構(gòu)造法求數(shù)列通項公式

1、構(gòu)造法求數(shù)列通項公式求數(shù)列通項公式是高考考察的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，本文將通過構(gòu)造等比數(shù)列或等差數(shù)列求數(shù)列 通項公式作以簡單介紹，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。一、構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列通項公式運(yùn)用乘、除、去分母、添項、去項、取對數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公式變形成為f (n 1) f (n)=A (其中A為常數(shù))形式，根據(jù)等差數(shù)列的定義知f(n)是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，先求出f (n)的通項公式，再根據(jù) f (n)與an,從而求出an的通項公式。例1在數(shù)列an中,1a1 = 一23anan 1= (n N ),求數(shù)列an通項公式.an 33an g 斛析：由an+1= a3倚,an+1 an=3 an+

2、1 -3 an=0 ,兩邊同除以 an+i an得,11an 1an設(shè)bn=/，則bn+1- bn=1,根據(jù)等差數(shù)列的定義知, an3數(shù)列 bn是首相bi=2,公差d=：的等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得bn=2 + 1 (n-1) =4n+333.數(shù)列通項公式為 an=亮評析：本例通過變形，將遞推公式變形成為A形式,應(yīng)用等差數(shù)列的通an 1an 1 項公式，先求出 的通項公式，從而求出 an的通項公式。an例2在數(shù)列 an中，Sn是其前n項和，且SnW0,ai=1,2Sn2、an= "2S' (n > 2), 求 Sn 與 an。2S2_解析：當(dāng) n>2 時，

3、an=Sn-Sn-1代入 an= 2S 得，Sn-Sn-1 =3n 12S 22s ,變形整理得 Sn-Sn-1= SnSn-1 3n 1兩邊除以SnSn-1得，g-9SnSn 1=2, . 擊是首相為1,公差為2的等差數(shù)列 Sn卷=1+2 (n-1) =2n-1,Sn= "2 (n > 2),n=1 也適合，：Sn= 217 (n > 1)當(dāng)22時，。品自仁2nL7- 2h =-4口2 28n 3，n=1不滿足此式,a1 an=124n2 8n 3評析：本例將所給條件變形成f(n 1) f(n) A,先求出f(n)的通項公式，再求出原數(shù)列的通項公式，條件變形是難點(diǎn)。二、

4、構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列通項公式運(yùn)用乘、除、去分母、添項、去項、取對數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公式變形成為 f(n+1)=Af (n)(其中A為非零常數(shù))形式，根據(jù)等比數(shù)列的定義知f(n)是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，先求出f(n)的通項公式，再根據(jù) f (n)與an,從而求出an的通項公式。例3在數(shù)列 an中，ai=2, an=an-i2(n >2),求數(shù)列 an通項公式。解析：< ai=2 , an=an-i2(n > 2)>0,兩邊同時取對數(shù)得，lg an=2lg a n-i:黑 =2,根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列l(wèi)g an是首相為lg2,公比為2的等比數(shù)歹U,g

5、an 1n 1根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得lg an=2n-1lg2= lg 22n.數(shù)列通項公式為 an=22評析：本例通過兩邊取對數(shù)，變形成log an 2 log an 1形式，構(gòu)造等比數(shù)列l(wèi)og an,先求出log an的通項公式，從而求出an的通項公式例4在數(shù)列 an中，a1=1, an+1=4an+3n+1 ,求數(shù)列 an)通項公式。解析：設(shè) an+1+A (n+1) +B=4 (an+An+B ), (A、B 為待定系數(shù))，展開得 &+1=4an+3An+3B-A ,與已知比較系數(shù)得3A 3A A 13B A 1 B 4an+1+ (n+1) + f =4 (ai+n+5),

6、根據(jù)等比數(shù)列的定義知,數(shù)列 an+n+ 2 是首項為8 ,公比為q=3的等比數(shù)列，an+n+ -2 = "8 X3”13333.數(shù)列通項公式為an= '3- x 3 -n- 3評析：待定系數(shù)法是構(gòu)造數(shù)列的常用方法。例5 在數(shù)列 an中，a1=1 , an+1an=4n ,求數(shù)列 an通項公式。解析：an+1an=4n.anan-1=4 n-1兩式相除得 普 =4,an 1a1, a3, a5與a 2, a 4 , a 6 是首相分別為a1，a 2 ,公比都是4的等比數(shù)列,又丁 a1=1, an+1an=4n ,a2=4n 14 丁 nan=n42n2求an練習(xí)：1.已知數(shù)列a

7、n滿足a1 , an 1解:由條件知an 1分別令1,2,3,(n1),代入上式得(n 1)個等式累乘之,a2a3a4a1a2a3解:之,anananan 1a123'an23n由條件知an 1an分別令1,2,3,(n1),代入上式得(n 1)個等式累乘空？電？旦？anana1a2a3an 1a1a123'an23n2.數(shù)列a n滿足a1=1, an1= 2an1+1(n>2),求數(shù)列an的通項公式。1、1一 一 1 ,斛：由 a n = _ a n 1+1 (n > 2) 4a a n _ 2= (an1 2),而 a1 2=1 - 2 1,22一,i，1，數(shù)列

8、 an2是以;為公比，一1為首項的等比數(shù)列 a n 2=(工)2 a n =2 -2)3.數(shù)列an中，a11®2,3an 22a n 1an,求數(shù)列an的通項公式。解：由3an 22an1an得ann ,設(shè) an 2kan 1h(an 1 kan)比較系數(shù)得k23'kh解得1,h3,h1若取k1,h,則有anan 11(an 3an), , an 1an是以1 , r 一為公比,3以a?a11為首項的等比數(shù)列, , an 1/1 n 1an ( -)3由逐差法可得an (an an1)(an 1an(a2a1)a11 1、n 2 =(3)1 n 33)3)1-)1 13i(

9、1)n13TT-331=- 1 (41、n 13)4.設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn ,對于任意正整數(shù) n,都有等式：2an 2an 4Sn成立，求an的通項an.-F22斛：an 2an 4snHn 1 2dn 1 4Sn 1 , , an an 12an2an 14( Sn Sn 1)4an(an an 1)(an an12)0 , an an 10 ,anan 12.即 an是以 2 為公差的等差數(shù)列，且a12 2al 4ala1 2.an 2 2(n 1) 2n(1)通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列an+k的形式求解。一般地，形如 an1=p an+q(pw1, pqw0)型的

10、遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)an1+k=p (an+k)與原式比較系數(shù)可得 pk-k=q,即k=q,從而得等比數(shù)列an+k。 p 1(2)通過分解系數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列an an 1的形式求解。這種方法適用于an 2pan 1 qan型的遞推式，通過對系數(shù) p的分解，可得等比數(shù)列 anan 1：設(shè)an 2kan 1 h(an 1 kan),比較系數(shù)得h k p, hk q ,可解得 h, k。3、構(gòu)造法構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中，通過對條件與結(jié)論的充分剖析，聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造” 若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項公式(1)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是