高中數(shù)學(xué)：復(fù)習(xí)不等式知識(shí)點(diǎn)及主要題型_講義含解答

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案不等式的基本知識(shí)一、解不等式1 、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax 2bxc 0或 ax 2bxc 0 a0 的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax 2bx c 0a0 的兩根為x1、 x2 且 x1x2 ，b 24ac ，則不等式的解的各種情況如下表：000yax2bxcyax 2bxcyax2bxc二次函數(shù)yax2bxc（ a 0 ）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根ax2bx c0x2 )x1 x2ba0 的根x1 , x2 ( x1無(wú)實(shí)根2aax2bx c0x xb(a0)的解集x x x1或x x2R2aax2bx c0x2(a0)的解集x x1 x2 、 簡(jiǎn)單

2、的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：1 ）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；2 ）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過(guò)偶彈回 ；文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3 ）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f (x) 的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。23如： x 1 x 1 x 20文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3 、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0 ，再通分并將分子分母分解因式， 并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。f ( x)f ( x) g ( x) 0;

3、f ( x)f ( x) g ( x) 00g ( x)0g ( x)g ( x) 04 、不等式的恒成立問(wèn)題：常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題若不等式若不等式f xA 在區(qū)間 D 上恒成立 ,則等價(jià)于在區(qū)間D 上 fxf xB 在區(qū)間 D 上恒成立 ,則等價(jià)于在區(qū)間D 上 fxminmaxAB二、線性規(guī)劃1 、用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式 Ax+ By+ C 0 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax + By+ C=0 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域 .（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）2 、二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法由于對(duì)在直線 Ax+ By+ C=0

4、同一側(cè)的所有點(diǎn) ( x, y )，把它的坐標(biāo)（x, y )代入 Ax+ By+ C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y 0)，從 Ax 0+ By0 + C 的正負(fù)即可判斷 Ax+ By+ C 0 表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C0 時(shí)，常把 原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）3 、線性規(guī)劃的有關(guān)概念： 線性約束條件 ：在上述問(wèn)題中，不等式組是一組變量x、y 的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于 x、 y 的一次不等式，故又稱線性約束條件 線性目標(biāo)函數(shù) ：關(guān)于 x、y 的一次式 z=a x+b y 是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y 的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)文檔實(shí)用

5、標(biāo)準(zhǔn)文案 線性規(guī)劃問(wèn)題 ：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題 可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y ）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解4 、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：1 ）尋找線性約束條件，列出線性目標(biāo)函數(shù)；2 ）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；3 ）依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)作參照直線ax+b y0，在可行域內(nèi)平移參照直線求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案三、基本不等式abab21、若 a,b R,則 a2+ b 2 2 ab ,當(dāng)且僅當(dāng) a=b

6、時(shí)取等號(hào) .2、如果 a,b 是正數(shù)，那么 abab (當(dāng)且僅當(dāng) ab時(shí)取 號(hào) ).2a2變形： 有 :a+b 2ab ； ab b,當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào) .23、如果 a,b R+ ,ab=P (定值 ),當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí) ,a+b 有最小值 2 P ;S2如果 a,b R+ ,且 a+b=S (定值 ),當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí) ,ab 有最大值.4注：1 ）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”2 ）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”4 、常用不等式有：1）a2b2abab2(根據(jù)目標(biāo)不等式

7、左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用) ；2211ab2） a、 b 、 cR， a2b2c2abbc ca （當(dāng)且僅當(dāng) a bc 時(shí)，取等號(hào)）；3）若 ab0, m0bbm，則a（糖水的濃度問(wèn)題） 。am文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案不等式主要題型講解一、不等式與不等關(guān)系題型一：不等式的性質(zhì)1 、對(duì)于實(shí)數(shù) a,b, c 中，給出下列命題： 若 ab,則 ac 2bc 2 ； 若 ac 2bc 2 ,則 ab ； 若 ab 0,則 a 2ab b2 ； 若 a b0,則 11 ；ab 若 ab 0, 則 ba ； 若a b0,則 a b ；ab 若 ca b 0, 則 ab； 若 a b, 11 ，則 a 0, b 0 。c

8、 ac bab其中正確的命題是 _題型二：比較大?。ㄗ鞑罘?、函數(shù)單調(diào)性、中間量比較，基本不等式）2 、設(shè) a2 ， p a1， q2 a 2 4a 2 ，試比較 p, q的大小a23 、比較 1+ log x 3 與 2log x 2( x0且 x1) 的大小4 、 若 a b 1, Plg a lg b , Q1 (lg a lg b), Rlg( a b ) ， 則 P, Q, R 的 大 小 關(guān) 系22是.文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案二、解不等式題型三：解不等式5 、解不等式： 2x27x 4 04x 24x 1 06 、解不等式 ( x1)( x2) 20。5x7 、解不等式x2 2x 31文檔實(shí)

9、用標(biāo)準(zhǔn)文案8 、不等式 ax 2bx 120 的解集為 x|-1 x 2 ，則 a =_, b=_9 、關(guān)于 x 的不等式 ax b0 的解集為 (1,) ，則關(guān)于 x 的不等式 axb0 的解集為x210 、解關(guān)于 x 的不等式 ax 2(a1) x10題型四：恒成立問(wèn)題11 、關(guān)于 x 的不等式a x2 + a x +1 0恒成立，則a 的取值范圍是 _12 、若不等式 x22mx2m10 對(duì) 0x1的所有實(shí)數(shù) x 都成立，求 m 的取值范圍 .文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案13 、已知 x19x ym 恒成立的實(shí)數(shù) m 的取值范圍。0, y 0 且1，求使不等式xy三、基本不等式ab題型五：求最值ab

10、214 、（直接用）求下列函數(shù)的值域111 ） y3 x 22 ）y x2 x 2x15 、（配湊項(xiàng)與系數(shù)）文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1 ）已知 x51的最大值。，求函數(shù) y 4x 24 x 542 ）當(dāng)時(shí)，求 yx(82x) 的最大值。x27 x 1016 、（耐克函數(shù)型）求 y( x 1) 的值域。x 1a注意：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f ( x)x的單調(diào)性。x17 、（用耐克函數(shù)單調(diào)性）求函數(shù)yx25 的值域。x24文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案18 、（條件不等式）1）若實(shí)數(shù)滿足 ab 2 ，則 3a3b 的最小值是.2）已知 x 0, y191 ，求 x y 的最小值。0

11、，且yxy 23 ）已知 x，y 為正實(shí)數(shù)，且x 21 ，求 x1 y 2 的最大值 .214 ）已知 a， b 為正實(shí)數(shù)， 2b ab a 30 ，求函數(shù)yab 的最小值 .題型六：利用基本不等式證明不等式19 、已知 a,b, c 為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a 2b 2c2ab bc ca文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案20 、正數(shù) a， b， c 滿足 a b c1 ，求證： (1 a)(1 b )(1 c)8 abc21 、已知 a、 b、 c1111R ，且 a b c 1。求證：11 8abc文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案題型七：均值定理實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題：22 、某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m 2 的

12、三級(jí)污水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價(jià)為每米400 元，中間兩條隔墻建筑單價(jià)為每米248 元，池底建造單價(jià)為每平方米80 元，池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。四、線性規(guī)劃題型八：目標(biāo)函數(shù)求最值2xy3023 、滿足不等式組7 xy80，求目標(biāo)函數(shù)k3xy 的最大值x, y0文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案24 、 已 知 實(shí) 系 數(shù) 一 元 二 次 方 程 x2(1 a)xa b 1 0 的 兩 個(gè) 實(shí) 根 為 x1 、 x2 , 并 且0 x1 2 , x2 2 則b的取值范圍是a1x025 、已知 x, y 滿足約束條件： 3x4 y 4 ,則 x2y

13、22x 的最小值是y0文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案x2 y3026 、已知變量 x, y滿足約束條件x3y30.若目標(biāo)函數(shù) z axy （其中 a0 ）僅在點(diǎn)y10（ 3 ， 0）處取得最大值，則a 的取值范圍為。y，x， y1z x y127、已知實(shí)數(shù)滿足y 2x 1的最小值為，則實(shí)數(shù) m 等于，如果目標(biāo)函數(shù)xym題型九：實(shí)際問(wèn)題28 、某餅店制作的豆沙月餅每個(gè)成本35 元，售價(jià) 50 元；鳳梨月餅每個(gè)成本20 元，售價(jià) 30 元?，F(xiàn)在要將這兩種月餅裝成一盒，個(gè)數(shù)不超過(guò)10 個(gè)，售價(jià)不超過(guò)350 元，問(wèn)豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個(gè)，可使利潤(rùn)最大？又利潤(rùn)最大為多少？文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案不等式的基本知識(shí)參考答案高

14、中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容練習(xí)- 不等式1、；2、 pq ；30x1或 x432log x 2 ；、當(dāng)時(shí)， 1+ log x431xlog x 3 2log x2 ；當(dāng)時(shí)， 1+43當(dāng) x時(shí)， 1+ log x 3 2log x 234、 ab1 lg a0,lg b0Q1（ lg alg b)lg alg bp2Rlg( ab )lgab1 lg abQR Q P。225、6、 x | x1 或 x2 ；7、 (1,1)U (2,3)）；8、不等式 ax 2bx120 的解集為 x|-1 x 2 ，則 a =_-6_, b=_6_9、 (,1)(2,) ） .10 、解：當(dāng) a0 時(shí)，不等式的解集為x

15、x1； 2分1)( x 1) 0 ；當(dāng) a0時(shí)，原不等式等價(jià)于1當(dāng) a0時(shí)， a(x(x )( x 1) 0aa不等式的解集為x x或1 ； .分61xa當(dāng) 0a 1時(shí)， 1 1x 11； .分8，不等式的解集為xaa11 ，不等式的解集為1x1 ；.10分當(dāng) a 1時(shí)，xaa當(dāng) a 1時(shí)，不等式的解為 .分1211 、0x 412 、 m1）213 、 m,16116 值域?yàn)?6 ，+ ）14 、解： 1） y 3 x 2 223x 2 22x2x111112）當(dāng) x 0 時(shí)， y x2x 2 ；當(dāng) x0 時(shí)，yx=（x）2x = 2xxxxx文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案值域?yàn)椋ǎ?2 2 ， + ）1

16、5 、1）解 Q x5 , 5 4x 0，y 4 x 2155 4 x132 3 144 x5 4 x當(dāng)且僅當(dāng) 5 4x11 時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x 1時(shí)， ymax1，即 x。5 4x2）當(dāng)，即 x2 時(shí)取等號(hào)當(dāng) x2 時(shí)， yx(82x) 的最大值為 8 。16 、解析一：當(dāng), 即時(shí) , y2 （ x1)459 （當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)取“”號(hào)）。x1解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t= 1 ，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。xy(t 1)27(t）t25t4t451 +10=ttt當(dāng), 即 t =時(shí), y 2 t45 9（當(dāng)t=2x時(shí)取“”號(hào)）。即 1t17 、解：令x24t (t2

17、) ，則 yx25x 241t1(t2)x24x24t因 t0, t11，但 t1解得 t1不在區(qū)間2,，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。t1t5因?yàn)?yt2,在區(qū)間 1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故y。t2所以，所求函數(shù)的值域?yàn)? ,。218 、（條件不等式）1）解：3a 和3b 都是正數(shù)， 3a3ba3ba b2 3236當(dāng) 3a3b 時(shí)等號(hào)成立，由a b2 及 3a3b 得 ab1即當(dāng) ab 1時(shí)， 3a3b 的最小值是 62）解： Q x19x yx19y9x10160, y 0,1，yyx10 6xyxyy9x191 ，可得 x4, y12 時(shí)， xy min 16當(dāng)且僅當(dāng)x

18、時(shí)，上式等號(hào)成立，又yyx文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3）解： x1y 2 x1 y 21y 22 2 x222下面將 x，1y 2分別看成兩個(gè)因式：22x 2 (1y 2y 211y 22) 2x 231y 23222x22即 x 1 y 2 2 x222422430 2b30 2b 2 b 2 30 b4）解：法一： a b 1，ab b 1bb 1由 a 0 得， 0 b 152 t 2 34 t 31161616令 t b+1 ， 1 t 16 ，ab t 2 （tt） 34 t2t 8tt ab 18 y1當(dāng)且僅當(dāng)t 4，即 b 3 ，a6 時(shí)，等號(hào)成立。18法二：由已知得： 30 ab a2 b a 2 b22 ab 30 ab 22 ab令uab則u222u300， 5 2 3 2u ab13 2 ，ab 18 ，y1819 、已知 a, b, c 為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2abbcca20 、正數(shù) a， b， c 滿足 a b c1，求證： (1 a)(1 b)(1 c)8 abc21 、已知 a、 b、 cR ，且 a bc1。求證：111 1118abc證明 ： Q a 、 b 、 cR ， a b c 1 。111 a b c 2 bc 。 同 理 1 12 ac ，aaaabb112abcc。上述三個(gè)不等式兩邊