初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料5對(duì)稱式含答案

1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料5對(duì)稱式甲內(nèi)容提要1. 在含有多個(gè)變量的代數(shù)式f (x,y,z)中，如果變量x,y,z任意交換兩個(gè)后，代數(shù)式的值不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為絕對(duì)對(duì)稱式，簡(jiǎn)稱對(duì)稱式.例如：代數(shù)式x+y，xy，x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy, ，.都是對(duì)稱式.其中x+y和xy叫做含兩個(gè)變量的基本對(duì)稱式.2. 在含有多個(gè)變量的代數(shù)式f (x,y,z)中，如果變量x,y,z循環(huán)變換后代數(shù)式的值不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為輪換對(duì)稱式，簡(jiǎn)稱輪換式.例如：代數(shù)式 a2(bc)+b2(ca)+c2(ab), 2x2y+2y2z+2z2x,，（xy+yz+zx）(， .都是輪換式.顯然，對(duì)稱式一定是輪換式,

2、而輪換式不一定是對(duì)稱式.1. 含兩個(gè)變量x和y的對(duì)稱式，一定可用相同變量的基本對(duì)稱式來表示.這將在下一講介紹.2. 對(duì)稱式中，如果含有某種形式的一式，則必含有，該式由兩個(gè)變量交換后的一切同型式，且系數(shù)相等.例如：在含x,y,z的齊二次對(duì)稱多項(xiàng)式中，如果含有x2項(xiàng)，則必同時(shí)有y2,z2兩項(xiàng)；如含有xy項(xiàng)，則必同時(shí)有yz,zx兩項(xiàng)，且它們的系數(shù)，都分別相等.故可以表示為：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m,n是常數(shù).3. 輪換式中，如果含有某種形式的一式，則一定含有，該式由變量字母循環(huán)變換后所得的一切同型式，且系數(shù)相等.例如：輪換式a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)中，有

3、因式ab一項(xiàng),必有同型式bc和ca兩項(xiàng).4. 兩個(gè)對(duì)稱式（輪換式）的和，差，積，商（除式不為零），仍然是對(duì)稱式（輪換式）.例如：x+y, xy都是對(duì)稱式，x+yxy，（x+y）xy，等也都是對(duì)稱式.xy+yz+zx和都是輪換式，xy+yz+z，（）（xy+yz+z）. 也都是輪換式.乙例題例1.計(jì)算：（xy+yz+zx）(xyz(.分析：（xy+yz+zx）(是關(guān)于x,y,z的輪換式，由性質(zhì)2，在乘法展開時(shí)，只要用xy分別乘以，連同它的同型式一齊寫下.解：原式（）（z+xy）+(y+z+x)()2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc0.求代數(shù)式的值 （1989年泉州市初二數(shù)學(xué)

4、雙基賽題）分析：這是含a, b, c 的輪換式，化簡(jiǎn)第一個(gè)分式后，其余的兩個(gè)分式，可直接寫出它的同型式.解：，0.例3. 計(jì)算：（a+b+c）3分析：展開式是含字母a,b,c的三次齊次的對(duì)稱式，其同型式的系數(shù)相等，可用待定系數(shù)法.例4. 解：設(shè)（a+b+c）3m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.（m,n,p是待定系數(shù)） 令a=1,b=0,c=0 . 比較左右兩邊系數(shù)得m=1；令a=1,b=1,c=0 比較左右兩邊系數(shù)得2m+2n=8；令a=1,b=1,c=1 比較左右兩邊系數(shù)得 3m+6n+p=27.解方程組得（a+b+c）3a3+b3+c3

5、+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.例5. 因式分解： a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)； （x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）5.解：當(dāng)a=b時(shí)，a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)0.有因式ab及其同型式bc,ca.原式是四次齊次輪換式，除以三次齊次輪換式（ab）(bc)(ca)，可得一次齊次的輪換式a+b+c.用待定系數(shù)法：得a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)m(a+b+c)（ab）(bc)(ca) 比較左右兩邊a3b的系數(shù)，得m=1.a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)(a+b+c)（ab）(bc)(ca).

6、 x=0時(shí)，（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）50有因式x，以及它的同型式y(tǒng)和z.原式是五次齊次輪換式，除以三次輪換式xyz，其商是二次齊次輪換式.用待定系數(shù)法：可設(shè)（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）5xyzm(x+y+z)+n(xy+yz+zx).令x=1,y=1,z=1 . 比較左右兩邊系數(shù)，得 80=m+n；令x=1,y=1,z=2. 比較左右兩邊系數(shù)，得 480=6m+n.解方程組得.（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）580xyz(x+y+z).丙練習(xí)1. 已知含字母x,y,z的輪換式的三項(xiàng)x3+x2y2xy2,試接著寫

7、完全代數(shù)式.2. 已知有含字母a,b,c,d的八項(xiàng)輪換式的前二項(xiàng)是a3b(ab)，試接著寫完全代數(shù)式_.3. 利用對(duì)稱式性質(zhì)做乘法，直接寫出結(jié)果：（x2y+y2z+z2x）（xy2+yz2+zx2）.（x+y+z）（x2+y2+z2xyyzzx）.4. 計(jì)算：（x+y）5.5.求（x+y）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解： ab(ab)+bc(bc)+ca(ca)； (x+y+z)3(x3+y3+z3)； （ab+bc+ca）(a+b+c)abc； a(bc)3+b(ca)3+c(ab)3.7. 已知：.求證：a,b,c三者中，至少有兩個(gè)是互為相反數(shù).8.計(jì)算：.9. 已知：S（a+b+c）.求證：3S（Sa）(Sb)(Sc).10. 若x,y滿足等式x=1+和y=1+且xy0，那么y 的值是（）（A）x1.（B）1x.（C）x.（D）1+x.參考答案練習(xí)1.y3+z3+y2z+z2x2y2z2z2x 2. b3c+c3d+d3a(bc)(cd)(da)3.x3+y3+z33xyz 4.設(shè)(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3), a=1,b=5,c=10.5.設(shè)原式（x+y