半角模型專題專練

1、半角模型例題已知，正方形 ABCD中，/EAF兩邊分別交線段 BC、DC于點E、F,且/EAF = 45結論 1 : BE+ DF= EF結論2 : S>AABE + S»A ADF = S»AAEF結論 3: AH = AD結論4: zCEF的周長=2倍的正方形邊長=2AB結論5:當BE= DF時， CEF的面積最小結論 6: BM2+ DN2 = MN2結論7:三角形相似，可由三角形相似的傳遞性得到結論8: EA、FA是4CEF的外角平分線結論9:四點共圓 結論10: 4ANE和4AMF是等腰直角三角形（可通過共圓得至U）回結論11 : MN =EF （可由相似得

2、到）結論12: $ AEF=2S；AAMN （可由相似的性質(zhì)得到）設正方形ABCD的邊長為1結論5的證明：則 Sxaef=1-S1-S2-S3=1 -2x- 2y -2(1 - x)(1 - y) i i=3 - ；,xy所以當x = y時， AEF的面積最小結論6的證明:將4ADN順時針旋轉(zhuǎn)900使AD與AB重合 .DN = BN易證 AMN AAMN. .MN = MN在RtABMN中，由勾股定理可得:BM2+ BN 2= MN 2結論7的所有相似三角形：AMN s' AMN sDFNAMN sBMEAMN c/dABANAMN sMFE即 BM2 + DN2 = MN2Word資

3、料DMA結論8的證明：因為 AMN sAFE./3=/2因為 AMN sBAN. / 3 = / 4；/2=/4因為AB / CD / 1 = / 4 / 1 = / 2結論9的證明:因為/ EAN = / EBN=45°A、B、E、N四點共圓（輔圓定理：共邊同側等頂角）同理可證C、E、N、F四點共圓A、M、F、D四點共圓C、E、M、F四點共圓*必會結論 圖形研究正方形半角模型已知：正方形 ABCD , E、F分別在邊 BC、CD上，且EAF 45 , AE、AF 分別交 BD 于 H、G ,連 EF .、全等關系(1)求證： DF BE EF ; DG2+BH2= HG2; AE

4、平分二、相似關系(2)求證： CE V2DG ； CF V2BH ； EF 亞HG .cc_BEDF1(3)求證：AB2BG DH ;AG2BG HG ;CECF2三、垂直關系 _/AB(4)求證： AG EG; AH FH ; tan HCF 一.BE(5)、和差關系求證： BG DG V2BE ； AD DF V2DH ；BEF, AF 平分 DFE .A | BE DF | .2 |BH DG |.例1、在正方形 ABCD中，已知/ MAN =45° ,若M、N分別在邊CB、DC的延長線上移動， .試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關系. .求證：AB=AH.例 2、在四邊形

5、 ABCD 中，/ B+ / D = 180 ° , AB=AD，若 E、F分另I在邊BC、CD上，且滿足 EF=BE +DF.求證：/ EAF = 3/ bad例 3、在4ABC 中，AB=AC , / BAC=2 /DAE=120 ，若ABD=5 , CE=8 ,求 DE 的長。81) E C例4、請閱讀下列材料：已知：如圖1在Rt ABC中，BAC 90 , AB AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若 DAE 45 .探 究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關系.小明的思路是：把 AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90 ,得到ABE ,連結ED ,使問題得到解決.請你參考小明的思路

6、探究并解決下列問題：(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關系式，并對你的猜想給予證明；(2)當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖2,其它條件不變，中探 究的結論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.AA圖2例5、探究:(1)如圖1,在正方形 ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且/ EAF= 45 ° ,試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關系，直接寫出判斷結果:(2)如圖2,若把(1)問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅?ABCD中，AB=AD, / B+/ D = 180 ° , E、F分別是邊BC、CD上的點，且/ EAF=1/BAD

7、"，則(1)問中的結論是否仍然成立？若成立, 2請給出證明，若不成立，請說明理由；(3)在(2)問中，若將 AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點分別E、F運動到BC、CD延長線上時,如圖3所示，其它條件不變，則(1)問中的結論是否發(fā)生變化？若變化， 請給出結論并予以證明練習鞏固1：如圖，在四邊形ABCD中，/B=/D = 90° , AB八一一，B，分別在邊BC、CD 上的點，且/ EAF = 2/BAD .AD ,若 E、F求證：EF=BE +DF.練習鞏固2:如圖，在五邊形 ABCDE 中，AB = BC = CD = DE=EA,/CAD =2/ BAE,求/ BAE 的度數(shù)

8、練習鞏固3: 已知：正方形ABCD中， MAN 45°,繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB、DC (或它們的 延長線)于點M、N.(1)如圖1,當 MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM DN時，有BM DN MN .當 MAN 繞點A旋轉(zhuǎn)到BM DN時，如圖2,請問圖1中的結論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；(2)當 MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM, DN和MN之間有怎樣的等量關系？請寫出你的猜想，并證明.練習鞏固4(1)如圖，在四邊形 ABCD 中，AB=AD, / B= /D=90° , E、F 分別是邊BC、CD上的點，且/ EAF=./B

9、AD.求證：EF BE FD；(2)如圖在四邊形 ABCD 中，AB=AD, /B+/D=180° , E、F分別是邊BC、CD上的點，且/ EAF=/BAD, (1)中的結論是否仍然 成立？不用證明.(3)如圖，在四邊形 ABCD 中，AB = AD, / B 十 / ADC =180° , E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且/EAF=3/BAD, (1)中的結論 是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量 關系，并證明.(4)如圖，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊AB、CD上),使點B落在AD邊上的點M處，點C落在

10、點N處，MN與CD交于點P,連接EP.(1)如圖，若M為AD邊的中點，4AEM 的周長=cm ;求證：EP= AE+DP;(2)隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置(點M不與A、D重合)， PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由.(5).如圖17,正方形ABCD , E、F分別為BC、CD邊上一點.(1)若/EAF=45o.求證：EF= BE+ DF.(2)若4AEF繞A點旋轉(zhuǎn)，保持/ EAF=45o,問，CEF的周長是否隨 AEF位置的變化而變化？圖17(3)已知正方形ABCD的邊長為1,如果，CEF的周長為2.求/ EAF的度數(shù).練習鞏固5、 如圖，已知在正方形 ABCD中， MAN= 45&

11、#176; ,連接BD與AM , AN分別交于E、F兩點求證：(1) MN =MB + DN ;(1) 點A到MN的距離等于正方形的邊長；(3) VCMN勺周長等于正方形ABCD邊長的2倍;(4) SWABCD 組 SvcmnMN(5) 若 MAB= 20 ° ,求 AMN(6) 若 MAB 0 p p 45° ,求 AMN(7) EpeB2 DF2；(8) VAENWVAFM等腰三角形；S 1(9) SVAEF1oSVAMN 2練習鞏固6、在等邊 ABC的兩邊AB , AC所在直線上分別有兩點 M,N,D為ABC外一點，且 MDN 60 , BDC 120 , BD CD

12、,探究：當點 M , N分別愛直線 AB,AC上移動時，BM , BN , MN之間的數(shù)量 關系及 AMN的周長Q與等邊ABC的周長L的關系.圖MND 圖C(1)如圖，當點M ,N在邊AB, AC上，且DM DN時，BM , NC , MN之間的數(shù)量關系式此時QL (2)如圖，當點M ,N在邊AB,AC上，且DM DN時，猜想問的兩個結論還成立嗎？寫出你 的猜想并加以證明；(3)如圖，當點M , N分別在邊AB, CA的延長線上時，若AN x,則Q (用x,L表示) 練習鞏固7、如圖所示，ABC是邊長為1的等邊三角形，4BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°的/ MDN，點M, N分別在AB, AC上，求 AMN的周長練習鞏固8、如圖，在正方形 ABCD中，BE=3, EF= 5, DF = 4,求/ BAE十/ DCF為多少度。鞏固練習9、繞著EDFAB的如圖 1, Rt ABC Rt EDF, / ACB= / F = 90 ° , / A= / E= 30中點D旋轉(zhuǎn)，DE, DF分別交線段AC于點M, K.（1）如圖2、圖 3,當/ CDF =0° 或 60 ° 時，