最優(yōu)化Armijo算法確定步長的最速下降法

1、數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院實 驗 報 告實驗項目名稱 使用非精確線搜索Armijo算法確定步長的 最速下降法 所屬課程名稱 最優(yōu)化方法 實 驗 類 型 算法編程 實 驗 日 期 班 級 學(xué) 號 姓 名 成 績 一、實驗概述：【實驗?zāi)康摹?. 通過實驗掌握最速下降法的Matlab算法的基本步驟；2. 通過實驗掌握Armijo算法確定步長；3. 掌握最速下降法的思想及迭代步驟?！緦嶒炘怼?.最速下降法： 最古老的優(yōu)化方法，十九世紀中葉由Cauchy提出 思想 ：每次沿負梯度方向進行搜索等值線(面)負梯度方向也稱為最速下降方向：舉例：算法步驟：優(yōu)點：最速下降法的收斂性：全局收斂性：收斂速度估計：結(jié)論：最速

2、下降法的收斂速度比較慢，通常將其用在某些算法的初始階段求較好的初始點或作為某些算法的間插步.【實驗環(huán)境】Win 7；Matlab7.0二、實驗內(nèi)容：【實驗方案】1、求梯度；2、向梯度相反的方向移動x，其中 為步長。如果步長足夠小，則可以保證每一次迭代都在減小，但可能導(dǎo)致收斂太慢，如果步長太大，則不能保證每一次迭代都減少，也不能保證收斂。3、循環(huán)迭代步驟2，直到x的值變化到使得在兩次迭代之間的差值足夠小，比如0.00000001，也就是說，直到兩次迭代計算出來的基本沒有變化，則說明此時已經(jīng)達到局部最小值了。4、此時，輸出x，這個x就是使得函數(shù)最小時的x的取值 ?！緦嶒炦^程】 梯度下降法

3、的計算過程就是沿梯度下降的方向求解極小值（也可以沿梯度上升方向求解極大值）。 其迭代公式為 ,其中 代表梯度負方向， 表示梯度方向上的搜索步長。梯度方向我們可以通過對函數(shù)求導(dǎo)得到，步長的確定比較麻煩，太大了的話可能會發(fā)散，太小收斂速度又太慢。一般確定步長的方法是由線性搜索算法來確定，即把下一個點的坐標(biāo)ak+1看做是的函數(shù)，然后求滿足f(ak+1)的最小值的 即可。 因為一般情況下，梯度向量為0的話說明是到了一個極值點，此時梯度的幅值也為0.而采用梯度下降算法進行最優(yōu)化求解時，算法迭代的終止條件是梯度向量的幅值接近0即可，可以設(shè)置個非常小的常數(shù)閾值。【實驗結(jié)論】（結(jié)

4、果）梯度下降法處理一些復(fù)雜的非線性函數(shù)會出現(xiàn)問題，例如Rosenbrock函數(shù)：其最小值在 處，函數(shù)值為 。但是此函數(shù)具有狹窄彎曲的山谷，最小點 就在這些山谷之中，并且谷底很平。優(yōu)化過程是之字形的向極小值點靠近，速度非常緩慢?？拷鼧O小值時收斂速度減慢。直線搜索時可能會產(chǎn)生一些問題?？赡軙爸中巍钡叵陆??！緦嶒炐〗Y(jié)】（收獲體會） 這次的實驗報告，使得我們對這些算法的思想更加了解，在選擇線性搜索的方法時，我們深刻體會到各類參數(shù)設(shè)置對程序效率的重要性，不同的問題要選用合適的參數(shù)來求解，這樣使得問題求解及程序運行的效率最高。通過不斷地翻閱課本，剖析程序，我們最后實現(xiàn)了對程序的修改

5、和完善，對提供的問題作出了較好的解答?？偟膩碚f，對無約束最優(yōu)化的求解，每種方法在解決不同的問題中效果不能都達到最優(yōu)，所以我們在實際應(yīng)用中，要根據(jù)實際情況選擇合適的方法，爭取最大可能的盡快的接近最優(yōu)。  本次實驗不僅使我們基本了解了最優(yōu)化的實用算法的結(jié)構(gòu)及性能，而且也使得我們對matlab的一些編程技巧更加熟悉，收獲很大。三、指導(dǎo)教師評語及成績：評 語評語等級優(yōu)良中及格不及格1.實驗報告按時完成,字跡清楚,文字敘述流暢,邏輯性強2.實驗方案設(shè)計合理3.實驗過程（實驗步驟詳細,記錄完整,數(shù)據(jù)合理,分析透徹）4實驗結(jié)論正確. 成 績： 指導(dǎo)教師簽名： 批閱日期：附錄1：源 程 序Armij

6、o算法實現(xiàn)：plain view plaincopyfunction mk = armijo( fun, xk, rho, sigma, gk ) assert( rho > 0 && rho < 1 ); assert( sigma > 0 && sigma < 0.5 ); mk = 0; max_mk = 100; while mk <= max_mk x = xk - rhomk * gk; if feval( fun, x ) <= feval( fun, xk ) - sigma * rhomk * norm( g

7、k )2 break; end mk = mk + 1; end return; 最速下降法實現(xiàn)：plain view plaincopyfunction opt_x, opt_f, k = grad_descent( fun_obj, fun_grad, x0 ) max_iter = 5000; % max number of iterations EPS = 1e-5; % threshold of gradient norm % Armijo parameters rho = 0.5; sigma = 0.2; % initialization k = 0; xk = x0; whil

8、e k < max_iter k = k + 1; gk = feval( fun_grad, xk ); % gradient vector dk = -1 * gk; % search direction if norm( dk ) < EPS break; end yk = feval( fun_obj, xk ); fprintf( '#iter = %5d, xk = %.5f, F = %.5fn', k, xk, yk ); mk = armijo( fun_obj, xk, rho, sigma, gk ); xk = xk + rhomk * dk

9、; end fprintf( '-n' ); if k = max_iter fprintf( 'Problem Not solved!n' ); else fprintf( 'Problem solved!n' ); end % record results opt_x = xk; opt_f = feval( fun_obj, xk ); return;附錄2：實驗報告填寫說明 1實驗項目名稱：要求與實驗教學(xué)大綱一致。2實驗?zāi)康模耗康囊鞔_，要抓住重點，符合實驗教學(xué)大綱要求。3實驗原理：簡要說明本實驗項目所涉及的理論知識。4實驗環(huán)境：實驗用的軟、硬件環(huán)境。5實驗方案（思路、步驟和方法等）：這是實驗報告極其重要的內(nèi)容。概括整個實驗過程。對于驗證性實驗，要寫明依據(jù)何種原理、操作方法進行實驗，要寫明需要經(jīng)過哪幾個步驟來實現(xiàn)其操作。對于設(shè)計性和綜合性實驗，在上述內(nèi)容基礎(chǔ)上還應(yīng)該畫出流程圖、設(shè)計思路和設(shè)計方法，再配以相應(yīng)的文字說明。對于創(chuàng)新性實驗，還應(yīng)注明其創(chuàng)新點、