7.4柯西點列和完備度量空間

1、教學單元教案格式第頁課程教案授課題目.第三節(jié)度量空間中的基本概念柯西點列和完備度量空間教學時數(shù):授課類型:理論課 實踐課教學目的、要求：注：指教學中要體現(xiàn)“課程的總體目標"和“章、節(jié)或?qū)嵺`教學單元的目標”、預期達到的效果等。注：指該章、節(jié)的重點和難點部分，學生必須掌握的知識點和技能。實踐教學還包括實踐操作訓練 的主要指導要點：關鍵環(huán)節(jié)、關鍵技術指導方法等。教學重點： 教學難點:教學方法和手段：注：是根據(jù)教學目的進行教學方式（講授、演示、實驗、實作、討論、案例分析、仿真或真實現(xiàn)場 實作指導等）、教學輔助手段（教具、模型、圖表、實物、現(xiàn)代教學設施設備，以及特殊教學或?qū)嵺` 環(huán)境等）、師生互

2、動、板書等的設汁。要能有效地調(diào)動學生的學習積極性，促進學生的積極思考，激 發(fā)學生的潛能。注：以下內(nèi)容按實際需要進行取舍教學分組；注：指導教師及學生分組情況說明 安全事項；注：教學實踐過程中的人身、設備、儀器及產(chǎn)品等安全：操作安全規(guī)范說明：或安全 隱患防范措施等。教學條件；注：教學場地、設施、設備、軟件等要求說明： 參考資*4；注：是提供給學生課后參考，輔助加掌握課程教學內(nèi)容，擴大知識而的資料其它；注：指另行增加的要素項目，由各系、教研室根據(jù)不同專業(yè)不同課程的教學需要自行規(guī)定 其坍稱和要求。課程教案教學內(nèi)容及過程注：是指通過對教學大綱、教材和主要參考資料的研析，確宦本教學單元的課程 教學知識信息

3、的總和。實踐課還應注重其對實踐環(huán)節(jié)的指導性，必要時應包含實 踐步驟及其說明。教學引入（可選）：教學內(nèi)容與教學設計：注：此部分詳略取決于教師教學經(jīng)驗多少、教學內(nèi)容的熟悉程度：經(jīng)驗少、內(nèi)容 較生疏的教師此部分應更詳細。一基本概念1柯西（Cauchy）列設兀是度量空間X中的點列，如果Vf>0, 3 N使當njn > N時有（和心）< £則稱兀是X中的柯西列或基木列。注：柯西列不一定是收斂點列。收斂點列一定是柯西列。2完備度ft空間度星空間X中的任一柯西列都在X中收斂，則稱X為完備度量空間。注：完備度暈空間中柯西列與收斂點列等價。二完備度量空間的例子2. Ca,b旁批三 完

4、備度量空間子空間的完備性1定理：完備度暈空間X的子空間M是完備的充要條件是M是X中的閉子空間。注：這一定理的優(yōu)勢是在判斷完備度量空間X的子空間M是否完備不需要驗證M中的任一 Cauchy列都在M中收斂，而只需判斷M中任意收斂點列的極限是否還在M中。2例子c=卿” x=(盒)，y=(”)wc定義命題：C是完備的。四不完備度量空間的例子1 Pa.b不是完備的P上表示閉區(qū)間“上上多項式函數(shù)全體V p.q 定義 d(p、q) = max注：作為度量空間，P4切是cub的子空間，這表明P"0在C"沖不是閉的。2 X = XI x(z) e “,d(x,y) = JJx(/)- y(z

5、)p/z,V.v,y e X.命題：X在上面定義的度量d下是不完備的。映射在一點處的連續(xù)性1定義設X = （X,）, y = （Zj）是兩個度量空間,T是X到Y中的映射，&已X ,如果 Vf >0, 3 J>0,使得當 JveX,有則稱T在兒連續(xù)。注：鄰域表示2利用點列收斂判斷映射在一點的連續(xù)性定理：設T是度量空間（XM）到度量空間（丫方）中的映射，那么 T 在X企X連續(xù)的充要條件為當時，必有->鞏（*->8）。注：上述定理類似與數(shù)學分析中的歸結原則。二連續(xù)映射1定義如果映射T在X中的每一點都連續(xù)，則稱T上X上的連續(xù)映射。2判斷記號：集合稱為集xlA-eX,7keMcr合M在映射T下的的原像，記為廠定理：度量空間X到Y中的映射T是X上連續(xù)映射的充要條件為Y中任意開集M的原像廠冊是X中的開集。教學目標:（一）知識與技能目標:1仿照直線上函數(shù)連續(xù)性的定義，我們引入度量空間中映射連續(xù)性的概念。2給出度量空間上的映射的連續(xù)性的兩個等價條件。（二）過程與方法目標:以定理的形式給出度量空間上映射連續(xù)的兩個充要條件。教材分析:（一）教學重點：用極限的形式和集合對應關系給出本節(jié)的兩個重要定理。（二）教學難點：連續(xù)，連續(xù)映射課 型：新授課教學方法：講解法作業(yè)布置：注：作業(yè)、思考題