(shè) BC中點(diǎn)為 P， AD 中點(diǎn)為 Qx1x2bk， xQx3x4bk，則 x p21k221k2所以 xPxQ ， P 、Q 重合，從而|AP| |DP |，文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案從而 | AB | | CD |，又BOC 的面積等于AOD面積的 1，所以 |BC|1|AD |，33從而 |AB| |BC| |CD |.11 、解：（）設(shè)x1x2,則 4x124tx11 0,4x224tx21 0,4(x12x22 )4t( x1x2 )20,2x1 x2t( x1x2 )102則 f ( x2 )2x2t 2x1t( x2x1 ) t( x1x2 ) 2 x

15、1x2 2f ( x1 )x21 x21( x21)(x21)2121又 t ( x1x2 ) 2x1 x22 t( x110f ( x2 ) f ( x1 ) 0x2 ) 2x1x22故 f ( x) 在區(qū)間,上是增函數(shù)。Qt,1 ,4g(t )max f (x)minf ( x)f ()f ( )()t ()2222221225t1t28t 21(2t 25)t22516t 22516（）證：8216g(tan ui )cosui(cos2ui3)cosui24cos ui16169cos 2 ui9cos2ui21624166(i 1,2,3)169cos2 ui169cos2 ui文檔

16、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案31139cos 2 ui )13sin 2 ui )6 i(16(16 393 9)i 1g(tan ui ) 161166i1333Qsin ui1,且 ui(0,), i1,2,33sin 2 ui(sin ui ) 21，i 12i 1i1而均值不等式與柯西不等式中，等號(hào)不能同時(shí)成立，1g(tan u1 )1g(tan u2 )11(75 9 1)36g(tan u3 )16 634二試一、證明：延長PA 交 EF 于 D ，則 PEG 和 PHF 分別是ACD 與ABD 的截線，由梅涅勞斯定理得：DE gCG gAPL LEC GA PD1BF gDP gAHL LFD

17、PA HB1Q e O1 ,e O2 都是ABC 的旁切圓，1 (BCPEC CGCA AB) BFHFL 2GH于是由、得：O1O2DE= GAAFDAH又 Q Rt AGO1 : RtAHO2EBD CF DEFD = AHGA = AO1AO2而 O1, A,O2 三點(diǎn)共線，且 O1E EF , O2 F EF , PA BC文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案二、證明：原不等式可變形為x2x5y2y5z2z50x5y2z2y5z2x2z5x2y2即x2y 2z2x2y2z2x2y 2z23x5y2z2y5z2x2z5x2y2由柯西不等式以及xyz1 可得( x5y2z2 )( yzy2z2 )( x2xy

18、zy2z2 )2( x 2y2z2 )2 ,即同理上面三式相加并利用x2y2z2yzy2z2x5y2z2x2y2z2x2y2z2zx z2x2y5z2x2x2y2z2x2y2z2xy x2y2z5x2y2x2y2z2x2y2z2xyyzzx得x2y2z2x2y2z2x2y2z22xy yz zx3x5y2z2y5z2x2z5x2y 2x2y2z2三、解 ：對(duì) 任 意 a, k N *， 若 k 2a( k 1)2 ， 則 1 a k 22k ， 設(shè)a k,01,則111a k2k2k1, 1 2k aak a k2a k 2a k 2 aa k 2 .讓a 跑遍區(qū)間(k 2 , (k 1)2

19、）中的所有整數(shù)， 12 k則k 2 a ( k 1)2 ai 12k,文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案( n 1) 2n2 k于是f ( a)a 1i1i1 2k i2 k下面計(jì)算i1 2k , 畫一張 2k2k 的表，第i 行中，凡是i 行中的位i數(shù)處填寫“ * ”號(hào)，則這行的“ * ”號(hào)共 2ik 個(gè)，全表的“ * ”號(hào)共2ki 1 2k 個(gè)；另一方面，按列收集“* ”號(hào)數(shù)，第j 列中，若j 有 T ( j )i個(gè)正因數(shù)，則該列使有T ( j ) 個(gè)“ * ”號(hào)，故全表的“* ”號(hào)個(gè)數(shù)共2k2 kT ( j ) 個(gè)，因此j 1i 1 2k 2 kT( j ).ij 1示例如下：ji1234561*2*3*4*56*nn2k則f (a)T ( j )nT(1)T (2) (n 1) T (3) T ( 4)T (2n 1) T ( 2n)i1i 1j 1 25615 由此，f (k )(16k)T ( 2k1) T (k)k 1k 1記 akT (2k 1)T (2k), k