(完整版)課例：拋物線的定點弦問題(簡案)

1、課題：拋物線的定點弦問題上海大學(xué)附屆中學(xué)李昉2021年11月26日一、教材分析：拋物線,作為四種二次曲線一一圓、橢圓、雙曲線、拋物線中的最后一種, 教材在這一小節(jié)中簡單介紹了拋物線的幾何性質(zhì)及一種奇特的光學(xué)性質(zhì),學(xué)生通過對這些性質(zhì)的學(xué)習(xí),可進一步掌握拋物線的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程,同時也為學(xué)生 進一步探究拋物線的其它性質(zhì)留下了廣闊的空間.拋物線的性質(zhì),除了書上介紹 的之外,還有如拋物線的焦點弦問題、拋物線的定點弦問題等等,都可以作為我 們教學(xué)中探究的課題.拋物線性質(zhì)的探究,對丁培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識的水平、 培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生勇丁探究的精神等,都具有重要的作用.二、教學(xué)目標(biāo)1. 熟練掌握

2、向量的數(shù)量積運算、直線與拋物線相交問題中的常規(guī)解題思路、分類討論思想與方法等2. 學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,綜合應(yīng)用知識探究、解決問題的方法；形成縱向思考問題、逆向思考問題的意識,優(yōu)化思維品質(zhì)3. 培養(yǎng)學(xué)生勇丁探究的精神,提升學(xué)生合作交流的水平三、教學(xué)重點、難點：學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,綜合應(yīng)用知識探究、解決問題的思路和方法四、教學(xué)方法及手段：以“疑為樞紐,創(chuàng)設(shè)問題情景,師生互動,生生互動,引導(dǎo)學(xué)生共同探究解決問題五、教學(xué)過程：(一) .問題引入：在平面直角坐標(biāo)系xoy中,設(shè)直線l與拋物線y2 2x相交于A, B兩點,(1)假設(shè)l: y x 3,求OA OB , (2)假設(shè)l: y 2(x 3)

3、,求OA OB(學(xué)生分兩組解答問題,老師強調(diào)：聯(lián)立方程組消元時方法的選擇以及常規(guī)的解題思路)(二) .問題探究：1. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題：上述兩組問題中,所給的直線方程不同,而所得結(jié)果卻是一樣的,考 察兩條直線的方程,有何共同之處？不同之處？假設(shè)直線過點 (3,0),當(dāng)它 的斜率改為3, k或直線斜率不存在,其結(jié)果還是一樣嗎？2. 引導(dǎo)學(xué)生提出問題：問題一：從這兩組問題的解答中,你能概括出怎樣的一個命題？它是真 命題還是假命題？命題：在平面直角坐標(biāo) 系xoy中,直線l與拋物線y2 2x相交于A,B兩點, 假設(shè)直線l過點T (3,0),那么OA OB 3,是真命題(學(xué)生答復(fù),老師補充歸納)3. 引

4、導(dǎo)學(xué)生進行推廣問題二：至此,我們已經(jīng)在原來問題的根底上,對直線的斜率進行了推 廣,一般來說,對一個問題進行推廣可以從“特殊到一般、數(shù) 字到字母、具體到抽象等方面考慮,那么,圍繞這個命題, 我們還可以進一步作怎樣的探究？學(xué)生：在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l與拋物線y2 2x相交于A,B兩點, 假設(shè)直線l過點T(t,0),那么OA OB ？(師生一起通過同上解法,得到如下結(jié)論：)結(jié)論：在平面直角坐標(biāo) 系xoy中,直線l與拋物線y2 2x相交于A, B兩點, 假設(shè)直線l過點T(t,0),當(dāng)點的橫坐標(biāo)在x軸正向或負(fù)向且直線斜 率c1 一 一 C 取k2范圍時,OA OB t2 2t,即數(shù)量積只與點的

5、橫坐標(biāo)2t有關(guān)而與直線的斜率無關(guān)4 .引導(dǎo)學(xué)生進一步推廣問題三：至此,我們對直線的斜率、直線過的定點都作了推廣,那么,圍繞這個問題,還能再作進一步的推廣嗎？學(xué)生：在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l與拋物線y2 2px(p 0)相交于A,B點,假設(shè)直線l過點T (t,0),貝UOA OB ？(師生一起通過同上解法,得到如下結(jié)論：)結(jié)論：在平面直角坐標(biāo) 系xoy中,直線l與拋物線y2 2px(p 0)相交于A, B兩點,假設(shè)直線l過點T(t,0),當(dāng)點的橫坐標(biāo)在x軸正向或負(fù)向且直線斜率取k2衛(wèi)范圍時,oA oB t2 2pt,即數(shù)量積2t只與點的橫坐標(biāo)及拋物線焦參數(shù)有關(guān),而與直線的斜率無關(guān)5 .引導(dǎo)

6、學(xué)生逆向思考：問題四：剛剛我們圍繞著問題一中的命題作了縱向考慮,即將特殊情況 進行了推廣,獲得了一般的結(jié)論.同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中,有 時會遇到這樣一類問題,即正面解決比較困難,那么我們可以 從其反面來考慮.因此圍繞這個命題,我們的研究還可以作逆 向的思考,你可以探究一個怎樣的問題？學(xué) 生：設(shè)直線l與拋物線y2 2x相交丁 A,B兩點,假設(shè)OA OB 3,那么直 線l過定點T3,0嗎？老師引導(dǎo)：設(shè)直線過定點t,0,由上述研究過程可以得出如下結(jié)論： 結(jié)論：在平面直角坐標(biāo) 系xoy中直線l與拋物線y2 2x相交于A, B兩點,假設(shè)OA OB 3,那么當(dāng)直線l與拋物線的交點A, B位丁x軸兩側(cè)時,所有

7、直線l過定點3,0,當(dāng)直線l與拋物線的交點 A, B位于x軸同側(cè)21.且直線l的斜率滿足：k 時,直線l過定點1,0 t6 .引導(dǎo)學(xué)生進一步探究:問題五：既然上述結(jié)論不一定成立,那么我們可以作進一步的探究在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l與拋物線y2 2 px p 0相交uuu uuu于A, B兩點,右 OA OB mm為正的常數(shù),那么直線l與x軸的交點坐標(biāo)是什么？是定點嗎？師生一起通過同上解法,得到如下結(jié)論:結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l過點t,0,與拋物線y2 2 pxunn uurp 0相交于A, B兩點,假設(shè)OA OB m也正的常數(shù),當(dāng)直線l與拋物線交點A, B位丁 x軸兩側(cè)時,

8、所有直線過定點p 77,0,當(dāng)直線l與拋物線的交點A,B位于x軸同側(cè),且直線l斜率滿足:k2壹時,直線l過定點p Jp,0三.小結(jié)：這堂課,我們研究了直線與拋物線相交時的定點弦問題.對于一個問 題的探究,我們的方法可以從特殊到一般,即作縱向考慮,也可以作逆向 的思考.探究一個問題,要學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,從而解決問題,這 里掌握方法最重要四.作業(yè)：思考：關(guān)于拋物線的焦點弦問題,我們還可以作哪些方面的探究？五設(shè)計說明：本節(jié)課是一節(jié)探究課,設(shè)計這樣一個問題,主要是為了使學(xué)生感悟并 學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,綜合應(yīng)用知識探究、解決問題的思路和方法.本節(jié)課設(shè)計的這個問題,有三個可以研究的變量,即直線的斜率、直 線經(jīng)過的定點以及拋物線中參變量.教學(xué)設(shè)計分兩局部進行,首先我們通 過上述問題一至問題三,從特殊到一般,不斷引導(dǎo)學(xué)生對問題中的三個變 量作縱向的探究；其次進一步引導(dǎo)學(xué)生對問題作逆向的思考,培養(yǎng)學(xué)生的 逆向思維,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).逆向思維是指由果索因,知本求源,從原問題的相反方向著手的一種 思維