壓桿穩(wěn)定歐拉公式錯誤剖析

1、壓桿穩(wěn)定歐拉公式錯誤剖析林伊寧（廣西建設(shè)工程質(zhì)量安全監(jiān)督總站，南寧，530022）卷首語2008年7月底，中國計算力學(xué)大會2008年年會暨第七屆南方計算力學(xué)學(xué)術(shù)會議在湖北宜昌召開。會上共發(fā)布了254篇論文，發(fā)布時間限制為每篇10分鐘，評委提問2分鐘。本文有幸在會上發(fā)布，并承蒙評委厚愛破例得到10分鐘的提問。會議期間，作者拜訪了與會的中國工程院某院士，想和他討論關(guān)于歐拉公式的問題，院士說：“你還是多讀些書吧，歐拉公式已經(jīng)使用100多年了，沒有問題的”，一口回絕了作者。作為世界公認的經(jīng)典公式，歐拉公式如果有錯，此錯必定很隱蔽，否則它就不會成為經(jīng)典。要討論這些隱蔽的錯誤，不是10分鐘就能說清楚的，更

2、不是院士的一句“沒有問題”就能欽定的。對于歐拉公式存在的問題，作者整整思考了一年，文中所述內(nèi)容都經(jīng)過了深思熟慮。如果你對此有興趣，不妨?xí)簳r拋開歐拉必然正確的成見，與作者一起闖一闖歐拉布下的迷宮,然后再作出判斷：歐拉公式到底是對還是錯？歡迎對本文進行討論，郵件請發(fā)往：GXZLJD126.COM,并請注明：“歐拉公式討論”。作者：林伊寧2008年10月15日特別說明：作者曾撰寫重建建筑施工模板支架安全的力學(xué)理論體系一文，將其發(fā)表于建筑安全雜志（刊號）,在該雜志的2007年11月號、12月號及2008年1月號上連載。該文已對壓桿穩(wěn)定歐拉公式的錯誤作了分析?，F(xiàn)作者將該文有關(guān)內(nèi)容摘出，修改補充后寫成本文

3、，以作學(xué)術(shù)討論之用。目 錄0 引言11 歐拉公式的推導(dǎo)過程111 歐拉公式的力學(xué)模型1111 真實狀態(tài)下的壓彎1112 理想狀態(tài)下的失穩(wěn)112 歐拉公式的推導(dǎo)1121 臨界力歐拉公式的推導(dǎo)1122 臨界應(yīng)力歐拉公式的推導(dǎo)32 對歐拉公式錯誤的剖析321一個反例322壓桿臨界狀態(tài)不存在3221 歐拉無法證明臨界狀態(tài)存在3222 真實狀態(tài)下的壓桿臨界狀態(tài)不存在4223 理想狀態(tài)下的壓桿臨界狀態(tài)不存在5224 對實驗結(jié)果的看法623臨界力歐拉公式的錯誤624臨界應(yīng)力歐拉公式的錯誤725 “理想狀態(tài)”之說抹不去歐拉的錯誤826 結(jié)論 83 結(jié)束語9 壓桿穩(wěn)定歐拉公式錯誤剖析林伊寧（廣西建設(shè)工程質(zhì)量安全

4、監(jiān)督總站，南寧，530022）摘 要 分析歐拉公式之后發(fā)現(xiàn)：壓桿臨界狀態(tài)不存在，歐拉公式的推導(dǎo)過程和所得結(jié)果是錯誤的。關(guān)鍵詞 歐拉公式，臨界狀態(tài)，臨界力，臨界應(yīng)力0 引言壓桿穩(wěn)定歐拉公式（以下簡稱“歐拉公式”），是材料力學(xué)的經(jīng)典公式，是壓桿計算的理論基礎(chǔ)。但是，近年來南京、杭州、北京、南寧、鄭州、侯馬（山西）、合肥、長沙等地施工模板相繼垮塌的事實表明，現(xiàn)行的壓桿計算理論有缺陷。對壓桿計算理論溯源后發(fā)現(xiàn)，其所依據(jù)的歐拉公式是錯誤的。圖1 壓桿受壓變彎為使論述過程完整，本文在第1章摘引出歐拉公式推導(dǎo)的全過程，在第2章對其錯誤進行剖析。1 歐拉公式的推導(dǎo)過程11 歐拉公式的力學(xué)模型111 真實狀態(tài)下

5、的壓彎細長桿受壓會變彎，原因是受加工精度限制和材料不均勻的影響，使得桿件的質(zhì)心軸是一條未知曲線，壓力的作用線與質(zhì)心軸不可能重合，偏心距不為零。細長桿受壓總會變彎如圖1所示，此種彎曲稱為壓彎，由壓彎引起的破壞稱為壓彎破壞。壓彎破壞是真實的破壞形式。112 理想狀態(tài)下的失穩(wěn)圖2 歐拉的壓桿臨界狀態(tài)力學(xué)模型既然各桿件均有各自未知的質(zhì)心軸，所施加的壓力P又根本不可能與質(zhì)心軸重合，因此，以壓桿的真實受力狀態(tài)為依據(jù)來推導(dǎo)壓桿的一般計算公式是不可能的。于是在理想狀態(tài)下，歐拉建立了壓桿臨界狀態(tài)力學(xué)模型（本文僅以一端固定另一端自由的壓桿為例）：假想有一理想直桿，其質(zhì)心軸與豎向壓力P的作用線重合，在P作用下桿不發(fā)

6、生彎曲變形。在桿端加一橫向干擾力Q，此時桿發(fā)生彎曲變形如圖2（a）的虛線所示。若P小于某一臨界值Per，在撤去Q之后，桿恢復(fù)直線形狀如圖2（b），此時的桿處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。當(dāng)P等于某一臨界值Per時，在撤去Q之后，桿無法恢復(fù)直線形狀仍舊彎曲，此時的桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，已喪失承載力如圖2（c）。當(dāng)P繼續(xù)增大時，桿發(fā)生大彎曲而破壞。Per稱為 “臨界力”。在Per作用下桿的受力狀態(tài)稱為“臨界狀態(tài)”，其平衡性質(zhì)由直線形狀的穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化為曲線形狀的不穩(wěn)定平衡。平衡喪失穩(wěn)定性稱為“失穩(wěn)”，由“失穩(wěn)”引起的破壞稱為“失穩(wěn)破壞”。這是歐拉公式的力學(xué)模型，其中的臨界狀態(tài)是假想狀態(tài)，失穩(wěn)破壞是假想的破壞形式。

7、12 歐拉公式的推導(dǎo)121 臨界力歐拉公式的推導(dǎo)歐拉借用梁在純彎曲狀態(tài)下的撓曲線近似微分方程： (1)圖3 歐拉公式推導(dǎo)示意圖由圖3，得： (2)代入式（1），得： (3)令，代入式（3），得： (4)式（4）的通解為： (5)式（5）取一階導(dǎo)數(shù)，得： (6)邊界條件在處：，在處：將邊界條件分別代入式（5）、式（6），得：，再代入式（5），得： (7) (8)令，使式（8）成立，解出： 、 (9)取最小解： 由于設(shè)定 所以：于是得到一端固定另一端自由的壓桿臨界力歐拉公式： (10)對于各種約束條件下的壓桿臨界力，用統(tǒng)一表達式表達： (11)這便是壓桿臨界力歐拉公式的一般表達式。所謂臨界力，其含

8、義是，當(dāng)桿件承受的荷載達到時，桿件便喪失承載能力。122 臨界應(yīng)力歐拉公式的推導(dǎo)將臨界力除以桿的截面積，再作一系列的數(shù)學(xué)變換，得到臨界應(yīng)力歐拉公式： (12) (13) (14) (15)式中，是簡單的數(shù)學(xué)變換，（12）、（13）、（14）、（15）四式的意義是一樣的，所以在分析問題時，用其中一個式子便可。2 對歐拉公式錯誤的剖析21 一個反例設(shè)管材支架材料的彈性模量為E，管外徑為D，內(nèi)徑為d，支架中某桿的計算長度為，受壓，求其臨界應(yīng)力并作分析。將已知條件代入式（12），求得桿的臨界應(yīng)力為：按歐拉假設(shè)的原意，所謂臨界應(yīng)力，其含義應(yīng)該是，當(dāng)桿件橫截面上的應(yīng)力達到時，桿件便喪失承載能力。觀察本例的

9、，在管外徑D不變的情況下，內(nèi)徑d越大（即管越?。?，值就越大，壓桿就越不容易喪失承載能力。當(dāng)d無限接近D時，無限接近最大值。換句話說，管材壓桿，壁越薄其承載能力就越強，用相同材料制作，外徑相同時，易拉罐強于正常壁厚的管，于是可以節(jié)約大量的鋼材。這是一個違反常識的破綻，正因為這個破綻，使得歐拉公式的深層錯誤得以發(fā)現(xiàn)。22 壓桿臨界狀態(tài)不存在臨界狀態(tài)：如圖3撤去橫向干擾力Q后，當(dāng)時，當(dāng)時。221 歐拉無法證明臨界狀態(tài)存在考察歐拉公式推導(dǎo)過程中的式（8），可知歐拉自己無法證明臨界狀態(tài)的存在。 (8)當(dāng)時，式（8）成為：。即可以取任意值，可以為零也可以不為零。于是從中，歐拉解出臨界力： 歐拉認為，只要豎

10、向力P值在范圍內(nèi)，桿端回彈原位（在的關(guān)系中有存在的可能性）。但歐拉未考慮到問題的另一個方面，即當(dāng)時，式（8）也成立。此時式（8）成為：，這才是撤去橫向干擾力Q后，桿端彈回原位的確切表達式。所以通過可以求出使桿端彈回原位的豎向力的值。(教科書認為不合題意而將其排除的做法是錯誤的)重復(fù)121的推導(dǎo)過程，并將換為，當(dāng)推導(dǎo)到式（8）時，令，解出：、比較和，有： （=0除外）可見，除非豎向力為零，否則在撤去橫向干擾力Q之后，所有能使桿彈回原位的豎向力值均不在歐拉所設(shè)定的范圍之內(nèi)，可見：歐拉公式在推導(dǎo)過程中自相矛盾，歐拉無法證明自己假設(shè)的合理性，歐拉公式成立的前提條件壓桿臨界狀態(tài)沒有存在的依據(jù)。222 真

11、實狀態(tài)下的壓桿臨界狀態(tài)不存在為便于研究，設(shè)桿的橫截面為矩形，截面高度為h，在線彈性范圍內(nèi)工作。桿受壓時，其截面上的應(yīng)力狀態(tài)無非是以下三種情況之中的一種：圖4 偏心受壓應(yīng)力狀態(tài)圖5 界點應(yīng)力狀態(tài)圖6 壓彎應(yīng)力狀態(tài)圖4所示的P力偏心距e不超出某一范圍，桿橫截面上全部應(yīng)力都是壓應(yīng)力并呈梯形分布。圖5所示的P力偏心距達到界點（即截面上即將出現(xiàn)拉應(yīng)力）。從離P最遠一點應(yīng)力為零的條件可知截面上的應(yīng)力是壓應(yīng)力并呈三角形分布，其合力N與外力P等值、反向、共線。于是可求出界點應(yīng)力狀態(tài)下P的偏心距為：圖6所示的P力偏心距e大于，截面上出現(xiàn)拉應(yīng)力，是拉應(yīng)力和壓應(yīng)力并存的壓彎應(yīng)力狀態(tài)。這三種應(yīng)力狀態(tài)中：a圖4和圖5所

12、示的應(yīng)力狀態(tài)均為偏心受壓狀態(tài)，截面上無拉應(yīng)力存在，無中性軸，不屬于彎曲問題；b圖6所示的應(yīng)力狀態(tài)正是歐拉所研究的壓彎應(yīng)力狀態(tài)，截面上有中性軸，并且中性軸不通過截面形心，位置未知，其位置的確定取決于P值的大小及P力偏心距e值的大小，所以，在壓彎應(yīng)力狀態(tài)下，截面慣性矩I是未知量（這是下文分析中用到的概念）。從圖6可知，一旦P的偏心距，桿件便在壓彎狀態(tài)下保持平衡，只要截面上的最大應(yīng)力未達到材料的比例極限，平衡便不會被打破。無論P值大小，當(dāng)時桿端都不會回彈恢復(fù)到直軸線位置。所以，撤去橫向干擾力Q之后，桿端是否回彈到直軸線位置，其決定因素不是P力的大小，而是P力偏心距e的大小?？梢娫谡鎸崰顟B(tài)下，由P值大

13、小決定的壓桿臨界狀態(tài)不存在。223理想狀態(tài)下的壓桿臨界狀態(tài)不存在虛功原理：變形體系平衡的必要與充分條件是，對于約束條件允許的任意微小虛位移，外力所作的虛功等于內(nèi)力所作的虛功。圖7 用虛功原理分析壓桿臨界狀態(tài)對于圖3所示的桿端位移，可以用虛功方程求解。如圖7所示，在桿端施加一橫向虛單位力，桿端的位移為，可列出虛功方程： (16)等式左邊是外力的虛功，右邊是內(nèi)力的虛功。從圖7可知： a. 等式右邊第2項：因為的作用線與桿軸重合，全桿各截面由引起的剪力，該項之值為零；b. 等式右邊第3項：因為的作用線與桿軸垂直，全桿各截面由引起的虛軸力，該項之值為零。于是式（16）成為： (17)因虛外力與桿軸垂直

14、，虛彎矩，是否為零取決于由引起的彎矩M是否為零。假定桿為矩形截面，截面高度為h，按222的分析結(jié)果，壓桿在真實狀態(tài)下有2種情況：a若的偏心距，此時全桿各截面的應(yīng)力全部為壓應(yīng)力如圖4、圖5所示，截面上不出現(xiàn)中性軸，由引起的彎矩，于是，所以；b若的偏心距，此時桿上各截面拉應(yīng)力與壓應(yīng)力并存，由引起的彎矩，于是，所以。推論：在圖2所示的理想狀態(tài)下，若橫向干擾力Q將桿端推離原位的距離為，相當(dāng)于P力對桿底截面的形心軸有偏心距。若，則撤去Q后桿端彈回原位，桿在直線形狀下平衡；只有在的情況下，撤去Q后桿端才有可能不完全彈回原位，桿才有可能在曲線形狀下平衡。換言之，撤去Q后是否有，其決定因素不僅僅是P值的大小，

15、施加Q力時得到的大小也是關(guān)鍵因素?？梢?，用虛功原理分析的結(jié)果除了進一步肯定222的結(jié)論之外，尚可推論至理想狀態(tài)：理想狀態(tài)下歐拉的設(shè)想不成立，即僅僅由P值大小決定的壓桿臨界狀態(tài)不存在。如果理想壓桿喪失承載力這一后果是由P值及值兩個要因共同決定的，則歐拉公式失去成立的前提條件。224 對實驗結(jié)果的看法實驗結(jié)果表明，壓桿臨界力是存在的，只是實驗結(jié)果與用歐拉公式計算得到的結(jié)果相差較大。其實這是一個誤會，前面的理論分析表明，壓桿的臨界狀態(tài)在理論上不成立，并且即使在實驗室的條件下也不可能使桿上的壓力與桿件的質(zhì)心軸完全重合，原始偏心e不可能為零。所以，實驗結(jié)果其實是真實狀態(tài)下壓桿的壓彎數(shù)據(jù)，而不是理想狀態(tài)下

16、壓桿的失穩(wěn)數(shù)據(jù)。實驗結(jié)果不能證明“壓桿臨界狀態(tài)”的存在。歐拉關(guān)于壓桿臨界狀態(tài)的假設(shè)不成立。23 臨界力歐拉公式的錯誤在推導(dǎo)的出發(fā)點上，歐拉在一條方程中投放了3個未知數(shù)： (3)這3個未知數(shù)是：、。其中，、相互獨立，各不相關(guān)，開始設(shè)定時就如此（見圖3）。而如222所述，也是未知量（只有在純彎曲狀態(tài)下，才有截面軸向應(yīng)力的合力，此時中性軸過截面形心，可確定。但在壓彎狀態(tài)下，截面軸向應(yīng)力的合力，中性軸不過截面形心，位置未知，不能確定）。歐拉在推導(dǎo)臨界力公式的過程中，解了一條含3個未知數(shù)的無解方程，犯了2個錯誤：a. 以為是已知量，所以錯用解決純彎曲問題的式（1）來解決壓彎問題；b. 在推到式（8）之后

17、，避開未知數(shù)求解（見121）。于是，在解出的結(jié)果中，出現(xiàn)了解不開的未知數(shù)連環(huán)套：a. 的表達式中含有，不能確定，則不能確定；b. 要確定，必須已知和。又回到了出發(fā)點， 仍舊是未知數(shù)。這個連環(huán)套表明，歐拉從一條含3個未知數(shù)的方程中解出其中1個，這個結(jié)果是不確定的，所以：臨界力歐拉公式?jīng)]有意義。24 臨界應(yīng)力歐拉公式的錯誤研究純彎曲問題的基本公式是： (18)由式（18）導(dǎo)出了式（1）和式（19）： (1) (19)其中式（1）是導(dǎo)出臨界力歐拉公式的方程式，式（19）是彎曲應(yīng)力公式?？梢姡剑?）和式（19）兩式同源。按這一邏輯關(guān)系，在求出臨界力之后，歐拉應(yīng)該將其代入式（19）求出臨界應(yīng)力： (2

18、0)式中出現(xiàn)了桿端位移，這是推導(dǎo)臨界力公式時歐拉曾經(jīng)避開的未知數(shù)，它是任意設(shè)定的，無真實的值。所以歐拉只能再一次避開它。拋開式（19），歐拉用軸心受壓的應(yīng)力表達式求解壓彎狀態(tài)下的臨界應(yīng)力： (12) (13) (14) (15)這是偷換概念，即用軸心受壓概念偷換原先設(shè)定的彎曲受壓概念。因為偷換概念，臨界應(yīng)力表達式式（12）（15）包含了3個原則性錯誤：a 臨界應(yīng)力既是彎曲應(yīng)力（式中含有，表示截面上的應(yīng)力是沿截面線性分布的非均布應(yīng)力），同時又是軸壓應(yīng)力（式中含有A，表示截面上的應(yīng)力是按截面面積平均分布的均布應(yīng)力）。同一條桿，同一個截面上的應(yīng)力既是非均布應(yīng)力，同時又是均布應(yīng)力，這樣的應(yīng)力狀態(tài)是不存

19、在的。b 歐拉研究的是彎曲問題，在受彎桿件的截面上，必定同時存在拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，但歐拉令全截面的應(yīng)力為壓應(yīng)力，違反客觀規(guī)律。c 臨界應(yīng)力值正比于截面慣性矩與截面面積的比值（見式（12）：薄壁構(gòu)件，在外框尺寸確定之后，壁越薄則越大，于是得到反例中易拉罐強于正常壁厚管的結(jié)論。實際上薄壁桿件被壓彎時，截面上受壓區(qū)離中性軸最遠一點的壓應(yīng)力必定大于平均壓應(yīng)力，當(dāng)此點的桿壁被壓凹時，桿件便破壞了，可見桿件的壓彎破壞并不由平均壓應(yīng)力來決定，而是由最大壓應(yīng)力來決定。實際上，壁越薄的桿越容易被壓凹，在模板支架破壞現(xiàn)場，隨處可見被壓凹的管材桿件。所以違反客觀實際。臨界應(yīng)力歐拉公式違反客觀規(guī)律。25 “理想狀態(tài)”之

20、說抹不去歐拉的錯誤學(xué)術(shù)界普遍認為，歐拉公式是在理想狀態(tài)下推導(dǎo)出來的，不能在實際狀態(tài)下來判斷其是與非。既然如此，本節(jié)就在理想狀態(tài)下討論歐拉公式。歐拉以式（1）作為其推導(dǎo)的出發(fā)點： (1)下面將“理想狀態(tài)”量化，看歐拉使用式（1）是否合理。在理想狀態(tài)下：a. 當(dāng)時，壓桿處于偏心受壓狀態(tài)：桿上所有截面均無中性軸存在，截面慣性矩沒有意義，從而式（1）沒有意義。說明壓彎問題不能用純彎曲方程求解。所以，在此種情況下歐拉使用式（1）是錯誤的。b. 當(dāng)時，壓桿處于壓彎狀態(tài)：截面上軸向應(yīng)力合力，從而中性軸不過截面形心，其位置未知，而且中性軸位置隨著截面在桿上位置的改變而改變（），截面慣性矩為未知量。此時使用式（

21、1）求解，式中共出現(xiàn)、 3個未知數(shù)，式（1）無解。所以，在此種情況下歐拉使用式（1）也是錯誤的。以上分析表明，在任何情況下（包括在歐拉的理想狀態(tài)下），使用式（1）求解壓彎問題都是錯誤的。在力學(xué)領(lǐng)域里，有不少理論是在理想狀態(tài)之下推演出來的，只要所設(shè)想的理想狀態(tài)合理，所得結(jié)論就不失其正確性。例如研究純彎曲問題時的平面假設(shè)就是一種理想狀態(tài)，平面假設(shè)已為實驗所證實并且與虎克定律相吻合，所以此種理想狀態(tài)是合理的。反觀歐拉的理想狀態(tài)就大不相同，歐拉的理想狀態(tài)與其出發(fā)點式（1）相悖，是不合理的。所以，“理想狀態(tài)”之說抹不去歐拉的錯誤。26 結(jié)論 歐拉公式的錯誤可以歸結(jié)為：a. 壓桿臨界狀態(tài)不存在。依據(jù)臨界狀態(tài)假設(shè)提出的壓桿穩(wěn)定和失穩(wěn)概念，以及以此概念為基礎(chǔ)建立起來的歐拉公式?jīng)]有存在的前提條件；b. 歐拉沒有解出臨界力，歐拉公式?jīng)]有意義；c. 臨界應(yīng)力歐拉公式犯概念性錯誤，違反客觀規(guī)律。歐拉公式錯誤的根源是：a. 用解決純彎曲問題的方程式去解決壓彎問題，路徑不對，無法達到目的；b. 開始時用純彎曲方程式，最后