曲線方程的表示方法DOC

1、第一章曲線論§ 1.1曲線方程的表示方法曲線的概念：曲線是點按照某 規(guī)律在空間中運動的軌跡?，F(xiàn)實中的各種軌跡曲線圖形。在空間直角坐標系Oxyz中，點P的坐標表示為(x,y,z)，x軸、y 軸、z軸上的單位向量分別記為i ,j,k 。4 T 彳 T T向量r = OP = xi + yp zk，可簡記 為 r - (x,y,z)。r|卜 Jx? + y- z2 。4 b|,對任意向量a,b，成立三角形不 等式|a+b|p a| + |#iibi<o4 4補充知識：(1)向量的內(nèi)積TT設(shè) a =(81,82,83)， b= (bi,b2,b3)，T定義a b=|a| |b|cos日

2、，稱為向量aT T -K-KTT TT T與b的內(nèi)積；記為a b或(a,b)，其中日是向量a與b的夾角。TTT T可以證明：aF = aibi中82中a3b3 。T 2 T T222|a=(a,a)=ai + a? + 83 ;|a + b=(a+ b,a+b) 利；+2(；,b)+ |b。（2） 向量的外積（或叉積）T定義向量c的大小為|a| |b|sine，（<.），T與a,b垂直，方向為使a,b， C恰且c 成右手坐標系，此向量 c稱為a與b在直角坐標系中，可以證明:T=(ai,a2,a3)4I4aibla2b2b= (bi,b2,b3)，ka3b3的外積，記為184a2a3aia

3、3aia2 b2b3bib3bib2O7)jai bla2b2a3b34i +(一+ ： 4a2blb2a3 bs外積的大小除了按上面的方法計 算外，還有下面簡便的計算11二 b|J|al|b sin*=|；|2用|2 （1-cos晞）=iiaiib-（a,b）2。=（bi,b2,b3）,TT設(shè) a =（31,32,33）, bTc 二（ci,C2,C3）混合積a 春 c）=aibiCia2b2C2a3b3C3記 a（c）二（a,b,c）,顯然有2詁必（寫）二（£ a）b。幾何意義二重外積展開式a 缶 c）=（ac）b（ab）c,4*44 H(a% b)x c c% (a4b)(b

4、c)a(b c)a 。Lagrange恒等式（2b）（Cxd)=adbc鳥4d)=44.柑b尸(cH 4=(c,d,a)b - (c,d,b)a。(a（?爲必（a,b,c）d(a C)b 二(a c)b定理設(shè)必：應(yīng)）為三階正交矩陣，a 二（ai,a2,a3）, b = （Ebb）, 則有（如尸（bT）= sgn（detT）（去 b）T 。證明aT=a（暑；2怎2（以/鳥總,以丈）， bT=b（cS2,）=（bi,b2,b.：3）， 由外積的計算公式，并利用Lagrange恒等式，4444444aasaa%a角a 244+ +J 4J44bb心3bb%b2)4444444 H= (a<b)

5、庖沢辺)，-(ab) &g3),(a沢b) .4 d 4 片 axb)(a2 Xg,=(可得= (a%b)G2 xa'3, -( 咒怎),，1咒1)T T4 4= (axb)sg n(detT)(ct1,a24)4 T=sgn（detT）（axb）T ,這是由于&2,&構(gòu)成右手系，或構(gòu) 成左手系。=Jx2 + y2 -2x - 4y + 9 + Jx2 + y2 - 6x + 2y + 11 的最小Jx2 +y2 -2x-4 y + 9 = J(x-1 )2+(y - 2)2 +(0 22是點P(x, y,0 )與點 A( 1,2,2 )的距離,又 Jx2 +

6、y2 -6x + 2y +11 = J(X - 3 )2 + ( y +1 )2 + (0-1 )2是點P(x, y,0 )與點B(3,-1,-1)的距離也是點P(x, y,0 )與點C(3,1,1)的距離,由于AB < PA + PB ,故z的最小值為 AB = J22注意點A（1,2,2）與點C（3,-1,1）同在xOy平面的一側(cè)，在xOy平面上尋找一點P（x, y,0 ）,使|PA + | PC最小，點B（3,-1,-1）是點C（3,-1,1）關(guān)于 xOy平面的對稱點，|Pq=|PB|,|Aq = JT4,AZ、此題的幾何意義是經(jīng)典熟知的 .面曲線的幾種表示方法顯表達：y = f（

7、X），函數(shù)y = f（X）的圖象G（f）說成是一段曲線。y= f（x）是該 曲線的表達式，如果某曲 線是函數(shù)y = f（x）的圖象， 則y = f（x）稱為該曲線的顯 表達式。2°隱表達式：如果曲線上的點是由方程F（x,y）=0的解（X, y）所構(gòu)成，則方程=0表示該曲線。例如：F(X, y) = X2 + y2 - a2 = 0表示一個圓的曲線，F(xiàn)(X, y) = ax + by + c = 0 ,(a2 + b2 > 0)表示一個直線。3°曲線的參數(shù)表示：如果曲線上的點可由；爲，忙【7 的點(x,y) 來描繪，則稱它為曲線的參數(shù)方程。例如：單位圓 式X = si*

8、 ,_,y = cos8，2 2X " y = 1有參數(shù)表達r 1-t2|x =市, 或：2t02tan2在 x Yin.J-1 + tan2 22 01- ta n 2y = cos =片匚中2 61 + ta n 2e令t=tanp（即是萬有代換）,一2t1-12則有x=廿,y=冇.單位圓的參數(shù)方程的幾何意義： 過（-1,0）作斜率為k的直線與 單位圓的交點坐標。設(shè)斜率為k，則過點（-1,0）的直線 方程為廠k（x+1）,求它與圓x y2=1的交點，聯(lián)立得k2(x+1)2+x2=1,(k2+1)x2 + 2k2x +k2-1 = 0,利用求根公式解得，1- k2X "

9、1 + k2，1 +r 1-k2 r vk2，I _ki y = _,I V k22kk2,為單位圓的參數(shù)方程。_x +2a2 y_ b2二1有參數(shù)表達式OQx = asint,I y = b cost 7參數(shù)方程例 1、(X = a(t - sin t)Sad-cost)，0"2所確定的曲 線稱為旋輪線(也稱為擺線)。來源背景，它的幾何意義是：當一個圓沿著一條直線無滑動地滾個固定點P所描繪出的動時，圓路徑（曲線）叫做旋輪線（也稱為 擺線）。方程建立的過程。手工操作運動法。課外搜索閱讀：擺線、最速降 線的文獻資料。4曲線的極坐標表示:r = r（日）a蘭8蘭p極坐標表示與直坐標表示可

10、以互化，x = r( )cos"廠 rC )sin 日。幾種表示的優(yōu)缺點。二、空間曲線的表示方法1°參數(shù)表示法：X = x(t)y = y(t)z= z(t)所形成的點(x(t), y(t), z(t),描繪出空 間中的一條曲線，稱為曲線的參數(shù) 表。例如：(x= acostI(_«,+ «), (a > 0,b > 0) y = asintz = bt由于x2 +它的圖形是圓柱螺它的幾何意義: 線。圓柱螺線的產(chǎn)生方式：將平面 上的矩形圖形卷成圓柱，矩形的對 角線在圓柱上就是圓柱螺線。螺線的運動產(chǎn)生方式。列舉常見 的螺線。2°曲線的向量表示法向量：既有大小又有方向的量稱 為向量。TTTxer ye",在選定坐標系下向量的表示：r =或 r =（X, y, z）。UPx= x(t) 把參數(shù)曲線卜 lz= z(t)改寫成向量形式r = r(t) = (x(t), y(t), z(t) , f ,卩， 兩者表示的是同樣一條曲線，r(t)= (x(t),y(t),z(t)，L a ,卩稱為該曲線的向量方程。定義1.1女口果 x= x(t), y = y(t), z = z(t)都是區(qū)間a，叮上的連續(xù)函數(shù)，那么曲 線x= x(t)y= y(t).z= z(t)，稱為連續(xù)曲線?？臻g曲線的一般定義：設(shè)I