高中數(shù)學(xué)新人教版必修5全套教案(原創(chuàng))

1、1.1.1 正弦定理教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題。過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā) ，共同探究在任意三角形中， 邊與其對(duì)角的關(guān)系, 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng) 用的實(shí)踐操作。情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。教學(xué)重點(diǎn)正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)

2、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。教學(xué)過(guò)程1 .課題導(dǎo)入角與邊的等如圖1. 1-1 ,固定 ABC的邊CB及 B,使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。思考：C的大小與它的對(duì)邊 AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角C的大小的增大而增大。能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？2 .講授新課探索研究在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中,式關(guān)系。如圖，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義,/ a _有一sincsin B ,又 sin C則一a- sin Asin Bc csin C從而在直角三角形AB

3、C 中,sin A sin B sin C思考1：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立? 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：(由學(xué)生討論、分析)如圖1. 1-3, (1)當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊 數(shù)的定義，AB上的高是CD根據(jù)任意角三角函有 CD=asin Bbsin A,貝U a sin Asin B，同理可得從而-asin C bsin A sin B sin C(2)當(dāng) ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。思考2:還有其方法嗎？(由學(xué)生課后自己推導(dǎo))由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這問(wèn)題。（證法二）u uur:過(guò)點(diǎn)A作單位向量j AC,由向量的加法可得u

4、ur uur uuAB AC CBir 則juir irAB jin uur(AC CBu uurj ABuuuj ACiruurCBr uurj | AB cos090 Ar uurjCB0cos 90 CI. csinA asinC ,即r同理，過(guò)點(diǎn)C作ja csin A sinCuurBC ,可得bsin BcsinC從而asin Asin Bsin C從上面的研探過(guò)程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即以sin Bsin C理解定理（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù), 即存在正數(shù) k 使a ksin A, b

5、 ksin B , c ksinC;(2)sin A sin B sin C等價(jià)于sin A sin B sin Csin B sin A sin C思考：正弦定理的基本作用是什么?已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如bsin Aa;sin B已知角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如a .sin A -sin B 。 b一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。例題分析例 1.在 ABC 中，已知 A 32.00, B 81.80, a 42.9 cm,解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C 1800(A B) 1800(32.00 81.80

6、) 66.20 ；根據(jù)正弦定理,asinB b -sin A根據(jù)正弦定理,asin C c sin A42.9sin81.80sin32.0042.9sin66.20sin32.0080.1(cm);74.1(cm).評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。練習(xí)：在 ABC中，已知下列條件解三角形。(1) A 45 , C 30 , c 10cm,(2) A 60 , B 45 , c 20cm例2.在ABC中，已知a 20cm, b 28cm, A 40,解三角形（角度精確到1,邊長(zhǎng)精 確到1cm）。解：根據(jù)正弦定理，sinBbsinA 28sin400200.8999.因?yàn)?0 v B

7、 v 1800 ,所以B1160當(dāng) B 640時(shí)C 1800 (A B) 1800 (40 0 640)760asinCsin A20sin760sin40030(cm).B 1160時(shí)C 1800 (A B) 1800 (400 1160)asinCsin A20sin240sin40013(cm).應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。課堂練習(xí)第4頁(yè)練習(xí)第2題。思考題：在 ABC中，a-三.課時(shí)小結(jié)(由學(xué)生歸納總結(jié))bsin Bcsin Ck(ko),這個(gè)k與 ABC有什么關(guān)系?(1)定理的表示形式:sin A sin Bcsin Csin A sin B sin C

8、或 a ksin A, b ksinB, c ksin C(k 0)(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。四.課后作業(yè)：P10面1、2題。1.2解三角形應(yīng)用舉例第一課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)1、能夠運(yùn)用正弦定理、 余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 ，并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué) 符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：由實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)

9、出示意圖三、教學(xué)設(shè)想1、復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)提問(wèn)什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？2、設(shè)置情境請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問(wèn)： 前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離， 是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上

10、面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。3、新課講授(1)解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的 條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解(2)例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離是55m,BAC=51 ,ACB=75。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)提問(wèn)1: ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？提問(wèn)2:運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。分

11、析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出 AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得 sinAB_ACBACsin ABCAB = ACsin ACB =sin ABC55sin ACB =sin ABC55sin75sin(180 5175 )55sin75 65.7(m) sin54答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30 ,燈塔B在觀察站C南偏東60 ,則A、B之間的距離為多少

12、?老師指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略： 氏a km例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，設(shè)計(jì)一種測(cè)量 A、B兩點(diǎn)間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定 C D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可 求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。圖 1. 2-2解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C D,測(cè)得CD=a并且在G D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA=,ACD= , CDB= , BDA =,在 ADC BDC中，應(yīng)用正弦定理得AC =asin( )=asin()sin180

13、 ()sin()BC =asin=asinsin180 ()sin()計(jì)算出AC和BC后，再在 ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出 AB兩點(diǎn)間的距離AB =AC 2 BC 22 AC BC cos分組討論：還沒(méi)有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距 40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得 BCA=60 , ACD=30 , CDB=45 ,BDA =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得 AB=20J6評(píng)注：可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)， 靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些 過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法， 最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇

14、最佳的計(jì)算方式。4、學(xué)生閱讀課本4頁(yè)，了解測(cè)量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。5、課堂練習(xí)：課本第 14頁(yè)練習(xí)第1、2題6、歸納總結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建 立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解 四、課后作業(yè)1、課本第22頁(yè)第1、2、3題2、思考題：某人在 M汽車站的北偏西 20的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公

15、路的走向是 M站的北偏東40 。開(kāi)始時(shí)，汽車到 A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了 10千米。問(wèn)汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？北八B 處。在 ABC 中，AC=31, BC=2Q35、. 3cosC - cos120 sinC = 62解：由題設(shè)，畫(huà)出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)AB=21,由余弦定理得 _ 2_ 22c AC BC AB 23cosC=2AC BC 31貝U sin 2 c =1- cos 2 c = 432 ,31212 3sinC =,所以 sin MAC = sin (120 -C) = sin120在 MAC由正弦定理得ACsin MA

16、C3135.3 “MC =35sin AMC,3622從而有 MB= MC-BC=15 答：汽車還需要行駛 15千米才能到達(dá) M汽車站。作業(yè)：習(xí)案作業(yè)三第二課時(shí)1.2解三角形應(yīng)用舉例一、教學(xué)目標(biāo)1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量 的問(wèn)題2、鞏固深化解三角形實(shí)際問(wèn)題的一般方法，養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣。3、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類比、概括的能力二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問(wèn)題難點(diǎn)：能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件三、教學(xué)過(guò)程I .課題導(dǎo)入提問(wèn)：現(xiàn)實(shí)生活中，人們是怎樣測(cè)量底部

17、不可到達(dá)的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的 飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就?lái)共同探討這方面的問(wèn)題n.講授新課范例講解例1、AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物， A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高 度AB的方法。圖 L2-4分析：求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求 AE在 ACE中，如能求出 C點(diǎn)到建筑物頂部 A的距離CA再 測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出 AE的長(zhǎng)。解：選擇一條水平基線 HG使H G B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是,CD = a ,測(cè)角儀器的高是 h,那么，在 ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC = asin sin( )AB=AE +

18、 h=ACsin + h = asin sin + h sin( )例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn) A的俯角 =54 40 ,在塔底C處測(cè)得A處的俯角 =50 1。已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(W確到1 m)師：根據(jù)已知條件，大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？若在 ABD中求CD則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢?生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢？生：可首先求出解：在 ABC中，BAC=-ABsin(90 )所以AB邊，再根據(jù)BCA=90 + , BAD =AB = BCsin(90BAD= 求得。ABC =90 -,.根據(jù)正弦定理,)_ BCcossin( )sin()BC

19、= sin()在 Rt ABD中，得 BD=ABsinBAD三BCcos sinsin( )將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式，得 BD = 273coS501sin5440 = 273cos501sin5440 -177 ) sin5440 501)sin4 39CD =BD -BC= 177-27.3=150(m)答：山的高度約為150米.思考：有沒(méi)有別的解法呢？若在 ACD43求CD可先求出AG思考如何求出 AC?例3、如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在東偏南 25的方向上，仰角為8 ,求此山的高度CD.思

20、考1: 思考2:邊)欲求出CD,大家思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢?(在 BCD中)在 BCD43,已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件，易計(jì)算出哪條邊的長(zhǎng)?(BC解：在 ABC中，A=15 , C= 25 -15 =10，根據(jù)正弦定理，BCABABsinA-= , BC =-s7.4524(km) CD=BC tan DBO BC tan8 sinAsinCsinC1047(m)答：山的高度約為1047米m.課堂練習(xí)：課本第17頁(yè)練習(xí)第1、2、3題W .課時(shí)小結(jié)利用正弦定理和余弦定理來(lái)解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫(huà)方位圖，要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。V

21、.課后作業(yè)1、作業(yè)：習(xí)案作業(yè)五1.2解三角形應(yīng)用舉例第三課時(shí)、教學(xué)目標(biāo)1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題2、通過(guò)綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力，讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問(wèn)題的過(guò) 程中來(lái)，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。3、培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，并激發(fā)學(xué)生的探索精神。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系難點(diǎn)：靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問(wèn)題三、教學(xué)過(guò)程I.課題導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境提問(wèn)：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問(wèn)題。然

22、而在實(shí)際的航海生活中，人們又會(huì)遇到新的問(wèn)題，在浩瀚無(wú)垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面 的測(cè)量問(wèn)題。n .講授新課范例講解例1、如圖，一艘海輪從 A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile 后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā)，沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從 A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？（角度精確到 0.1，距離精確到0.01n mile)學(xué)生看圖思考并講述解題思路分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角 ABC即可用余弦定理算出 AC邊，再根據(jù)正弦定理算出 AC

23、邊和AB邊的夾角CAB解：在 ABC中， ABC=180 - 75+ 32 =137 ,根據(jù)余弦定理,AC= , AB2 BC2 2AB BC cos ABC = . 67,52 54.02 2 67.5 54.0 cos137= 113.15根據(jù)正弦定理，BC = AC sin cab = BCsin ABC = 54.0sin137 ， sin CAB sin ABCAC113.150.3255,所以 CAB =19.0 ,75- CAB =56.0答：此船應(yīng)該沿北偏東 56.1的方向航行，需要航行113.15n mile例2、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物 AE的頂端A的仰角為 ，沿BE方向前進(jìn)3

24、0m,至點(diǎn)C處測(cè)得 頂端A的仰角為2 ,再繼續(xù)前進(jìn)10J3m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4 ,求 的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中,AC=BC=30 , AD=DC=10103 =30。sin2 sin(1804)8s2 =,得 2=30BADC =180 -4,因?yàn)?sin4 =2sin2 cos2二15,在 RtADE 中，AE二ADsin60 =15答：所求角 為15 ,建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來(lái)求解）設(shè) DE=x, AE二h在 RtADE中,x 2+h2=(10 3) 2在 Rt ACE中,(10 .3 + x) 2 + h 2 =30 2

25、兩式相減，得x=5 . 3 ,h=15在 Rt ACE 中,tan2h = 2, nC N ,則此數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差；若d=0,則該數(shù)列為常數(shù)列.提問(wèn)：（1）你能舉一些生活中的等差數(shù)列的例子嗎？（2）如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù) A,使a, A, b成等差數(shù)列數(shù)列，那么 A應(yīng)滿足什么條 件？由學(xué)生回答：因?yàn)?a, A, b組成了一個(gè)等差數(shù)列，那么由定義可以知道： a bA-a=b-A所以就有 A 2由三個(gè)數(shù)a, A, b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)， A叫做a與b的 等差中項(xiàng)。不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前 一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等

26、差中項(xiàng)。如數(shù)列：1, 3, 5, 7, 9, 11, 13中，5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差中項(xiàng)。9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng)?？瘩?a 2 a 4 a1 a,a4 a6 a3 a7從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則aman a p aq等差數(shù)列的通項(xiàng)公式提問(wèn)：對(duì)于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出來(lái)呢?、我們是通過(guò)研究數(shù)列 an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系去寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項(xiàng)公式的定義，寫(xiě)出這四組等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。由學(xué)生經(jīng)過(guò)分析寫(xiě)出通項(xiàng)公式： 猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an 5n猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an48 5(n 1

27、)猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an18 2.5(n 1)猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an 10072 72(n 1)、那么，如果任意給了一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納：a2 a d,(n-1)個(gè)等式 a a3 a2 d,a4 a3 d,a1和公差d,它的通項(xiàng)公式是什么呢?所以a2a1 d,a3 a2 d, a3 a2 d (a1 d) da 2d,a4a3 d, a4 a3 d (a12d) da 3d,思考：那么通項(xiàng)公式到底如何表達(dá)呢?得出通項(xiàng)公式：以a1為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：an a1 (n 1)d也就是說(shuō)，只要我們知道了等差數(shù)列的首項(xiàng) a1和公

28、差d,那么這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng) an就可以表不出來(lái)了。選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：(迭加法)：an是等差數(shù)列，(迭代法)：an是等差數(shù)列，則有 an an 1 d所以 an an1 d,an 2ddan 1 an 2 d,an 2 2dan 2 an 3 d,an 3d 2d nan 3 3da2 a1 d,兩邊分別相加得ana1 (n 1)d,a1 (n 1)d所以 ana1(n l)d所以an ai (n 1)d例題分析例1、求等差數(shù)列8, 5, 2,的第20項(xiàng).-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)?49解：由 &=8, d=5-

29、8=-3 , n=20,得 a208 (21 1) ( 3)由a1 =-5 , d=-9- (-5) =-4 ,得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an5 4(n 1) 4n 1,由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100,即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)。例2： (1)在等差數(shù)列an中，已知a5 10,a12 31,求首項(xiàng)a1與公差d;53(2)已知數(shù)列七為等差數(shù)列a3一，a7-,求a15的值.44解：(1)解法一：: a5 10 , a12 31 ,則a1 4d 10a12a1 11d 31 d 3所以，這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是一2,公差是3.解法

30、二：: a12 a5 7d 31 10 7d d 3,由 10 al (5 1) 3 得 a12所以，這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是一2,公差是3.例3:梯子最高一級(jí)寬 33cm,最低一級(jí)寬為110cm,中間還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù) 歹U,計(jì)算中間各級(jí)的寬度.解：設(shè)an表示梯子自上而上各級(jí)寬度所成的等差數(shù)列,由已知條件，可知： a1 =33, a12=110, n=12a12 a1(12 1)d,即 10=33+11 d 解得：d 7因此，a233 7 40,a3 40 7 47,a454,a561,a668, a775,a8 82,a9 89, a10 96, a11 103,答：梯子中間各級(jí)的寬度從上到下依次是40cm, 47cm, 54cm, 61cm, 68cm, 75cm, 82cm,89cm, 96cm, 103cm.例4:三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為18,