2020-2021北京市密云水庫中學高中必修五數(shù)學上期中第一次模擬試題(及答案)

1、2020-2021 北京市密云水庫中學高中必修五數(shù)學上期中第一次模擬試題( 及答案 )一、選擇題1 設 x ， y 滿足不等式組7 xy50 ，若Zaxy的最大值為3xy10xy1102a9 ，最小值為a2 ，則實數(shù) a 的取值范圍是（） .A (,7B 3,1C 1,)D 7,32. 已知an 為等差數(shù)列，若a20 a191 ，且數(shù)列an 的前 n 項和Sn 有最大值，則Sn 的最小正值為 ()A. S1B. S19C. S20D. S373. 已知等比數(shù)列 an 的各項均為正數(shù)，且a5a6a4a718 ，則log 3 a1log 3a2log3 a3log3 a10（）A 10B 12C

2、1log 3 5D 2log 3 54. 已知等差數(shù)列 a 的前 n 項和為S ， a9 ， S9S54 ，則S 取最大值時的 n 為nn1n95A 4B 553aa66a3C 6D 4 或 5的最大值為（）932A 9B2C 3D 26. 設 an 是首項為a1 ，公差為 -1 的等差數(shù)列，Sn 為其前 n 項和，若S1, S2 , S4 成等比數(shù)列，則 a1=（ ）11A 2B -2CD227. 已知等比數(shù)列 an 中，a11 ， a3a56 ，則 a5a7（ ）A 12B 10C 12 2D 6228. 關于 x 的不等式 x（）a1 xa0 的解集中，恰有 3 個整數(shù)，則 a 的取值范

3、圍是A3, 24,5B3, 24,5C 4,5D（ 4,5）9. 在等差數(shù)列 an 中， a3a52 a104 ，則此數(shù)列的前 13 項的和等于（）A16B 26C 8D 13xy2010 若 x ， y 滿足xyy040 ，則 zy2 x 的最大值為（）A 8B4C 1D 211. 已知 ABC 的三邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，且最大的內(nèi)角是最小內(nèi)角的2 倍，則最小角的余弦值為（）3572ABCD468312. 若 0a 1， bc1 ，則 ()b aA ()1cacBC ca 1ba 1D log alog ac二、填空題cbb ab1113. 已知數(shù)列an 中 ，a11，且 aa3(nN)

4、，則a10.（用數(shù)字作答）n 1n14. 點 D 在VABC的邊 AC 上，且 CD3 AD ， BD2 ， sinABC3，則233ABBC 的最大值為.15. 設 an是等差數(shù)列，且a13 ， a2a536 ，則an 的通項公式為16. 在 ABC 中 ，a,b, c 分別是角A, B,C 的對邊，已知a, b, c 成等比數(shù)列，且a 2c2acbc ，則cb sin B2的值為.317. （理）設函數(shù)f (x)x1，對任意 x,，2f ( x )4m2 mf (x)f (x1) 4 f (m) 恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍是18. 在中，若，則19. 在ABC 中，已知 sinA:si

5、nB:sinC=3： 5： 7，則此三角形最大內(nèi)角的大小為 20. 在銳角 ABC 中, 內(nèi)角A, B, C 的對邊分別為a,b, c , 已知a2b4, asinA4bsinB6asinBsinC , 則 nABC的面積取最小值時有c2.三、解答題21. 在等差數(shù)列an中， a2a723 ， a3a829 .（1） 求數(shù)列an的通項公式；（2） 設數(shù)列 anbn是首項為 1，公比為 2 的等比數(shù)列，求bn 的前 n 項和Sn .22. 已知 ABC 的內(nèi)角（1） ）求 A；A, B, C 的對邊分別為a,b,c ，且 a sin Bb sinA3（2） ）若b,3 a, c 成等差數(shù)列，AB

6、C的面積為 23 ，求 a 223. 已知 ABC 中，角A, B, C 的對邊分別為a,b, c,2cosC( acos Cc cos A)b0. ，（1）求角 C 的大??；（ 2）若 b2, c23, ，求ABC的面積 .24. 若 Sn 是公差不為 0 的等差數(shù)列an 的前 n 項和，且S1 , S2 , S4 成等比數(shù)列，S24 .（1） 求數(shù)列an 的通項公式；（2） 設 bn3,T 是數(shù)列bnn 項和，求使得 Tmanan 1n的前n對所有 nN都成立的20最小正整數(shù) m .25. 設數(shù)列的前項和為，且.（1） 求數(shù)列的通項公式；（2） 設，求數(shù)列的前項和.26. 已知等差數(shù)列an

7、 的前 n 項和為Sn ，且a211 ， S7161 .（1） 求數(shù)列an 的通項公式；1（2） 若 bna a，求數(shù)列bn 的前 n 項和 Tn .nn 1【參考答案】 * 試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1B解析： B【解析】【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合確定z 的最大值 .【詳解】作出不等式組xy7xy3xy11050 對應的平面區(qū)域（如圖陰影部分）， 10目標函數(shù) zaxy的幾何意義表示直線的縱截距，即yaxz ，（1） 當 a取得，0 時，直線 zaxy 的斜率為正，要使得z 的最大值、最小值分別在C, A 處則直線 zaxy 的斜率不大于

8、直線3xy10 的斜率，即a3 ，3a（2） 當 a0 .0 時，直線 zaxy 的斜率為負，易知最小值在A處取得，要使得 z 的最大值在 C 處取得，則直線 zaxy 的斜率不小于直線xy110 的斜率a1，0a1.（3） 當 a0 時，顯然滿足題意 .綜上：3, a1.故選： B.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，結合目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法，確定目標函數(shù)的斜率關系是解決本題的關鍵.2D解析： D【解析】【分析】由已知條件判斷出公差d0 ，對a20 a191進行化簡，運用等差數(shù)列的性質(zhì)進行判斷，求出結果 .【詳解】已 知 an為等差數(shù)列，若a20

9、 a191，則a20a19a190 ，由數(shù)列an的前 n 項和Sn 有最大值，可得 d0 ，a190, a20a190, a200, S3737a190 ，a1a3 8a20a190 ， S380 ，則 Sn 的最小正值為S37故選 D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)運用，需要掌握等差數(shù)列的各公式并能熟練運用等差數(shù)列的性質(zhì)進行解題，本題屬于中檔題，需要掌握解題方法.3A解析： A【解析】【分析】利用對數(shù)運算合并，再利用等比數(shù)列【詳解】an的性質(zhì)求解。因為 log3 a1log 3 a2log 3 a3 Llog 3 a10 = log3a1a2a3 La10= log 35a1a10,又 a4

10、 a7a5 a6a1a10 ，由 a4a7a5 a618 得 a1a109 ，所以logalog aloga L loga= log95 =10 ，故選 A 。313233310【點睛】本題考查了對數(shù)運算及利用等比數(shù)列3an 的性質(zhì)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)：當kmnpq,( m, n,p, qN) 時， amanap aq ，特別地 mn4B2 k,( m, n, kN) 時， am ana 2 ，套用性質(zhì)得解，運算較大。解析： B【解析】由 anS9S5為等差數(shù)列，所以a5a32d4 ，即 d2 ，由 a19 ，所以 an952n11，令 an2 n110 ，即 n11 ，2所以 Sn 取最大值

11、時的 n 為 5 ，故選 B 5B解析： B【解析】【分析】根據(jù) 3aa【詳解】 因為 6a69 是常數(shù)，可利用用均值不等式來求最大值.3 ，所以 3a0, a60由均值不等式可得：3aa69(3a)( a6)22當且僅當 3aa故選 B.【點睛】6 ，即 a3時，等號成立，2本題主要考查了均值不等式，屬于中檔題.6D解析： D【解析】=2【分析】S把已知2S1S4 用數(shù)列的首項a1 和公差 d 表示出來后就可解得a1 ，【詳解】221因為 S1， S2， S4 成等比數(shù)列，所以S2=S1S4 ，即(2 a11)a1(4 a16)， a1.2故選 D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n 項和，考查

12、等比數(shù)列的性質(zhì)，解題方法是基本量法本題屬于基礎題7A解析： A5735【解析】35由已知8Aaaq2q 46 ，q22 ，aaq2 (aa)2612 ，故選 A.解析： A【解析】【分析】不等式等價轉(zhuǎn)化為 (x1)(xa)0 ，當 a1時，得 1xa ，當 a1 時，得ax1 ，由此根據(jù)解集中恰有3 個整數(shù)解，能求出 a 的取值范圍?！驹斀狻?關于 x 的不等式 xa1 xa0 ，不等式可變形為 (x1)(xa)0 ，當 a1時，得 1xa ，此時解集中的整數(shù)為2，3， 4，則 4a5 ；當 a1時，得 ax1，此時解集中的整數(shù)為-2， -1，0，則 3a2故 a 的取值范圍是3, 24,5

13、，選： A ?！军c睛】本題難點在于分類討論解含參的二次不等式，由于二次不等式對應的二次方程的根大小不確定，所以要對 a 和 1 的大小進行分類討論。其次在觀察a 的范圍的時候要注意范圍的端點能否取到，防止選擇錯誤的B 選項。9D解析： D【解析】【詳解】試題分析： a3a52 a104 ，2 a42a104 ， a4a102 ， S1313(a1a13 )13(a4a10 )13 ，故選 D.22考點：等差數(shù)列的通項公式、前n 項和公式 .10D解析： D【解析】作出不等式組xy20xy40 ，所表示的平面區(qū)域，如圖所示，y0當 x0 時，可行域為四邊形OBCD 內(nèi)部，目標函數(shù)可化為zy2 x

14、 ，即 y2 xz ，平移直線 y2 x 可知當直線經(jīng)過點D (0,2)時，直線的截距最大，從而z 最大，此時，zmax2 ，當 x0 時，可行域為三角形AOD ，目標函數(shù)可化為 zy2 x ，即 y2 xz ，平移直線 y2x 可知當直線經(jīng)過點D(0,2)時，直線的截距最大，從而z 最大，zmax2 ，綜上， zy2 x 的最大值為 2 故選 D 點睛：利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1) 在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域(2) 考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形常見的類型有截距型（axby 型）、斜率型（yb型）和距離型（xa22xayb型）(3) 確定最優(yōu)解：根據(jù)目標函數(shù)的類型，并結合可

15、行域確定最優(yōu)解(4) 求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值 注意解答本題時不要忽視斜率不存在的情形.11A解析： A【解析】【分析】設三角形的三邊分別為n,n1,n2(nN *)，根據(jù)余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，進而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值【詳解】由題意，設ABC 的三邊長分別為n, n1,n2( nN *)，對應的三角分別為A, B,C ，由正弦定理得nn2n2n2，sin Asin Csin 2 A2sin A cos A所以 cos An2 2n又根據(jù)余弦定理的推論得cos A( n2)2( n1)2n2n5n2n所以2n2(

16、n5，解得 n2)2(n4 ，2)( n1)2( n2)所以 cos A453 ，2(42)43即最小角的余弦值為4故選 A【點睛】解答本題的關鍵是求出三角形的三邊，其中運用“算兩次”的方法得到關于邊長的方程， 使得問題得以求解，考查正余弦定理的應用及變形、計算能力，屬于基礎題12D解析： D【解析】【分析】運用不等式對四個選項逐一分析【詳解】對于 A ，Q bc1，b1 ， Q 0caa1 ， 則 bc1 ，故錯誤cac對于 B ，若，則 bcabcbca ，即baba cb0 ，這與 bc1 矛盾，故錯誤對于 C ，Q 0a1 ，a10 ，Q bc1，則ca 1ba 1 ，故錯誤對于 D

17、，Q bc1， 故選 D【點睛】log calog ba ，故正確本題考查了不等式的性質(zhì)，由未知數(shù)的范圍確定結果，屬于基礎題二、填空題13. 【解析】【分析】由得為等差數(shù)列求得通項公式則可求【詳解】則為以首項為 1 公差為 3 的等差數(shù)列則故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列的定義及通項公式意在考查計算能力是基礎題1解析：28【解析】【分析】由113(nNaa) 得1a1為等差數(shù)列，求得a通項公式，則a10 可求n 1nnn【詳解】113(nN) 則1為以首項為 1，公差為 3 的等差數(shù)列，則an 11anan13 n13nan12a1028故答案為：128【點睛】本題考查等差數(shù)列的定義及通項公

18、式，意在考查計算能力，是基礎題14. 【解析】【分析】根據(jù)條件可得利用余弦定理即可得到的關系再利用基本不等式即可得解【詳解】設三角形的邊為由由余弦定理得所以又所以化簡得相除化簡得故當且僅當成立所以所以的最大值為故答案為：【點睛】解析： 43【解析】【分析】根據(jù)條件可得cos1ABC， cos3ADBcosBDC0 ，利用余弦定理即可得到AB 、 AC 的關系，再利用基本不等式即可得解.【詳解】設 ADx， CD3x，三角形 ABC 的邊為 a ， b ， c ，由 cosABC12sin 2ABC1，23由余弦定理得cosABCa 2c2 2ac16x21，32222所以 16xacac ，3

19、又 cosADBcosBDC0 ，2222x2c所以22 x9x2a62 x，化簡得212x223ca8 ，相除化簡得322aca29c26ac ，故 ac4 ，當且僅當 a3c成立，2所以 3ABBC23ca9c2a26ac324ac48 ，所以 3 ABBC 的最大值為 43 .故答案為： 43 .【點睛】本題考查了余弦定理和基本不等式的應用，考查了方程思想和運算能力，屬于中檔題. 15【解析】【分析】先根據(jù)條件列關于公差的方程求出公差后代入等差數(shù)列通項公式即可【詳解】設等差數(shù)列的公差為【點睛】在解決等差等比數(shù)列的運 算問題時有兩個處理思路一是利用基本量將多元問題簡化為首項與公差（公解析：

20、 an6 n3【解析】【分析】先根據(jù)條件列關于公差的方程，求出公差后，代入等差數(shù)列通項公式即可.【詳解】設等差數(shù)列an的公差為 d ，Q a13， 3d【點睛】34d36， d6， an36(n1)6n3.在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路，一是利用基本量，將多元問題簡化為首項與公差（公比）問題，雖有一定量的運算，但思路簡潔，目標明確：二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用 .16. 【解析】【分析】利用成等比數(shù)列得到再利用余弦定理可得而根據(jù)正弦定理和成等比數(shù)列有從而得到所求之值【詳解】成等比數(shù)

21、列 又在中由余弦定理因 由正弦定理得因為所以故故答案為【點睛】在解三角形中如果題解析： 233【解析】【分析】利用 a, b, c 成等比數(shù)列得到 c2b 2a2bc ，再利用余弦定理可得A60，而根據(jù)正弦定理和a,b, c 成等比數(shù)列有cb sin B1sin A，從而得到所求之值 .【詳解】 a, b, c 成等比數(shù)列， b 2ac . 又 a 2c222acbc ， cba 2bc .在 ABC 中，由余弦定理cos Ac2b 22bca 21，2因 A0,， A60 .由正弦定理得csin Csin C，b sin Bsin B sin Bsin 2 B因為 b2ac ， 所以sin

22、2 BsinAsin C，故 sin Csin C123 .sin2 Bsin Asin Csin A3故答案為23 .3【點睛】在解三角形中，如果題設條件是關于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件， 如果題設條件是關于邊的齊次式或是關于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設條件是邊和角的混合關系式，那么我們也可把這種關系式轉(zhuǎn)化為角的關系式或邊的關系式 .17. 或【解析】【分析】先化簡不等式再變量分離轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值問題最后根據(jù)二次函數(shù)最值以及解不等式得結果【詳解】即即因為當時所以或故答案為：或【點睛】本題考查不等式恒成立問題以及二次函數(shù)最值考查綜合分析解析

23、： m3 或 m322【解析】【分析】先化簡不等式，再變量分離轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值問題，最后根據(jù)二次函數(shù)最值以及解不等式得結果 .【詳解】Q f (x )4m2 f m(x)f (x1)4 f ( m)( x )2m14 m2 ( x21) ( x1)214( m21)即 (4 m211 ) x2m22 x30即 4m21123 ,( x3 )m2xx2223238因為當 x3 時 xx2239324所以 4m2118m23m3 或 m3m23422故答案為： m3 或 m322【點睛】本題考查不等式恒成立問題以及二次函數(shù)最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題. 1823【解析】 由正弦定理可得

24、sinA:sinB:sinC=7:8:13a：b：c=7：8：13令 a=7kb=8kc=13k（k>0）利用余弦定理有 cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64解析：【解析】由正弦定理可得，令，（），利用余弦定理有，故答案為.19. 【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大內(nèi)角為2解析：3【解析】32527212由正弦定理得 a : b : c3:5: 7 ,由余弦定理得cos C,故 C,也就.是最大內(nèi)角為223523320. 【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得當且僅當a=2b=2 時取得等號當 a=2b=1S取得最小值易得 (C 為銳角)則則解析： 545

25、3【解析】由正弦定理及asinA4bsinB6asinBsinC ,得 a24b26absinC ,又 S1 absinC ,即 a 224b 212S ,由于 a2b4 ,即有 a 24b 22a 2b4ab164ab ,即有 4ab1612S ,由 4ab2a2b 22,即有 1612S8 ,解得 S2 ,3當且僅當 a= 2b=2 時,取得等號 ,當 a=2, b= 1,S取得最小值 2 ,3易得 sinC25(C 為銳角 ),則 cosC,332224則 cab三、解答題2 abcosC55 .321 （ 1） an【解析】【分析】3n2 （ 2） Sn3n2n 22n1（1） 依題意

26、 a3a8式；a2a72d6 ，從而 d3 .由此能求出數(shù)列an的通項公（2） 由數(shù)列 anbn是首項為 1，公比為 2 的等比數(shù)列，求出b 2 n 1a3n22n 1nn，再分組求和即可.【詳解】（1）設等差數(shù)列an的公差是 d .由已知 a3a8 d3 ，a2a72d6 ， a2a72 a17 d23 ，得 a11 ，數(shù)列an的通項公式為 an3n2 .（2）由數(shù)列 anbn是首項為 1，公比為 2 的等比數(shù)列， anbn2n 1 ， bn2n 1a3n22n 1 ，nn Sn1473n212222n 1n 3n1221 ，3n 2n2【點睛】2n1 .本題考查數(shù)列的通項公式和前n 項和公

27、式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化 .22 （ 1） 3； （ 2） 23 .【解析】【分析】（1） 由正弦定理化簡已知可得sinA=sin（ A+ 3 ），結合范圍 A（ 0，），即可計算求解 A 的值；（2） 利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得b+c=3a ，利用三角形面積公式可求bc 的值，進而根據(jù)余弦定理即可解得a 的值【詳解】（1） asinB=bsin （ A+ 3 ）由正弦定理可得： sinAsinB=sinBsin（ A+ 3 ）sinB 0，sinA=sin （ A+ 3 ）A （ 0，），可得： A+A+=，3A=3（2） b，32b+c=3a ，a，c 成等

28、差數(shù)列， ABC的面積為 23 ，可得： SABC = 1 bcsinA=23 ，21bcsin=23 ，解得 bc=8，23由余弦定理可得： a2 =b2+c2 2bccosA=（ b+c） 2 2bc2bccos3=（b+c ） 2 3bc=（ 3 a） 2 24，解得： a=23 【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題23 (1) C120o.（ 2） 3.【解析】試題分析：（ 1）由 2cosC acosCccosAb0 根據(jù)正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，誘導公式可得2cos C sin Bs

29、in B0 ，可得cos C1，即可2得解 C 的值；（ 2）由已知及余弦定理得解得a 的值，進而利用三角形面積公式即可得結果.試題解析： (1)Q 2cosC acosCccosAb0 ，由正弦定理可得2cosC sinAcosCsinBcosAsinB02cosCsin AC0,即2cosCsinBsinB0又 oo1 即o0B180 ,sin B0,cosC,C120.2（2） 由余弦定理可得222o223a222acos120a2a4又 a0, a2,SABC1 absinC3,2ABC 的面積為3.24 (1)an【解析】2n1 (2)m 的最小值為 30 .試題分析：第一問根據(jù)條件中數(shù)列為等差數(shù)列，設出等差數(shù)列的首項和公差，根據(jù)題中的條件，建立關于等差數(shù)列的首項和公差的等量關系式，從而求得結果，利用等差數(shù)列的通項公式求得數(shù)列的通項公式，第二問利用第一問的結果，先寫出b3311n，利用裂項相消法