【孫玥】教學(xué)設(shè)計

1、教學(xué)設(shè)計課題名稱數(shù)列的通項公式與遞推公式課時1課時教學(xué)對象高一年級授課教師孫玥5課題出處人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修 5第2章第1節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法（第二課時）2.1.2數(shù)列的通項公式與遞推公式、教材分析本節(jié)內(nèi)容選自人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修 5第2章第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法（第二課時），數(shù)列遞推公式內(nèi)容的學(xué)習(xí)安排在數(shù)列的 定義、表示方式及通項公式內(nèi)容之后，是對數(shù)列知識的進(jìn)一步深入探究。本節(jié)內(nèi)容承接第一課時數(shù)列的通項公式，即通過對一組數(shù)字的觀察得出其 數(shù)學(xué)規(guī)律，并為此后學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列打下了基礎(chǔ)。應(yīng)用遞推公式可寫出數(shù) 列的前幾項，并可推導(dǎo)出相應(yīng)的通項公式。遞

2、推公式、通項公式的知識貫穿于 數(shù)列學(xué)習(xí)的整個過程，由此可見本節(jié)內(nèi)容十分重要，起到了承前啟后的作用。、學(xué)情分析從知識上講，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列的定義、一般形式及其通項公式后，對數(shù)列 具備了一定的認(rèn)識。此時，介紹數(shù)列的遞推公式，利于學(xué)生理解，在認(rèn)知上易 于學(xué)生接受。從方法上講，通過前一課時的學(xué)習(xí)，學(xué)生已初步具備觀察分析、 歸納猜想數(shù)字規(guī)律的能力，為此在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在對數(shù)字進(jìn)行探究猜 想時更易得出規(guī)律，易于寫出遞推公式。三、教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】：1. 理解數(shù)列的遞推公式定義；2. 理解遞推公式與通項公式的異同；3. 掌握使用數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項的方法；【過程與方法】：通過對數(shù)字規(guī)律的研

3、究，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程， 探索數(shù)學(xué) 規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力、歸納猜想能力及抽象概括能力；【情感、態(tài)度與價值觀】：通過解決含有生活情境的問題案例， 讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，感受數(shù)字帶來的樂趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。四、教學(xué)重、難點(diǎn)1重點(diǎn)：能根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。2.難點(diǎn)：理解遞推公式與通項公式的異同。五、教學(xué)方法1.通過兔子繁衍的問題情境引入新課，弓I導(dǎo)學(xué)生對所提問題做出分析，并通過 合作探討、小組討論等活動形式得出遞推公式概念。2.弓I導(dǎo)學(xué)生對比通項公式和遞推公式，讓學(xué)生嘗試使用對比法分析問題。六、教學(xué)環(huán)境及資源準(zhǔn)備教具準(zhǔn)備：1.多媒體課件PPT2. F

4、LASH七、教學(xué)過程、【學(xué)前咨詢】復(fù)習(xí)舊知，夯實基礎(chǔ)：1.數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。注意：(1)數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù) 相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；(2)定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù) 列中可以重復(fù)出現(xiàn)。數(shù)列的第1項(首項)，第2項，第n項，3.數(shù)列的一般形式：ajSH，-.2.數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。 各項依次叫做這個 ,an，簡記為an ， an是數(shù)列的第n項。4. 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列an的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個 公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式

5、。注意：(1)不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式；(2) 一個數(shù)列的通項公式有時不唯一，如數(shù)列：1, 0, 1, 0, 1, 0,1(1)n 1an an | cos|它的通項公式可以是2 ，也可以是2。（3）數(shù)列通項公式的作用：求出數(shù)列中任意一項；檢驗?zāi)硵?shù)是否為該數(shù)列中的一項。數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它即表示數(shù)列的第 n項，又是這個數(shù)列中 所有各項的一般表示。通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給定數(shù) 列的通項公式，代入項數(shù)即可求出數(shù)列的每一項。教師活動：教師先以單獨(dú)提問的形式引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)列的定義，進(jìn)而再提 問學(xué)生“數(shù)列中每個數(shù)字被稱作什么” “數(shù)列的一般形式怎樣表示” “如何定義

6、數(shù)列的通項公式”等問題。當(dāng)學(xué)生作答苦難時，教師作以指引，并請其他同學(xué) 給予補(bǔ)充，從而完成復(fù)習(xí)舊知的環(huán)節(jié)。學(xué)生活動：通過思考回憶后，舉手回答問題?！驹O(shè)計意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)知識，為學(xué)生形成知識間的聯(lián)系和框架建立平臺， 并為下一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。期間，對于概念的復(fù)習(xí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)其易錯與易忽視之處， 引起學(xué)生的注意，并輔助以具體實例加以說明?！慷ⅰ疽龑?dǎo)定向】創(chuàng)設(shè)情境，引入新知：早在800年前（1202年），意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的著作算盤全書 中提出一個問題，這個問題后來被人們稱作為“兔子問題”。假設(shè)一對剛出生的小兔一個月后就能長成大兔，再過一個月就能生下一對 小兔，并且此后每個月都生一對小兔，一年內(nèi)沒有發(fā)生

7、死亡，問：一對剛出生 的兔子，一年內(nèi)繁殖成多少對兔子？【設(shè)計意圖：具體情境的給出使抽象的數(shù)學(xué)生活化，讓學(xué)生更易理解，并 符合課標(biāo)中所強(qiáng)調(diào)的“讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值”，此外，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興 趣，促使他們樂學(xué)其中?！拷處熁顒樱航處熃o出PPT動態(tài)兔子繁殖過程演示圖，并組織學(xué)生開展小組討論。討論后，請同學(xué)說出前 6個月兔子的情況，教師作以總結(jié)分析，并在黑 板給出如下樹狀示意圖：學(xué)生活動：小組討論兔子繁衍問題，給出前六個月的兔子數(shù)，并解釋每個 月兔子數(shù)目的緣由?！驹O(shè)計意圖：使用樹狀圖解題，使問題更加直觀，易于學(xué)生理解?！客瑢W(xué)們，如果我們繼續(xù)數(shù)下去，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)字變得越來越大，數(shù)起來十分 繁瑣，那么我們

8、換種角度思考，你能觀察出這組數(shù)字中的規(guī)律，從而得到下一 個月份的兔子數(shù)嗎?教師活動：組織學(xué)生開展小組討論，討論期間教師對有疑問的小組進(jìn)行有 針對性的輔導(dǎo)。小組討論過后，請學(xué)生代表作答，教師對答案作以補(bǔ)充。學(xué)生活動：學(xué)生通過分析問題，進(jìn)行小組討論并隨后選出代表進(jìn)行作答。觀察結(jié)果：我們不難發(fā)現(xiàn)，上面這組數(shù)有這樣一個規(guī)律：即從第3個數(shù)起, 每一個數(shù)都是前面兩個數(shù)的和。那么，我們能否使用數(shù)學(xué)語言將其表示呢?教師活動：教師通過問題串的形式深入問題， 一步步地引導(dǎo)學(xué)生分析出：不 能只給出耳y +耳一士 = ，而需指明n的取值范圍，并且只有在知道第一、 二項的前提下才能通過_2+盤啊_1 = %0>

9、3）推出所有數(shù)字。（ttl =眄=1+陽,-1 =%（他> 3 并給出遞推公式定義。遞推公式：如果已知數(shù)列an的第1項（前幾項），且任一項an與它的前 一項an 1 （前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這 個數(shù)列的遞推公式，遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法?！驹O(shè)計意圖：此處學(xué)生可能不會一次性成功地概括出上述公式，由于此遞 推公式給出的連續(xù)三項間的關(guān)系，所以容易導(dǎo)致學(xué)生概括上的困難，這時就需 要教師多加引導(dǎo)，幫助學(xué)生形成結(jié)論?！磕敲矗F(xiàn)在我們可以計算出12月份繁殖出多少對兔子了。1月2月3月4月5月6月1123587月8月9月10月11月12月1321345589144

10、由于此數(shù)列由意大利中世紀(jì)數(shù)學(xué)家斐波那契在算盤全書中提出，故將 這種數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”?！驹O(shè)計意圖：給出遞推公式后，回到原引入問題，并應(yīng)用此公式解決問題， 使學(xué)生感受數(shù)學(xué)方法帶來的便捷，體會遞推公式在解決實際問題上的價值?！咳?、【闡明】合作討論，深化新知:a11例1設(shè)數(shù)列an滿足and 1 八寫出這個數(shù)列的前五項。1 （n 1）.an 1解：由題意知：a11,a212,a31a1a21丄a3583,a559例2觀察下列兩組數(shù)并總結(jié)規(guī)律:(1) 3, 5, 9, 17, 33, 3 , 5, 8, 13,21, 34, 55, 89,解：（1）通項公式:= 2n + l(n > 1);

11、（2）遞推公式:a13, a25, an an 1 an 2(3 n8)；請同學(xué)們觀察上述兩個公式，你能發(fā)現(xiàn)遞推公式和通項公式的異同嗎?教師活動：教師板書例題，留有時間讓學(xué)生先進(jìn)行獨(dú)立思考，當(dāng)大部分學(xué) 生形成一定解題思路后，教師先請一位學(xué)生回答，并其余學(xué)生做以補(bǔ)充，最后 教師總結(jié)，規(guī)范格式。學(xué)生活動：思考例題，解決問題。通項公式與遞推公式的對比通項公式遞推公式相同點(diǎn)都可求出數(shù)列的任何一項或判斷某一數(shù)字是否為數(shù)列中的一項不同點(diǎn)刻畫第n項an與n之間的關(guān) 系，即項與項數(shù)之間的關(guān)系?？坍嬋我豁梐n與它前一項an 1 （前 n項）間的關(guān)系，即相鄰兩項（n 項）之間的關(guān)系?？偨Y(jié)使用通項公式求數(shù)列中某一項

12、或判斷某一數(shù)字是否為數(shù)列中的一 項時，通項公式比遞推公式更加直接方便?！驹O(shè)計意圖：例1的設(shè)置加深學(xué)生對遞推公式的理解，通過此題的講解與練習(xí)，使學(xué)生更深入明白遞推公式的使用方法；例 2通過兩組數(shù)字讓學(xué)生分別 得出通項公式和遞推公式，從而引發(fā)學(xué)生對兩公式異同的思考，深化學(xué)生對公 式本質(zhì)的理解。】四、【自由定向】運(yùn)用訓(xùn)練，鞏固新知:練習(xí)1.根據(jù)各數(shù)列的首項和遞推公式，寫出前五項并給出通項公式。(1)a1 = 0, an 1 = an + (2n )(n N);a1 = 3, an 1 = 3 an 2 (n N).2aa1 = 1, an1 = r (n N)；解:a1 = 0, a2 = 1, a

13、3 = 4,a4 = 9,a5 = 16,an = (n 1)2;, 2 1a1 = 1, a2 = , a3 =322-an =n 1a1 = 3= 1+2 3°, a2 = 7= 1+2 31, a3 = 19= 1+2 32,a4 = 55= 1+2 33, a5 = 163= 1+2 34,二 an = 1 + 2 3n 1練習(xí)2. 1.下圖是一個樹形圖的生長過程，依據(jù)圖中所示的生長規(guī)律，第8行的實心圓點(diǎn)的個數(shù)是多少？你能用遞推公式表示樹的生長規(guī)律嗎?“-第1行 -i第3行 一第3行 一第4行躬5行 ，第方行2.樓梯共10級臺階，規(guī)定每步可邁一級臺階或二級臺階，從地面到最上

14、面一級臺階，一共可以有多少種不同的走法？你能用遞推公式表示它嗎？教師活動：教師PPT給出變式練習(xí)，讓學(xué)生獨(dú)立思考完成。在學(xué)生思考作 答時，教師觀察每個學(xué)生的情況。當(dāng)大部分學(xué)生作答完畢后，請學(xué)生回答，其 余學(xué)生做補(bǔ)充，最后教師總結(jié)。學(xué)生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，并完成練習(xí)?！驹O(shè)計意圖：通過變式練習(xí)1幫助學(xué)生鞏固知識，深化本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)，即根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項練習(xí) 2則設(shè)置與“兔子問題”本質(zhì)相同但情境不同的兩道思考題，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的實際運(yùn)用能力，考察學(xué)生是否 真正理解此類問題的本質(zhì)，能否自我解決實際生活問題。】五、【整合】課堂小結(jié)，強(qiáng)化重點(diǎn)：總結(jié)回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容:1. 遞推公式定義及其用法；2. 通項公式與通項公式的關(guān)系：通項公式反映項與項數(shù)之間的關(guān)，而遞 推公式反映相鄰兩項(n項)之間的關(guān)系。師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生回憶本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并共同總結(jié)、概括出所學(xué)六、課后練習(xí),1.書 P27作業(yè)布置:重點(diǎn)、難點(diǎn)。_2、3、52.思考題(選作)：(1) 一只青蛙從寬5米的水田的一邊要跳往另一邊，它每次只能跳0.5 米,或1米,這只青蛙跳過水田共有多少種不同的方法 ？(2)有一堆火柴共12根，如果規(guī)