高二數(shù)學(xué)雙曲線(xiàn)例題解析 人教版

1、高二數(shù)學(xué)雙曲線(xiàn)一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 雙曲線(xiàn)教學(xué)目標(biāo) 1. 理解并掌握雙曲線(xiàn)定義。（第一定義、第二定義） 2. 理解雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能根據(jù)條件確定雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握待定系數(shù)法。 3. 理解并掌握雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，能熟練應(yīng)用幾何性質(zhì)確定雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。 4. 掌握直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系的判定，會(huì)求雙曲線(xiàn)截直線(xiàn)所得的弦長(zhǎng)，且會(huì)用弦的中點(diǎn)性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。能力訓(xùn)練 通過(guò)橢圓與雙曲線(xiàn)的類(lèi)比，掌握雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理的能力。進(jìn)一步理解并掌握代數(shù)知識(shí)在幾何運(yùn)算中的作用，提高解方程組和計(jì)算能力，培養(yǎng)和訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合的能力。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)： 雙曲線(xiàn)的定

2、義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的運(yùn)用； 2. 難點(diǎn)： 雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用，雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的概念及方程的導(dǎo)出。三. 教學(xué)過(guò)程：（一）知識(shí)提要 1. 雙曲線(xiàn)第一定義： 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線(xiàn)。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|叫焦距。 2. 雙曲線(xiàn)的第二定義： 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線(xiàn)的距離的比是常數(shù)e（e>1）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線(xiàn)。定點(diǎn)叫雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，常數(shù)e叫雙曲線(xiàn)的離心率。 3. 雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1）焦點(diǎn)在x軸上的： （2）焦點(diǎn)在y軸上的： （3）當(dāng)ab時(shí)

3、，x2y2a2或y2x2a2叫等軸雙曲線(xiàn)。 注：c2a2b2 4. 雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)： <2>對(duì)稱(chēng)性：圖形關(guān)于x軸、y軸，原點(diǎn)都對(duì)稱(chēng)。 <3>頂點(diǎn)：A1（-a，0），A2（a，0） 線(xiàn)段A1A2叫雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，且|A1A2|2a； 線(xiàn)段B1B2叫雙曲線(xiàn)的虛軸，且|B1B2|2b。 e越大，雙曲線(xiàn)的開(kāi)口就越開(kāi)闊。 （學(xué)生自己總結(jié)） 則以這兩條直線(xiàn)為公共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程可以寫(xiě)成： 【典型例題】 例1. 選擇題。 A. 必要但不充分條件B. 充分但不必要條件 C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件 A. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B. 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 C. 焦點(diǎn)在y軸上

4、的雙曲線(xiàn)D. 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn) 則F1PF2的面積為（ ） 解：1. 把所給方程與雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)照 易知：2+m與m+1應(yīng)同號(hào)即可。 選A 易知：x2的系數(shù)為負(fù)，y2的系數(shù)為正 方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn) 4. 由雙曲線(xiàn)方程知：a4，b3，c5 例2. 解：設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為Ax2By21，（AB>0） 例3. 已知B（-5，0），C（5，0）是ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。 分析：在A(yíng)BC中由正弦定理可把轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形可知頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線(xiàn)的左支。 解：在A(yíng)BC中，|BC|10 頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為兩個(gè)焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線(xiàn)

5、的左支 又c5，a3，b4 注：（1）利用正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊與角的轉(zhuǎn)換，這是求軌跡方程的關(guān)鍵； （2）對(duì)于滿(mǎn)足曲線(xiàn)定義的，可以直接寫(xiě)出軌跡方程； （3）求軌跡要做到不重不漏，應(yīng)刪除不滿(mǎn)足條件的點(diǎn)。 例4. （1）求與橢圓的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。 （2）求與雙曲線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：（1）由橢圓方程知： （2）解法一： 雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)必在x軸上 解法二： 例5. （1）過(guò)點(diǎn)M（1，1）的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若M為AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)AB的方程； （2）是否存在直線(xiàn)l，使點(diǎn)為直線(xiàn)l被雙曲線(xiàn)截得的弦的中點(diǎn)，若存在求出直線(xiàn)l的方程，若不存在說(shuō)明理由。 解：（1）設(shè)AB的方程為：y1k（x1） （1

6、）另解法： 當(dāng)x1x2時(shí)，直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)。 （2）假設(shè)過(guò)的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)于C（x3，y3），D（x4，y4）兩點(diǎn) 1. 若表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，那么它的半焦距c的取值范圍是（ ） A. B. （0，2）C. D. （1，2） 2. 雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的夾角為60°，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ） A. 2或B. 2C. D. 3. 圓C1：和圓C2：，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程。參考答案 1. 答案：A 2. 答案：A 3. 分析：解決本題的關(guān)鍵是尋找動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足的條件，對(duì)于兩圓相切，自然找圓心距與半徑的關(guān)系。 解：設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)