高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)任意角講義新人教A版必修一第一冊(cè)

1、115.1任意角和弧度制最新課程標(biāo)準(zhǔn)：了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.5.1.1 任意角新知初探I川主摩|習(xí)知識(shí)點(diǎn)一角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.狀元隨筆(1)在畫圖時(shí)，常用帶箭頭的弧來(lái)表示旋轉(zhuǎn)的方向.(2)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在不引起混淆的前提下，“角 a ”或“/ a ”可以簡(jiǎn)記成“ a知識(shí)點(diǎn)二角的表示頂點(diǎn)：用O表示；O始邊：用OA表不，用語(yǔ)言可表不為起始位置; 終邊：用OB表示，用語(yǔ)言可表示為終止位置. 知識(shí)點(diǎn)三角的分類在直角坐標(biāo)系中研究角時(shí)，當(dāng)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合時(shí), 角的終

2、邊在第幾象限， 就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角， 如果角的終邊在坐標(biāo)軸上， 就認(rèn)為這個(gè)角 不屬于任何一個(gè)象限.知識(shí)點(diǎn)五終邊相同的角所有與角”終邊相同的角，連同角 a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S= 3| 3 = a +k - 360° , kCZ,即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.狀元隨筆| (1) a為任意角，“ kCZ”這一條件不能漏.(2)k 360 ° 與 a 中間用 “ + ” 連接，k 360 ° a 可理解成 k 360 ° + (- a ).(3)當(dāng)角的始邊相同時(shí)，相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等.終邊相同的角有

3、無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360。的整數(shù)倍.終邊不同則表示的角一定不同.教材解難象限角的集合表示象限角集合表小A象限角 a | k - 360° < a <90° + k - 360° , kC Z第二象限角 a |90 ° + k 360° < a <180° + k - 360° , k C Z第三象限角 a |180。+ k 360° < a <270° + k - 360° , k C Z第四象限角 a |270。+ k 360° < a <

4、;360° + k - 360° , k e Z基礎(chǔ)自測(cè)1 .下列說(shuō)法中正確的是 ()A.終邊相同的角都相等B.鈍角是第二象限的角C.第一象限的角是銳角D .第四象限的角是負(fù)角解析：終邊相同的角不一定相等，第一象限角不一定是銳角，第四象限角可能為正角， 也可能為負(fù)角，故選 B.答案：B2 .下列各角：一60° , 126° , -63° , 0° , 99° ,其中正角的個(gè)數(shù)是 ()A. 1個(gè)B . 2個(gè)C. 3個(gè)D . 4個(gè)解析：結(jié)合正角、負(fù)角和零角的概念可知，126° , 99°是正角，一60

5、6; , -63°是負(fù) 角，0°是零角，故選 B.答案：B3 .與30°角終邊相同的角的集合是()A. a |a= 30° + k 360° ,ke ZB. a |a= -30° +k 360°, k CZC. a |a=30° + k 180° ,kZD. a |a= -30° +k - 180°, kCZ解析：由終邊相同的角的定義可知與30°角終邊相同的角的集合是 a | a =30° +k - 360° , k C Z.答案：A4 . 2 019&#

6、176;是第 象限角.解析：2 019° =360° X 5+219° , 180° <219° <270° .2 019°是第三象限角.答案：三課堂探究I和荊提升題型一任意角的概念及應(yīng)用經(jīng)典例題例1 (1)若角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，角的始邊與 x軸的非負(fù)半軸重合，給出下列四個(gè)命題： 0。角是第一象限角；相等的角的終邊一定相同；終邊相同的角有無(wú)限多個(gè)；與一 30°角終邊相同的角都是第四象限角.其中正確的有()A. 1個(gè)B . 2個(gè)C. 3個(gè)D . 4個(gè)(2)時(shí)針走過(guò)2小時(shí)40分，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是 .【解析】(

7、1)錯(cuò)誤，0。角是象限界角；正確.(2)分針按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng),則轉(zhuǎn)過(guò)的角度是負(fù)角為一360° X 2 2=-960° .3【答案】(1)C (2) -960°按照象限分類，角可以分為象限角和象限界角；角的正負(fù)是由終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定的.分針1個(gè)小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度的絕對(duì)值是360 ° .方法歸納與角的概念有關(guān)問(wèn)題的解決方法正確解答角的概念問(wèn)題，關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等 的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧， 判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可.跟蹤訓(xùn)練1在下列說(shuō)法中：0

8、。90。的角是第一象限角；第二象限角大于第一象限角；鈍角都是第二象限角；小于90°的角都是銳角.其中錯(cuò)誤說(shuō)法的序號(hào)為.解析：0°90°的角是指0 ° , 90° ), 0°角不屬于任何象限，所以不正確.120。是第二象限角，390°是第一象限角，顯然 390° >120。，所以不正確.鈍角的范圍是(90。，180。)，顯然是第二象限角，所以正確.銳角的范圍是(0。，90。)，小于 90。的角也可以是零角或負(fù)角，所以不正確.答案：題型二終邊相同的角經(jīng)典例題例2寫出與75°角終邊相同的角的集合，并求在

9、360°1 0800范圍內(nèi)與 75°角終 邊相同的角.【解析】與75°角終邊相同的角的集合為S= 3 | 3 = k 360° +75° , k Z.當(dāng) 360° < 3 <1 080° ,即 360° v k - 360° +75° <1 080° 時(shí)，解得卜<吟.又 kC Z, 所以k= 1或k= 2.當(dāng)k= 1時(shí)，3 =435° ;當(dāng)k = 2時(shí)，3 =795° .綜上所述，與 75°角終邊相同且在 360°1 08

10、0°范圍內(nèi)的角為 435°角和795°角.狀元隨筆|根據(jù)與角”終邊相同的角的集合為 S= 3 | 3 =k - 360 ° + a , kC Z, 寫出與75 °角終邊相同的角的集合，再取適當(dāng)?shù)膋值，求出360 °1 080 0范圍內(nèi)的角.方法歸納(1)寫出終邊落在直線上的角的集合的步驟寫出在0° , 360。)內(nèi)相應(yīng)的角；由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；根據(jù)條件能合并一定合并，使結(jié)果簡(jiǎn)潔.(2)終邊相同角常用的三個(gè)結(jié)論終邊相同的角之間相差360。的整數(shù)倍；終邊在同一直線上的角之間相差180。的整數(shù)倍；終邊在相互垂直的

11、兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.跟蹤訓(xùn)練2寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中滿足一 360° < a <720°的元素寫出來(lái).(1)60 ° ；(2) 210° ;(3)364 ° 13'.解析：(1) S= a | a = 60 + k , 360 , k C Z.當(dāng) k=-1 時(shí)，a = 300 ;當(dāng) k = 0 時(shí)，a = 60 ;當(dāng) k = 1 時(shí)，a = 420 .S 中滿足 360° < a <720° 的元素是300° , 60° ,

12、420° .(2) S= a | a = 210° + k 360° , kC Z.當(dāng) k = 0 時(shí)，a = 210 ;當(dāng) k= 1 時(shí)，a = 150 ;當(dāng) k = 2 時(shí)，a = 510 .S 中滿足一 360° & a <720° 的元素是一210° , 150° , 510° .(3) S= a | a =364° 13' + k 360° , kCZ.當(dāng) k= 2 時(shí)，a = 355° 47'當(dāng) k= - 1 時(shí)，a =4° 13&#

13、39;當(dāng) k=0 時(shí)，a =364° 13'.S 中滿足一360° & a <720° 的元素是一355° 47' , 4° 13' , 364° 13'.求與已知角a終邊相同的角時(shí)，首先將這樣的角表示成k - 360 ° + a (k C Z)的形式,然后采用賦值法求解相應(yīng)不等式，確定 k的值，求出滿足條件的角.題型三 象限角與區(qū)間角的表示教材P170例1例3在0°360°范圍內(nèi)，找出與一950° 12'角終邊相同的角，并判定它是第幾象 限

14、角.【解析】950° 12' =129° 48' -3X360° ,所以在0°360°范圍內(nèi)，與950° 12'角終邊相同的角是 129° 48',它是第二象限角.先求出與一950 ° 12 '終邊相同的角，再判斷是第幾象限角.教材反思象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定.依據(jù)是終邊相同的角的概念，因?yàn)?°360。之間的角的終邊與坐標(biāo)系中過(guò)原點(diǎn)的射線可建立對(duì)應(yīng)的關(guān)系.(2)將角轉(zhuǎn)化到0°360°范圍內(nèi).在直角坐標(biāo)平面內(nèi)， 在0°360&#

15、176;范圍內(nèi)沒(méi)有兩個(gè) 角終邊是相同的.跟蹤訓(xùn)練3 (1)若a是第四象限角，則一a 一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合.解析：(1)因?yàn)閍是第四象限角，所以 k 360° -90° < a<k- 360° , k C Z.所以一k - 360° <- a <k 360° +90； kC Z,由此可知一a是第一象限角.依題意寫出a的范圍，再求一a的范圍.(2)若角 a 的終邊落在 OAJ：,則 a =30° +360° k, k

16、CZ.若角a的終邊落在OB±,則a =135° +360° k, kCZ.所以，角a的終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)，30° +360° - kWaWl35° +360° - k, kC Z.故角 a 的取值集合為a|30° +360° kWaWl35° +360° k, kCZ.由圖寫出終邊 OA表示的角，終邊 OB表示的角，再求陰影的范圍.答案：(1)A(2)見(jiàn)解析時(shí)訓(xùn)練學(xué)業(yè)達(dá)林的溫送松 酒移移陽(yáng)送試腐流僦儂激%哂命*、選擇題1 .下列角中，終邊在 y軸非負(fù)半軸上的是()A. 45

17、76;B , 90°C. 180° D . 270解析：根據(jù)角的概念可知，90°角是以 x軸的非負(fù)半軸為始邊，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90。，故其終邊在y軸的非負(fù)半軸上.答案：B2 .把一條射線繞著端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)A. 120° B , 120°C. 240° D , 240°解析：一條射線繞著端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 答案：D3.與一457°角終邊相同的角的集合是(A. a |a=k-360°+457°,kCZB. a |a=k-360°+97° ,k ZC. a |a=k-360&#

18、176;+263°,kCZD. a |a=k-360°-263°,kCZ解析：263° = 457° +360° X 2,所以240°所形成的角是()240°所形成的角是240° ,故選 D.)263°角與一 457°角的終邊相同，所以與一457°角終邊相同的角可寫作a =k - 360° +263° , k C Z.答案：C4 .若a為銳角，則下列各角中一定為第四象限角的是()A. 90° a B . 90° + aC. 360

19、76; a D . 180° + a解析：:。< a <90° ,270° <360° a <360° ,故選 C.答案：C二、填空題5 .圖中從OA旋轉(zhuǎn)到OB OB, OB時(shí)所成的角度分別是 解析：圖(1)中的角是一個(gè)正角，a =390° .圖(2)中的角是一個(gè)負(fù)角、一個(gè)正角，3 =-150° , 丫 =60° .答案：390°-150°60°6 .已知角a與2a的終邊相同，且 a 0 ° , 360° ),則角 a =.解析：由條件知，2

20、 a = a + k , 360° ,所以 a = k , 360 ( kC Z),因?yàn)?a 0 ° , 360 ),所以 a = 0 .答案：0°7 .如圖，終邊在陰影部分內(nèi)的角的集合為 .解析：先寫出邊界角，再按逆時(shí)針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，則得 a |30 ° + k - 360° < a <150° + k - 360° , kCZ.答案： a |30 ° + k 360° & a <150° + k - 360° , kC Z三、解答題8 .在0。360。范

21、圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是第幾象限角：(1)549 ° ; (2) -60° ; (3) -503° 36'.解析：(1)549 ° =189° +360° ,而 180° <189° <270° ,因此，549° 角為第三象限角，且在0°360°范圍內(nèi)，與189°角有相同的終邊.(2) -60° =300° 360° ,而 270° <300° <360°

22、; ,因此，60° 角為第四象限角, 且在0°360°范圍內(nèi)，與 300°角有相同的終邊.(3) 503° 36' = 216° 24 2X360° ,而 180° <216° 24' <270° . 因此，503° 36'角是第三象限角，且在 0°360°范圍內(nèi)，與 216° 24'角有相同的終邊.一 .-儀 -.9 .已知“與240。角的終邊相同，判斷 萬(wàn)是第幾象限角.解析：由儀=240° + k - 360° , k Z,得了=120° + k - 180 , kC Z.若k為偶數(shù)，設(shè)k=2n, n Z, . a% .則5=120° + n 360 , nC Z,萬(wàn)與12