指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)地圖像與性質(zhì)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一）指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1根式（ 1）根式的概念根式的概念符號(hào)表示備注如果 xna , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根n 1且 n N當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) ,正數(shù)的 n 次方根是一個(gè)正數(shù) , 負(fù)數(shù)的 nna零的 n 次方根是零次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) ,正數(shù)的 n 次方根有兩個(gè) , 它們互為相反na (a0)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根數(shù)（ 2）兩個(gè)重要公式an 為奇數(shù) n a na(a0)；| a |n 為偶數(shù)a( a0) (n a ) na （注意 a 必須使 n a 有意義）。2有理數(shù)指數(shù)冪（ 1）冪的有關(guān)概念mnm正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:n(0,

2、、,且1) ;aaam nNnm11正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪: a n0, m、nN , 且n 1)m( aa nn am0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義 .注： 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的運(yùn)算。（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)ar as=ar+s (a>0,r、 s Q);(a r ) s =ars (a>0,r、s Q);(ab) r =ar bs(a>0,b>0,rQ);.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=ax0<a<1a>1圖象定義域R值域（0，+）性質(zhì)（ 1）過(guò)定點(diǎn)（ 0， 1）（ 2）當(dāng) x>

3、;0 時(shí)， y>1;(2) 當(dāng) x>0 時(shí)， 0<y<1;x<0 時(shí) ,0<y<1x<0 時(shí), y>1(3) 在（ -， +）上是增函（ 3）在（ -，+ ）上是減函數(shù)數(shù)注： 如圖所示，是指數(shù)函數(shù)（1）y=ax, （ 2）y=bx, （ 3） ,y=c x（4） ,y=d x 的圖象，如何確定底數(shù) a,b,c,d與 1 之間的大小關(guān)系？提示：在圖中作直線x=1，與它們圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值，即c1>d1 >1>a1>b1, c>d>1>a>b。即無(wú)論在軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)

4、針?lè)较蜃兇?。（二）?duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)的概念（1）對(duì)數(shù)的定義如果 axN ( a0且a1) ，那么數(shù) x 叫做以 a 為底， N 的對(duì)數(shù)，記作xloga N ，其中 a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N 叫做真數(shù)。（2）幾種常見(jiàn)對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)一般對(duì)數(shù)底數(shù)為記法a a0,且a1log aN常用對(duì)數(shù)底數(shù)為 10lg N自然對(duì)數(shù)底數(shù)為 eln N精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2 、對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)（ a0,且 a110， oglagolNN ，ogla N）： logaa 1， aaa（2）對(duì)數(shù)的重要公式：換底公式： logb Nloga N(a,b均為大于零且不等于 1,N0) ；loga b lo

5、g a b1a。log b（3）對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果 a0,且a1 ， M0, N0那么 log a (MN )log a Mlog aN ； log aMlog aN ；log a MN log a M nnlog a M (nR) ； log a m bnn log a b 。m3、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a 10a 1圖象N 。性（ 1）定義域：（0,+）質(zhì)（ 2）值域： R（ 3）當(dāng) x=1 時(shí)， y=0 即過(guò)定點(diǎn)（ 1， 0）40 x1時(shí)，y ( ,0)；4）當(dāng) x1時(shí)，y(,0)；（ ）當(dāng)（當(dāng) x 1時(shí)， y(0,)當(dāng) 0 x1時(shí)， y(0,)（ 5）在（ 0,+）上為增函數(shù)（ 5）在

6、（ 0,+）上為減函數(shù)注：確定圖中各函數(shù)的底數(shù)a，b， c， d 與 1 的大小關(guān)系提示：作一直線 y=1，該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案0<c<d<1<a<b.4、反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax 與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log ax 互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x 對(duì)稱。（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)的定義形如 y=x （ aR）的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x 是自變量，為常數(shù)注：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同，冪函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置。2、冪函數(shù)的圖象1注：在上圖第一象限中如何確定32x2， y=x

7、-1x=x ；y=x ， y=x， y=x ， y方法：可畫出01當(dāng) x0>1 時(shí)，按交點(diǎn)的高低，從高到低依次為y=x3，y=x 2， y=x ， yx2 ， y=x -1 ；1當(dāng) 0<x0<1 時(shí)，按交點(diǎn)的高低，從高到低依次為y=x-1 ， yx2 ， y=x， y=x2， y=x3 。3、冪函數(shù)的性質(zhì)y=xy=x 2y=x31y=x -1yx2定義域RRR0 ，）R且 x0x | x值域R0 ，）R0 ，）R且 y0y | y奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x 0 ，）時(shí)，增； 增增x (0,+) 時(shí)，減；x (,0時(shí)，減x (-,0) 時(shí)，減定點(diǎn)（1，1）精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)

8、文案三：例題詮釋，舉一反三知識(shí)點(diǎn) 1：指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值例 1.(2007育才 A)(33)2211（1）計(jì)算：3 (5 4)0.5(0.008) 3(0.02)2(0.32) 2 0.0625 0.2589；412a 38a 3 b23 ba3 a 2(a223a)5a3a（2）化簡(jiǎn)： 4b323aba3變式：（ 2007 執(zhí)信 A）化簡(jiǎn)下列各式（其中各字母均為正數(shù)）:2111(a 3 b 1 ) 2 a 2b3;（1）6a b51121（2） 5a3b 2( 3a 2b 1 )(4a3b 3 )2.617) 021.5 3(80.254 2( 3 23)6(2)3(3)63知識(shí)點(diǎn) 2：指數(shù)

9、函數(shù)的圖象及應(yīng)用例 2.(2009廣附 A) 已知實(shí)數(shù) a、 b 滿足等式 (1)a(1)b，下列五個(gè)關(guān)系式：0 b a; a b23 0; 0 a b; b a 0; a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有（）A.1 個(gè)B.2個(gè)C.3 個(gè)D.4 個(gè)變式：（ 2010 華附 A）若直線 y2a 與函數(shù) y| ax1 | ( a0 且 a 1) 的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 a 的取值范圍是 _.知識(shí)點(diǎn) 3：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例 3. （ 2010 省實(shí) B）已知定義域?yàn)镽 的函數(shù) f (x)2xb2x1是奇函數(shù)。2（）求 b 的值；（）判斷函數(shù)fx的單調(diào)性 ;（）若對(duì)任意的 tR ，不等式f ( t 22t)

10、f (2t 2k )0 恒成立，求 k 的取值范圍變式：（ 2010 東莞 B）設(shè) a0,f(x)=exa是 R 上的偶函數(shù) .aex（ 1）求 a 的值；精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（ 2）求證： f(x)在（ 0， +）上是增函數(shù).知識(shí)點(diǎn) 4：對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值例 4. （ 2010 云浮 A）計(jì)算：（ 1） log 23 (23)（2） 2(lg2 ) 2+lg2 · lg5+(lg 2) 2lg 21 ;（3） 1 lg32 -4 lg8 +lg245.2493變式：（ 2010 惠州 A）化簡(jiǎn)求值 .（1） log27+log 12-1log 42-1;48222（2） (lg2)

11、2+lg2 · lg50+lg25;（ 3） (log 32+log 92) · (log 43+log 83).知識(shí)點(diǎn)5：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例 5. （2011 深圳 A）對(duì)于 0a 1，給出下列四個(gè)不等式： loga (1a)log a (a1 ); log a (1a)log a (1 1 ) ；aa a1aa11 a1 a11a ;aa ;其中成立的是（）（A）與（ B）與（ C）與（ D）與變式：（ 2011 韶關(guān) A）已知0 a 1,b 1,ab 1，則loga1 ,log a b,log b1的大小關(guān)系是bb（）A.log1log a b1B. log a blo

12、g a11ablog bblog bbb11D.log b1log a1log a bC. log a b log blog abbbb例 6.（ 2010廣州 B）已知函數(shù) f(x)=logx(a 0,a 1) ，如果對(duì)于任意 x 3，+）都有 |f(x)|a 1 成立，試求 a 的取值范圍 .22 ,1-3上是單調(diào)遞減變式：（ 2010 廣雅 B）已知函數(shù) f （ x）=log (x -ax-a) 在區(qū)間（ -函數(shù) . 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .知識(shí)點(diǎn)6：冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用例 7.(2009佛山 B) 已知點(diǎn) (2，2) 在冪函數(shù)f (x) 的圖象上，點(diǎn)1，在冪函數(shù) g (x) 的圖，24

13、象上問(wèn)當(dāng) x 為何值時(shí)有： （） f (x)g( x) ；（） f (x)g ( x) ；（） f (x)g (x) 變式：（ 2009 揭陽(yáng) B）已知冪函數(shù) f(x)=xm22m 3 （ m Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+）上b是單調(diào)減函數(shù) . （ 1）求函數(shù) f(x);（ 2）討論 F（ x） =af （x）的奇偶性 .xf（x）四：方向預(yù)測(cè)、勝利在望1（ A）函數(shù) f (x) lg 1x 的定義域?yàn)椋ǎ﹛4精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案A(1， 4)B1 ， 4)C(， 1)(4 ， )D (， 1 (4 ， )2. （ A）以下四個(gè)數(shù)中的最大者是（）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C

14、) ln2(D) ln23（ B）設(shè) a>1，函數(shù) f(x)=logax 在區(qū)間 a,2a 上的最大值與最小值之差為1 , 則 a=( )2(A)2 （B）2（C）22 （D）44. （ A）已知 f (x) 是周期為2 的奇函數(shù)，當(dāng)0 x1時(shí)， f ( x)lg x. 設(shè)af ( 6), bf ( 3), c f ( 5), 則（）522（ A） a b c（ B） b ac（ C） cb a（ D） c a b2ex 1 , x2,則不等式 f ( x)>2 的解集為（）5. （ B）設(shè) f ( x)=log 3 ( x21), x2,(A) （ 1， 2）（ 3， +）(B)

15、（10 ，+）(C) （ 1， 2）（ 10 ， +）(D)（1， 2）6（ A）設(shè) Plog 2 3 ， Qlog3 2 ， R log 2 (log3 2) ，則（）RQPPRQQRPRPQ7 (A) 已知 log 1 blog 1 a log 1c ，則 ()222A 2b2a2cB 2a2b2cC 2c2b2aD 2c2a2b8（ B）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是區(qū)間1,1上單調(diào)遞減的是（）（ A） f ( x)sin x(B)f ( x)x1(C)f ( x)1 (axa x )(D)f (x)ln 2x22x9. （ A）函數(shù) ylog 1 (3 x2)的定義域是： （）2A1,)B

16、(32, )C 32 ,1D( 32 ,110.(A)已知函數(shù) ylog 1 x與ykx 的圖象有公共點(diǎn)A，且點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 2，則 k （）4A1B1C1D1422411（ B）若函數(shù) f (x)a xb1(a0且 a1)的圖象經(jīng)過(guò)第二 、三、四象限，則一定有（）A 0 a 1且 b 0B a 1且 b 0C 0 a 1且 b 0D a 1且 b 012 (B) 若函數(shù) f ( x)log a x(0a1) 在區(qū)間 a,2a上的最大值是最小值的3 倍，則 a=（）A.2B.2C.1D.1424213.(A)已知 0x y a1，則有（）（ A） log a (xy)0（B）0log a

17、( xy)1（C）1log a (xy)2（ D） log a ( xy)214. （ A）已知 f ( x 6 )log 2 x ，那么 f(8) 等于（）精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（A） 4（B）8（C）18（D） 13215（ B）函數(shù) y lg|x|（）A是偶函數(shù)，在區(qū)間 ( ， 0) 上單調(diào)遞增B是偶函數(shù)，在區(qū)間 ( ， 0) 上單調(diào)遞減C是奇函數(shù)，在區(qū)間 (0 ， ) 上單調(diào)遞增D是奇函數(shù)，在區(qū)間 (0 ， ) 上單調(diào)遞減lg( 4x )_.16. （ A）函數(shù) yx3的定義域是17（ B）函數(shù) y a1x (a0， a1) 的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A ，若點(diǎn) A 在直線mx ny 1 0(mn0

18、)11上，則的最小值為mn18（ A）設(shè) g ( x)ex, x 0.則 g ( g(1_lnx, x0.)219（ B）若函數(shù) f(x) =2 x2 2axa1 的定義域?yàn)?R，則 a 的取值范圍為 _.20 (B) 若函數(shù) f (x)log a ( xx22a 2 ) 是奇函數(shù)，則 a=21.(B) 已知函數(shù) f (x)1log 21x ，求函數(shù) f (x) 的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)x1x性.參考答案：三：例題詮釋，舉一反三例 1.解：（ 1） 2 ，（ 2） a 2911313515 ab2 .6b(a 3b 2 )5 a 2b 23變式：解：（ 1） 1,（32）4ab(3)1

19、1044ab例 2.解： B變式：解： (0, 1) ；2例 3.解：（） b1 （）減函數(shù)。1（） k3變式：解：（ 1） a=1. （2）略例 4.解：（ 1） -1.2） 1.3）1.2712133（ 2）2.（ 3）5.變式：解： (1)log 2log 2 22484222242例5. 解：選D。變式：解： C例 6. 解： (1 ，3 1 ， 1）3變式：解： a|2-23 a 2精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例 7. 解：（ 1）當(dāng) x 1或 x1時(shí)， f ( x)g ( x) ；（ 2）當(dāng) x1 時(shí)， f (x)g( x) ；（ 3）當(dāng)1x1且 x 0時(shí)， f ( x)g (x) 變式：解：（ 1） f(x)=x-4 .