地圖投影與高斯投影

1、第七章 地圖投影與高斯投影 本章提要本章介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影過程。研究如何將大地坐標(biāo)、大地線長度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問題。重點(diǎn)講述高斯投影的原理和方法，解決由球面到平面的換算問題，解決相鄰帶的坐標(biāo)坐標(biāo)換算。討論在工程應(yīng)用中，工程測量投影面與投影帶選擇。§7.1 高斯投影概述1 投影與變形 地圖投影：就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個(gè)問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)?？捎孟旅鎯蓚€(gè)方程式（坐標(biāo)投影公式）表示： 式中是橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，而是該點(diǎn)投影后的平面直角坐標(biāo)。 投影變形：橢球面是一個(gè)凸起的、不

2、可展平的曲面。將這個(gè)曲面上的元素（距離、角度、圖形）投影到平面上，就會(huì)和原來的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱為投影變形。投影變形的形式：角度變形、長度變形和面積變形。地圖投影的方式：（1）等角投影投影前后的角度相等，但長度和面積有變形；（2）等距投影投影前后的長度相等，但角度和面積有變形；（3）等積投影投影前后的面積相等，但角度和長度有變形。 2 控制測量對(duì)地圖投影的要求 （1）應(yīng)當(dāng)采用等角投影（又稱為正形投影）采用正形投影時(shí)，在三角測量中大量的角度觀測元素在投影前后保持不變；在測制的地圖時(shí)，采用等角投影可以保證在有限的范圍內(nèi)使得地圖上圖形同橢球上原形保持相似。 （2）在采用的正形投影中

3、，要求長度和面積變形不大，并能夠應(yīng)用簡單公式計(jì)算由于這些變形而帶來的改正數(shù)。 （3）能按分帶投影3 高斯投影的基本概念（1）基本概念：如圖1所示，假想有一個(gè)橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線（此子午線稱為中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面，如圖2所示，此投影為高斯投影。高斯投影是正形投影的一種。圖1 圖2（2）分帶投影l(fā) 高斯投影帶：自子午線起每隔經(jīng)差自西向東分帶，依次編號(hào)1,2,3,。我國帶中央子午線的經(jīng)度，由起每隔而至,共計(jì)11帶（1323帶），帶號(hào)用表

4、示，中央子午線的經(jīng)度用表示，它們的關(guān)系是,如圖所示。l 高斯投影帶：它的中央子午線一部分同帶中央子午線重合，一部分同帶的分界子午線重合，如用表示帶的帶號(hào)，表示帶中央子午線經(jīng)度，它們的關(guān)系圖8-4所示。我國帶共計(jì)22帶（2445帶）。 （3）高斯平面直角坐標(biāo)系在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸。在我國坐標(biāo)都是正的，坐標(biāo)的最大值（在赤道上）約為330km。為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加上500 OOOm。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號(hào)。這種坐標(biāo)稱為國家統(tǒng)一坐標(biāo)。例如，有一點(diǎn)=19 123

5、，該點(diǎn)位在帶內(nèi)，其相對(duì)于中央子午線而言的橫坐標(biāo)則是：首先去掉帶號(hào)，再減去500000m,最后得=-376 543.211m。（4）高斯平面投影的特點(diǎn)中央子午線無變形；無角度變形，圖形保持相似； 離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。5 橢球面三角系化算到高斯投影面 將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是： （1）將起始點(diǎn)的大地坐標(biāo)歸算為高斯平面直角坐標(biāo)；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)反算。 （2）通過計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角及方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊的坐標(biāo)方位角。 （3）通過計(jì)算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形

6、內(nèi)角。 （4）通過計(jì)算距離改正，將橢球面上起算邊的長度歸算到高斯平面上的直線長度。 （5）當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫?，需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。§7.2 正形投影的一般條件 高斯投影首先必須滿足正形投影的一般條件。圖1為橢球面，圖2為它在平面上的投影。在橢球面上有無限接近的兩點(diǎn)和，投影后為和，其坐標(biāo)均已注在圖上，為大地線的微分弧長，其方位角為。在投影面上，建立如圖2所示的坐標(biāo)系，的投影弧長為。圖2 圖37橢球面到平面的正形投影一般公式稱柯西-黎曼條件： 平面正形投影到橢球面上的一般條件： §7.3 高斯平面直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系1 高斯投影坐標(biāo)正算公式（1）高斯投影正算：

7、已知橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，求該點(diǎn)在高斯投影平面上的直角坐標(biāo)，即的坐標(biāo)變換。（2）投影變換必須滿足的條件l 中央子午線投影后為直線；l 中央子午線投影后長度不變；l 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。（3）投影過程 在橢球面上有對(duì)稱于中央子午線的兩點(diǎn)和,它們的大地坐標(biāo)分別為（）及（），式中為橢球面上點(diǎn)的經(jīng)度與中央子午線的經(jīng)度差：, 點(diǎn)在中央子午線之東, 為正，在西則為負(fù)，則投影后的平面坐標(biāo)一定為和。（4）計(jì)算公式當(dāng)要求轉(zhuǎn)換精度時(shí)，用下式計(jì)算： 2 高斯投影坐標(biāo)反算公式（1）高斯投影反算：已知某點(diǎn)的高斯投影平面上直角坐標(biāo)，求該點(diǎn)在橢球面上的大地坐標(biāo)，即的坐標(biāo)變換。（2）投影變換必須滿足的條件l

8、坐標(biāo)軸投影成中央子午線，是投影的對(duì)稱軸；l 軸上的長度投影保持不變；l 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。（3）投影過程根據(jù)計(jì)算縱坐標(biāo)在橢球面上的投影的底點(diǎn)緯度，接著按計(jì)算（）及經(jīng)差，最后得到、。（4）計(jì)算公式 當(dāng)要求轉(zhuǎn)換精度至?xí)r，可簡化為下式：3 高斯投影相鄰帶的坐標(biāo)換算（1）產(chǎn)生換帶的原因 高斯投影為了限制高斯投影的長度變形，以中央子午線進(jìn)行分帶，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。因而，使得統(tǒng)一的坐標(biāo)系分割成各帶的獨(dú)立坐標(biāo)系。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的點(diǎn)坐標(biāo)，有時(shí)工程測量中要求采用帶、帶或任意帶，而國家控制點(diǎn)通常只有帶坐標(biāo)，這時(shí)就產(chǎn)生了帶同帶（或帶、任意帶）之間的相

9、互坐標(biāo)換算問題，如圖所示： （2）應(yīng)用高斯投影正、反算公式間接進(jìn)行換帶計(jì)算l 計(jì)算過程把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過渡坐標(biāo)。首先把某投影帶（比如帶）內(nèi)有關(guān)點(diǎn)的平面坐標(biāo)，利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標(biāo)，進(jìn)而得到；然后再由大地坐標(biāo)，利用投影正算公式換算成相鄰帶的（第帶）的平面坐標(biāo)。在這一步計(jì)算時(shí)，要根據(jù)第帶的中央子午線來計(jì)算經(jīng)差，亦即此時(shí)。l 算例在中央子午線的帶中，有某一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，現(xiàn)要求計(jì)算該點(diǎn)在中央子午線的第帶的平面直角坐標(biāo)。l 計(jì)算步驟 根據(jù),利用高斯反算公計(jì)算換算,，得到，。 采用已求得的,，并顧及到第帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計(jì)算第帶的直角坐標(biāo), 為了檢核計(jì)

10、算的正確性，要求每步都應(yīng)進(jìn)行往返計(jì)算4 子午線收斂角公式（1）子午線收斂角的概念 如圖所示，、及分別為橢球面點(diǎn)、過點(diǎn)的子午線及平行圈在高斯平面上的描寫。由圖可知，所謂點(diǎn)子午線收斂角就是在上的切線 與坐標(biāo)北之間的夾角，用表示。 在橢球面上，因?yàn)樽游缇€同平行圈正交，又由于投影具有正形性質(zhì)，因此它們的描寫線及也必正交，由圖可見，平面子午線收斂角也就是等于在點(diǎn)上的切線同平面坐標(biāo)系橫軸的傾角。（2）由大地坐標(biāo)計(jì)算平面子午線收斂角公式 （3）由平面坐標(biāo)計(jì)算平面子午線收斂角的公式上式計(jì)算精度可達(dá)1"。如果要達(dá)到0.001"計(jì)算精度，可用下式計(jì)算：（4）實(shí)用公式l 已知大地坐標(biāo)計(jì)算子午線收

11、斂角l 已知平面坐標(biāo)計(jì)算子午線收斂角§7.4橢球面上觀測成果歸化到高斯平面上計(jì)算1 概述由于高斯投影是正形投影，橢球面上大地線間的夾角與它們?cè)诟咚蛊矫嫔系耐队扒€之間的夾角相等。為了在平面上利用平面三角學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算，須把大地線的投影曲線用其弦線來代替?？刂凭W(wǎng)歸算到高斯平面上的內(nèi)容有：（1）起算點(diǎn)大地坐標(biāo)的歸算將起算點(diǎn)大地坐標(biāo)歸算為高斯平面直角坐標(biāo)。（2）起算方向角的歸算。（3）距離改化計(jì)算橢球面上已知的大地線邊長（或觀測的大地線邊長）歸算至平面上相應(yīng)的弦線長度。（4）方向改計(jì)算橢球面上各大地線的方向值歸算為平面上相應(yīng)的弦線方向值。 2 方向改化（1）概念如圖所示，若將橢球面上的大地

12、線方向改化為平面上的弦線ab方向，其相差一個(gè)角值,即稱為方向改化值。（2）方向改化的過程 如圖所示，若將大地線方向改化為弦線ab方向。過,點(diǎn)，在球面上各作一大圓弧與軸子午線正交，其交點(diǎn)分別為,，它們?cè)谕队懊嫔系耐队胺謩e為和。由于是把地球近似看成球，故和都是垂直于軸的直線。在,點(diǎn)上的方向改化分別為和。當(dāng)大地線長度不大于10km，坐標(biāo)不大于l00km時(shí)，二者之差不大于0.05"，因而可近似認(rèn)為=。（3）計(jì)算公式球面角超公式為： 適用于三、四等三角測量的方向改正的計(jì)算公式：式中，為a、b兩點(diǎn)的y坐標(biāo)的自然的平均值。3 距離改化（1）概念如圖所示，設(shè)橢球體上有兩點(diǎn)及其大地線，在高斯投影面上的

13、投影為及。是一條曲線，而連接兩點(diǎn)的直線為如前所述由化至所加的改正，即為距離改正。 （2）長度比和長度變形長度比:指橢球面上某點(diǎn)的一微分元素，其投影面上的相應(yīng)微分元素，則 稱為該點(diǎn)的長度比。長度變形:由于長度比恒大于1，故稱為長度變形。（3）長度比的計(jì)算公式式中：表示按大地線始末兩端點(diǎn)的平均緯度計(jì)算的橢球的平均曲率半徑。為投影線兩端點(diǎn)的平均橫坐標(biāo)值。（4）長度比和長度變形的特點(diǎn)Ø 長度比隨點(diǎn)的位置而異，但在同一點(diǎn)上與方向無關(guān)；Ø 當(dāng)y=0(或l=0)時(shí)，m=1，即中央子午線投影后長度不變；Ø 當(dāng)y0(或l0)時(shí)，即離開中央子午線時(shí)，長度設(shè)形（m-1）恒為正，離開中央

14、子午線的邊長經(jīng)投影后變長。Ø 長度變形（）與（或）成比例地增大，對(duì)于在橢球面上等長的子午線來說，離開中央子午線愈遠(yuǎn)的那條，其長度變形愈大。（5）距離改化計(jì)算公式或§7.5 工程測量投影面與投影帶選擇1概述對(duì)于工程測量，其中包括城市測量，既有測繪大比例尺圖的任務(wù)，又有滿足各種工程建設(shè)和市政建設(shè)施工放樣工作的要求。如何根據(jù)這些目的和要求合適地選擇投影面和投影帶，經(jīng)濟(jì)合理地確立工程平面控制網(wǎng)的坐標(biāo)系，在工程測量是一個(gè)重要的課題。2 工程測量中選擇投影面和投影帶的原因 （1）有關(guān)投影變形的基本概念 平面控制測量投影面和投影帶的選擇，主要是解決長度變形問題。這種投影變形主要是由于以下

15、兩種因素引起的： 實(shí)測邊長歸算到參考橢球面上的變形影響，其值為：式中：為歸算邊高出參考橢球面的平均高程，為歸算邊的長度，為歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑。歸算邊長的相對(duì)變形： 值是負(fù)值，表明將地面實(shí)量長度歸算到參考橢球面上，總是縮短的；值與,成正比，隨增大而增大。 將參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的變形影響，其值為：式中：，即為投影歸算邊長,為歸算邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)平均值，為參考橢球面平均曲率半徑。投影邊長的相對(duì)投影變形為值總是正值，表明將橢球面上長度投影到高斯面上，總是增大的；值隨著平方成正比而增大，離中央子午線愈遠(yuǎn)，其變形愈大。 （2）工程測量平面控制網(wǎng)的精度要求工程測量控制網(wǎng)不但應(yīng)

16、作為測繪大比例尺圖的控制基礎(chǔ)，還應(yīng)作為城市建設(shè)和各種工程建設(shè)施工放樣測設(shè)數(shù)據(jù)的依據(jù)。為了便于施工放樣工作的順利進(jìn)行，要求由控制點(diǎn)坐標(biāo)直接反算的邊長與實(shí)地量得的邊長，在長度上應(yīng)該相等，這就是說由上述兩項(xiàng)歸算投影改正而帶來的長度變形或者改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度要求。一般來說，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測量精度為1/5 0001/20 000。因此，由投影歸算引起的控制網(wǎng)長度變形應(yīng)小于施工放樣允許誤差的1/2，即相對(duì)誤差為1/10 0001/40 000，也就是說，每公里的長度改正數(shù)不應(yīng)該大于102.5cm。3 投影變形的處理方法（1）通過改變從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形，這

17、種方法通常稱為抵償投影面的高斯正形投影；（2）通過改變，從而對(duì)中央子午線作適當(dāng)移動(dòng)，來抵償由高程面的邊長歸算到參考橢球面上的投影變形，這就是通常所說的任意帶高斯正形投影；（3）通過既改變（選擇高程參考面），又改變（移動(dòng)中央子午線），來共同抵償兩項(xiàng)歸算改正變形，這就是所謂的具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影。4 工程測量中幾種可能采用的直角坐標(biāo)系（1）國家?guī)Ц咚拐瓮队捌矫嬷苯亲鴺?biāo)系 當(dāng)測區(qū)平均高程在l00m以下，且值不大于40km時(shí)，其投影變形值及均小于2.5cm，可以滿足大比例尺測圖和工程放樣的精度要求。，在偏離中央子午線不遠(yuǎn)和地面平均高程不大的地區(qū)，不需考慮投影變形問題，直接采用國家統(tǒng)一的

18、帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系作為工程測量的坐標(biāo)系。（2）抵償投影面的帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系在這種坐標(biāo)系中，依然采用國家?guī)Ц咚雇队?，但投影的高程面不是參考橢球面而是依據(jù)補(bǔ)償高斯投影長度變形而選擇的高程參考面。在這個(gè)高程參考面上，長度變形為零。于是，當(dāng)一定時(shí)，可求得： 則投影面高為：算例：某測區(qū)海拔=2 000（m），最邊緣中央子午線100（km），當(dāng)=1000（m）時(shí)，則有 而 超過允許值（102.5cm）。這時(shí)為不改變中央子午線位置，而選擇一個(gè)合適的高程參考面，經(jīng)計(jì)算得高差：將地面實(shí)測距離歸算到： （3）任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系在這種坐標(biāo)系中，仍把地面觀測結(jié)果歸算到參考橢球面上，

19、但投影帶的中央子午線不按國家?guī)У膭澐址椒ǎ且罁?jù)補(bǔ)償高程面歸算長度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線。這就是說，在（8-173）式中，保持不變，于是求得算例：某測區(qū)相對(duì)參考橢球面的高程=500m，為抵償?shù)孛嬗^測值向參考橢球面上歸算的改正值，依上式算得即選擇與該測區(qū)相距80km處的子午線。此時(shí)在=80km處，兩項(xiàng)改正項(xiàng)得到完全補(bǔ)償。但在實(shí)際應(yīng)用這種坐標(biāo)系時(shí)，往往是選取過測區(qū)邊緣，或測區(qū)中央，或測區(qū)內(nèi)某一點(diǎn)的子午線作為中央子午線，而不經(jīng)過上述的計(jì)算。 （4）具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 在這種坐標(biāo)系中，往往是指投影的中央子午線選在測區(qū)的中央，地面觀測值歸算到測區(qū)平均高程面

20、上，按高斯正形投影計(jì)算平面直角坐標(biāo)。由此可見，這是綜合第二、三兩種坐標(biāo)系長處的一種任意高斯直角坐標(biāo)系。顯然，這種坐標(biāo)系更能有效地實(shí)現(xiàn)兩種長度變形改正的補(bǔ)償。 （5）假定平面直角坐標(biāo)系當(dāng)測區(qū)控制面積小于100km2時(shí)，可不進(jìn)行方向和距離改正，直接把局部地球表面作為平面建立獨(dú)立的平面直角坐標(biāo)系。這時(shí)，起算點(diǎn)坐標(biāo)及起算方位角，最好能與國家網(wǎng)聯(lián)系，如果聯(lián)系有困難，可自行測定邊長和方位，而起始點(diǎn)坐標(biāo)可假定。這種假定平面直角坐標(biāo)系只限于某種工程建筑施工之用。本章作業(yè) 1為什么要研究投影？我國目前采用的是何種投影？2控制測量對(duì)投影提出什么樣的基本要求？ 3橢球是一個(gè)不可展曲面，將此曲面上的測量要素轉(zhuǎn)換到平面

21、上去，必然會(huì)產(chǎn)生變形，此種變形一般可分為哪幾類？我們可采取什么原則對(duì)變形加以控制和運(yùn)用?4某點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)X、Y是否等于橢球面上該點(diǎn)至赤道和中央子午線的距離？為什么？ 5高斯投影應(yīng)滿足哪些條件？60帶和30 帶的分帶方法是什么？如何計(jì)算中央子午線的經(jīng)度？ 6為什么在高斯投影帶上，某點(diǎn)的坐標(biāo)值有規(guī)定值與自然值之分，而坐標(biāo)值卻沒有這種區(qū)分?在哪些情況下應(yīng)采用規(guī)定值？在哪些情況下應(yīng)采用自然值？7正形投影有哪些特征？何謂長度比？8假定在我國有3個(gè)控制點(diǎn)的Y坐標(biāo)分別為：18643257.13 m，38425614.70 m，20376851.00 m。試問：（1）它們是°帶還是°帶

22、的坐標(biāo)值？（2）各點(diǎn)所在帶分別是是哪一帶？（3）各自中央子午線的經(jīng)度是多少？（4）這些點(diǎn)各自在帶內(nèi)的哪一象限？9設(shè)ABC為橢球面上三等三角網(wǎng)的一個(gè)三角形，試問：（1）依正形投影A、B、C三點(diǎn)處投影至平面后的長度比是否相等? （2）如若不等，還能保持投影的等角性質(zhì)和圖形相似嗎？如若相等，豈不是長度比和點(diǎn)的位置無關(guān)嗎? 10寫出按高斯平面坐標(biāo)計(jì)算長度比的公式，并依公式闡述高斯投影的特點(diǎn)和規(guī)律。11在討論高斯投影時(shí)提出了正形投影的充要條件(又稱柯西黎曼條件)，它對(duì)問題的研究有什么作用？這個(gè)條件是如何導(dǎo)出的？12高斯投影坐標(biāo)計(jì)算公式包括正算公式和反算公式兩部分，各解決什么問題？ 13試述建立高斯投影坐標(biāo)正算公式的基本思路及主要過程。14高斯投影正算是已知 求 ，由于 值不大，故此公式可以認(rèn)為是在 點(diǎn)上展開 的冪級(jí)數(shù)；反算公式中底點(diǎn)緯度Bf是指 ，由于 值不大，故此公式可認(rèn)為是在 點(diǎn)上展開 的冪級(jí)數(shù)。 15什么是平面子午線收斂角？試用圖表示平面子午線收斂角之下列特性