二元一次方程組應用題分類精析

1、 二元一次方程組應用題分類精析 列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即： （ 1）審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表 示其中的兩個未知數(shù)； 2）找：找出能夠表示題意兩個相等關系； 3）列：根據(jù)這兩個相等關系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組； 4）解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值； 5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案 一、倍分問題 例 1、甲乙二人，若乙給甲 10 元，則甲所有的錢為乙的 有的錢為乙的 2 倍多 10 元，求甲乙各擁有多少錢？ 解：設甲原來有 X 元，乙原來有 Y 元。 X+10=

2、3 （ Y-10） X-10=2 （Y+10 ） +10 3 倍，若甲給乙 10 元，則甲所 1、一塊矩形草坪的長比寬的 2 倍多提示：設寬為 X 米，長為 Y 米 10 米，它的周長是 132 米，則寬和長分別是多少？ Y-2X=10 2（ X+Y ）=132 2、一批書分給組學生，每人 6 本則少 6 本，每人 5 本則多 5 本，該組共有多少名學生，這 批書共有多少本？ 提示：設有 X 名學生， Y 本書， 6X=Y+6 5X+5=Y X=11 ， Y=60 3、某班學生有 x 人，準備分成 y 個組開展活動，若每個組 則差 5 人 .求全班的人數(shù)和所分組數(shù)。 7 人，則余 3 人；若每

3、個組 8 人， 提示：設全班有 7 y 3 x x 59 x, 所分組數(shù)為 y 組，則 5 x ； 8 8 y y 4、三年級有學生 246 人，其中男生比女生人數(shù)的 2 倍少 3 人，求男、女生各有多少人？ 提示：設男生有 X 名，女生有 Y 名 X+Y=246 Y=2X-3 5、甲乙兩條繩共長 17 米，如果甲繩子減去五分之一， 乙繩增加 1 米，兩條繩子相等， 求甲、 乙兩條繩各長多少米？ 提示：設甲繩長 X 米，乙繩長 Y 米，則 X+Y=17 X-1/5X=Y+1 6、已知長江比黃河長 836 千米，黃河長度的 6 倍比長江長度的 5 倍多 1284 千米，求黃河、 長江各長多少千米

4、？ 提示：設黃河長度為 X 米，長江長度為 Y 米，則 X-Y=836 6Y-5X=1284 7、甲乙兩個商店各進洗衣機若干臺， 若甲店撥給乙店 12 臺，則兩店的洗衣機一樣多，若乙 店撥給甲店 12 臺，則甲店的洗衣機比乙店洗衣機數(shù)的 5 倍還多 6 臺，求甲、乙兩店各進洗 衣機多少臺？ X-2=12+12 5（ Y-12 ）+6=X+12 8、小紅和小華各自購買新書若干本，已知小紅買的比小華的 2 倍多 6 本，如果小紅給小華 9 本，則小華是小紅的 2 倍，小紅和小華各買新書多少本？ 提示：題中有兩個未知數(shù) - 小紅買的新書、小華買的新書； 題中有兩個相等關系 （ 1）小紅買的新書 2X

5、 小華買的新書 =6； （ 2） 2X （小紅買的新書 9） =（小華買的新書 +9 ） 解：設小紅買新書 X 本，小華買新書 Y 本，根據(jù)題意得 X 2Y=6 2X（X9）=Y+9 解得 X=16 ， Y=5 9、把 3 米長的鐵絲分成兩段，做成一個正方形和一個長方形框，已知長方形的長是寬的 2 倍，長方形的長比正方形的邊長長 0。 3 米，求兩個圖形的面積。 提示：設長方形框的寬為 x，則長為 2x,再設正方形的邊長為 y 米，根據(jù)題意，得 2(x+2x)+4y=3 2x-y=0.3 解得 x=0.3,y=0.3, 長方面的面積 =0.18 正方形框的面積 =0。 09。 10、有甲、乙兩

6、條繩子，其中甲繩長的 3/8 與乙繩長的 1/3 疊合后，全長 238 厘米，求甲乙 兩繩長各是多少厘米？ 提示：設甲繩長是 x 厘米，乙繩長是 y 厘米。則 3/8x=1/3y x+(1-1/3)y=238 解得 x=136 y=153. 11、小明春節(jié)原有壓歲錢若干元， 先用去一部分， 剩余的錢為用去的 2 倍，后來又用掉 1200 元，最后剩下的錢為原有的三分之一，問小明原來有壓歲錢多少元？ 提示：設原有 X 元，先用去 Y 元 X-Y=2Y X-Y-1200=1/3X 。解得 X=3600 元。 12、某化妝晚會上，男生臉上涂藍色油彩，女生臉上涂紅色油彩，游戲時，每個男生都看見 涂紅色

7、油彩的人數(shù)比涂藍色油彩的人數(shù)的 2 倍少 1 人，而每個女生都看見涂藍色的人數(shù)是涂 紅色人數(shù)的 3 5，則晚會上男、女生各有幾人？ 分析：每個男生都看見涂紅色油彩的人數(shù)比涂藍色油彩的人數(shù)的倍少人， 這里涂藍 色油彩的人數(shù)不是題中所有男生的人數(shù)， 而是除自己之外的男生人數(shù)， 同理， 女生看到的人 數(shù)關系也應是除去自己以外的男、女生人數(shù)關系。 正解： 設晚會上男生有 x 人，女生有 y 人。 把代入，得 y 3/52(x 1) 1 1，所以 x12 答： 晚會上男生有 12 人，女生有 21 人。 13、某班有學生 49 人，一天該班一男生因事請假，當天的男生人數(shù)恰好是女生人數(shù)的一半，男生有 17

8、 人，女生有 32 人 二、年齡問題 解這類問題的基本關系是抓住兩個人年齡的增長數(shù)相等。年齡問題 的主要特點是： 時間發(fā)生變化， 年齡在增長， 但是年齡差始終不變。 年齡問題往往是 “和差”、 “差倍”等問題的綜合應用。解題時，我們一定要抓住年齡差不變這個解題關鍵。 例 1、父子的年齡差 30 歲，五年后父親的年齡正好是兒子的 3 倍，問今年父親和兒子各是 多少歲？ 解：設今年父親的年齡為 X 歲，兒子的為 Y 歲， 則根據(jù)（ 1）父子的年齡差 30 歲，可列式得： X-Y=30 ；（ 2）五年后，父親的年齡是 X+5 歲， 兒子的年齡是 Y+5 歲；由五年后父親的年齡正好是兒子的 3 倍，可

9、列式得： X+5=3 （ Y+5 ） （3）聯(lián)立兩式，得今年父親的年齡是 40 歲，兒子的年齡是 10 歲。 X-Y=30 X+5=3 （Y+5 ） 例 2：1998 年，甲的年齡是乙的年齡的 乙二人 2000 年的年齡分別是多少歲 ? 4 倍。 2002 年，甲的年齡是乙的年齡的 3 倍。問甲、 A34 歲， 12 歲 B32 歲， 8 歲 C36 歲， 12 歲 D34 歲， 10 歲 【答案】 D。 解析：抓住年齡問題的關鍵即年齡差， 1998 年甲的年齡是乙的年齡的 4 倍， 則甲乙的年齡差為 3 倍乙的年齡， 2002 年，甲的年齡是乙的年齡的 3 倍，此時甲乙的年齡 差為 2 倍乙

10、的年齡，根據(jù)年齡差不變可得 3 1998 年乙的年齡 =2 2002 年乙的年齡 3 1998 年乙的年齡 =2 （ 1998 年乙的年齡 +4） 1998 年乙的年齡 =8 歲 則 2000 年乙的年齡為 10 歲 1、 學生問老師： “您今年多少歲了？”老師風趣的說： “我像你這樣大的時候，你才出生， 你到我這么大時，我已經(jīng) 37 歲了”試求老師和學生的年齡各是多少？ 提示：設老師為 X 歲，學生為 Y 歲，（ 1）老師年齡增加的同時學生的年齡也在增加， “我像 你我樣大的時候， ”可以得知老師是 Y 歲，老師由 Y 歲增加到 X 歲，增加了 X-Y 歲；學生 由 1 歲增加到 Y ，增加

11、了 Y-1 歲。增加的年份是相等的量。即： X-Y=Y-1 ；（ 2）老師由 X 歲 到 37 歲時，增長的量是 37-Y ；學生由 Y 歲增加到 X 歲，增長的量是 X-Y ，二者相等。 X-Y=Y-1 37-X=X-Y 解得 X=25 ； Y=13 。 2、甲乙兩人在聊天，甲對乙說： 當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時，你才 4 歲。 ”乙 對甲說： “當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將 61 歲。 ”你能算出他們兩人各幾歲嗎？ 提示：設甲乙他們的歲數(shù)分別是 X、 Y（ 1）當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲時，你才 4 歲，由這 句話得知，當時甲是 Y 歲，乙是 4 歲，甲由 Y 歲到 X 歲，增加了 X-Y

12、，乙增加了 Y-4 ，二 者是相等的；（ 2）乙對甲說： “當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將 61 歲。 ”這句得知，乙 的歲數(shù)由 Y 變?yōu)?X，增加了 X-Y ，甲呢由 X 歲變?yōu)?61 歲，增加了 61-X 。二者增加的量相等。聯(lián)立方程可得 X=42 Y=23 3、 現(xiàn)在父親的年齡是兒子年齡的 3 倍， 7 年前父親的年齡是兒子年齡的 5 倍，問父親、兒子現(xiàn)在的年齡分別是多少歲？ 提示：設父親和兒子的年齡分別為 X 和 Y，現(xiàn)在父親的年齡是兒子年齡的 3 倍，由這句話得 X=3Y ，“ 7 年前父親的年齡是兒子年齡的 5 倍，”由這句話得 7 年前父親的年齡是 X-7 ，兒子的年齡是 Y-

13、7 ，所以得到 X-7=5 （Y-7 ）解得 X=42 ， Y=14 4、兄弟兩人 , 弟弟五年后的年齡與哥哥五年前的年齡相等 ,3 年后兄弟兩人的年齡和是他們年齡之差的 3 倍, 則兄弟兩人今年的歲數(shù)分別是 _.17 歲和 7 歲 提示：設哥哥的年齡為 X，弟弟的年齡為 Y，由弟弟五年后的年齡與哥哥五年前 的年齡相等 ,Y+5=X-5，3 年后兄弟兩人的年齡和是他們年齡之差的 3 倍, 得（X+3）+（Y+3） =3 （X+3）（ Y+3） 5、今年父親的年齡是兒子的 5 倍，15 年后，父親的年齡是兒子年齡的 2 倍，問：現(xiàn)在父子 的年齡各是多少歲？ 提示：設今年父親和兒子的年齡分別為 X

14、 和 Y ，由今年父親的年齡是兒子的 5 倍，得 X=5Y ， 15 年后，父親的年齡是兒子年齡的 2 倍，（ X+15 ）=2 （ Y+15 ） 解得 X=25 ，Y=5 。 三、數(shù)字問題 1、 56 十位上的數(shù)字 5 表示 5 個 10 ，個位上的數(shù)字 6表示6 個 1， 那么 56 可寫成 5X10+6 。 2、（ 1）一個三位數(shù)百位上的數(shù)字是 a，十位上的數(shù)字是 b，個位上的數(shù)字是 c。請你表示出 這個三位數(shù)： 設百位上的數(shù)字為 x，則這個百位數(shù)可表示為： 100 x+10 （x+3） +（ x+5 ） （2）已知：一個三位數(shù)十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字大 3，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字

15、 大 2。請你表示出這個三位數(shù)： 設百位上的數(shù)字為 x，則這個三位數(shù)可表示為： 100 x+10 （x+3 ） +（x+5 ） （3）若各位上的數(shù)字之和不大于 11，求這個三位數(shù)。 x+（ x+3） +（ x+5 ） 11 3、 326=32 10 +6=3 100 +26 7321=73 100 +21 1234=12 100 +34 abc 表示一個三位數(shù)，則 abc=a100 +bc=ab 10 +c 若 abcd 表示一個四位數(shù)，則 abcd=ab 100 +cd 例 1：兩個兩位數(shù)的和是 68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)； 在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩

16、位數(shù)， 也得到一個四位數(shù)。 已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大 2178，求這個兩位 思考：設較大的兩位數(shù)為 x，較小的兩位數(shù)為 y， 1、 在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)可表示為 100X+Y 2、 在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)可表示為 100Y+X 解：設在較大的兩位數(shù)為 x，較小的兩位數(shù)為 y，則有 x+y=68 (100 x+y) (100y+x)=2178 解得 x=45 y=23 答：這兩個兩位數(shù)分別是 45 和 23 例 2：一個三位數(shù)，現(xiàn)將最左邊的數(shù)字移到最右邊， 則比原來的數(shù)小 45；又已知百位數(shù)字的 9 倍比由十位和個位數(shù)字組成

17、的兩位數(shù)小 3，求原來的三位數(shù)。 解：設百位數(shù)字為 x，由十位和個位數(shù)字組成的兩位數(shù)為 y， 則原來的三位數(shù)為 100 x+y ，對調的三位數(shù)為 10y+x ，則 9x=y 3 10y+x=100 x+y 45 x=4 y=39 則原來的三位數(shù)為 100 x+y=4 100+39=439 。 另解：設百位數(shù)字為 x，十位數(shù)字 y，個位數(shù)字為 z，則有 9x=10y+z 3 (100 x+10y+z) (100y+10z+x)=45 得 x=4 10y+z=9x+3=39 則原來的三位數(shù)是 100 x+10y+z=100 4+39=439 1、 有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大 5，如果把

18、兩個數(shù)字的位置對換，那么所得 的新數(shù)與原數(shù)的和是 143，求這個兩位數(shù) 分析：本題涉及兩位數(shù)的計算問題從實際問題中可的兩個相等關系： （ 1）個位數(shù)字 十 位數(shù)字 =5；（2）新數(shù) +原數(shù) =143根據(jù)這兩個相等關系，可通過設十位數(shù)字為 x，個位數(shù)字 為 y，列方程組求到十位數(shù)字和個位數(shù)字，然后確定兩位數(shù) 解：設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為 x，個位數(shù)字為 . y根據(jù)題意，得 y x 5, 解這個方程組，得 x 4, y 9. (10y x) (10 x y) 143. 所以這個兩位數(shù)是 4 10+9=49 2、 有一個兩位數(shù)和一個一位數(shù)，如果在這個一位數(shù)后面多寫一個 0，則它與這個兩位數(shù)的 和是

19、146，如果用這個兩位數(shù)除以這個一位數(shù)，則商 6 余 2，求這個兩位數(shù)和一位數(shù) . 分析：一位數(shù)后面多寫一個 0，則這個一位數(shù)擴大了 10 倍 , 如果兩位數(shù)為 x, 一位數(shù)為 y, 則根據(jù)兩位數(shù)的和為 146 可得 x+10y=146; 根據(jù)被除數(shù) =除數(shù)商數(shù) +余數(shù)可得 x=6y+2, 由此 可得到方程組 . 通過解方程組確定兩位數(shù)和一位數(shù) . 解：設這個兩位數(shù)為 x，這個一位數(shù)為 y，根據(jù)題意 , 得 x 10 y 46, x 56, x 6 y ，解得 y 9. 2 所以這個兩位數(shù)為 56, 一位數(shù)為 9. 3、有一個兩位數(shù)， 其值等于十位數(shù)字與個位數(shù)字之和的 4 倍，其十位數(shù)字比個位

20、數(shù)字 小 2，求這個兩位數(shù) 設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為 x，個位數(shù)字為 y， 則可列方程組為 10 x y 4( x y), y x 2. x 2, 解這個方程組，得 所以這個兩位數(shù)為 24 y 4. 4、一個三位數(shù)和一個兩位數(shù)的差為 225，在三位數(shù)的左邊寫這個兩位數(shù)，得到一個五位數(shù)，在三位數(shù)的右邊寫上這個兩位數(shù)， 也得到一個五位數(shù)， 已知前面的五位數(shù)比后面的五位數(shù)大 225，求這個三位數(shù)和兩位數(shù) . 設三位數(shù)為 x，兩位數(shù)為 y x y 225 (1000y x) (100 x y) 225 x 250 解得 y 25 這個三位數(shù)是 250，兩位數(shù)為 25 5、如下圖，在 3 3 的方格內(nèi)，

21、填寫了一些代數(shù)式和數(shù) （1）在圖中各行、各列及對角線上三個數(shù)之和都相等，請你求出 x、 y 的值； （2）把滿足（ 1）的其它 6 個數(shù)填入圖的方格內(nèi) 分析： 本題是一道與表格數(shù)字排列有關的信息試題， 根據(jù)各行、 各列及對角線上的數(shù)字和相 等，可列方程組解決所列的方程組不惟一 解：（ 1）由已知條件可得 2x 3 2 4 y ( 3) ， 2 2x y 4y 4 y ( 3) 2 x 1， 解得 y 1 2）將 x 1， y1 代入表格，所得表格如圖所示 6、甲、乙兩人做加法，甲將其中一個加數(shù)后面多寫了一個 0，所得的和是 2342，乙將同一 個加數(shù)后面少寫了一個 0，所得的和是 65，求原來的兩個加數(shù) 原來的兩個加數(shù)分別是 42 和 230 提示：設這兩個加數(shù)分別是 x、 y，其中 y 是兩人同時看錯的數(shù)，根據(jù)題意，得 x 10y 2342, x 1 65. y 10 7、有一個三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字之和等于 14 ，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大 4，如果 把百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調，所組成的新數(shù)比原數(shù)的 3 倍多 98 ，求這個三位數(shù)是 多少？ 提示：設百位數(shù)字是 x，十位數(shù)字是 y，個位數(shù)字是 z，根據(jù)題意，得 x y z 14, z y 4, 100z 10 y x 3(100 x 10 y z) 98. 這個三位數(shù)是 248 8、已知二