初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)梳理：梯形

1、梯形.知識定位梯形在初中幾何或者競賽中占據(jù)非常大的地位，梯形是平而幾何中最重要的圖形，它的 有關(guān)知識是今后我們學(xué)習(xí)特殊四邊形、多邊形乃至立體幾何的重要基礎(chǔ)。梯形的證明性質(zhì)以 及應(yīng)用，必須熟練掌握。本節(jié)我們通過一些實例的求解，旨在介紹數(shù)學(xué)競賽中梯形相關(guān)問題 的常見題型及其求解方法本講將通過例題來說明這些方法的運(yùn)用。1知識梳理1、與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類特殊的梯形，其判定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類似。通過作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問題的基本思路，常用的輔助線的作法是：1、平移腰：過一頂

2、點(diǎn)作一腰的平行線；2、平移對角線：過一頂點(diǎn)作一條對角線的平行線：3、過底的頂點(diǎn)作另一底的垂線。熟悉以下基本圖形、平移一腰 Lh平移對角線2、中位線概念性質(zhì)（1）三角形中位線定義:基本結(jié)論：平移一腰從一底的兩端作另一底的垂線二A / 延長兩腰交于一點(diǎn)連結(jié)上底一端和腰中點(diǎn)并延長，與下底的延長線交于一點(diǎn)連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半（2）梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線.梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半例題精講【試題來源】【題目】在邊長為6的菱形48CD中，動點(diǎn)M從點(diǎn)4出

3、發(fā)，沿向終點(diǎn)C運(yùn)動，連接 DM交AC于點(diǎn)N.（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)M在A8邊上時，連接8N.求證：/ABN/ADN；若N48c = 60', AM = 4,求點(diǎn)”到A。的距離：（2）如圖，若NA8c = 90',記點(diǎn)M運(yùn)動所經(jīng)過的路程為x （6WxW12）試問：x為何值時, /ADA/為等腰三角形.【答案】如下解析【解析】 解:（1）四邊形ABCD是菱形,，AB=AD, Z1=Z2.又：AN 二 AN, aaabnaadn.作MH_LDA交DA的延長線于點(diǎn)H.由 ADBC, WZMAH=ZABC=60° . 在 RtAAMH 中，MH=AMesin60 =4Xsin60 =

4、2 舊.，點(diǎn)M到AD的距離為2、行.，AH=2.DH=6+2=8,(2) V ZABC=90° ,菱形ABCD是正方形.ZCAD=45°下面分三種情形：(I )若 ND=NA,則NADN:NNAD=45。.此時，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)B重合，得x=6；(II )若 DN=DA,貝IJNDNA=NDAN=45口 .此時，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)C重合，得x=12；(III)若 AN=AD=6,則N1=N2.；ADBC,AZ1=Z4, 又 N2=N3, .Z3=Z4.ACM=CN.，AC=6 2.ACM=CN=AC-AN=6 2-6.故 x=12-CM=12- (62-6) =18-6 2.綜上所述

5、：當(dāng)x=6或12或18-6 2時，AADN是等腰三角形【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】如圖所示.在直角三角形ABC中，E是斜邊AB上的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，DFEC交BC延長線于F.求證：四邊形EBFD是等腰梯形.【答案】如下解析【解析】 解：E, D是aABC的邊AB, AC的中點(diǎn),，EDBF.VDF/7EC,.ECFD是平行四邊形，EC=DF.,E是RtAABC斜邊AB上的中點(diǎn), ，EC=EB.EB=DF.假設(shè)EBDF,ECDF,，ECEB,.這與EC與EB交于E矛盾，,.EB不平行于DF.AEBFD是等腰梯形.【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)【難度系

6、數(shù)】3【試題來源】【題目】如圖所示.ABCD是梯形，ADBC, AD<BC, AB=AC且ABAC, BD=BC, AC. BD交于0.求NBCD的度數(shù).【答案】75°【解析】解:過D作DE_LEC于E,則DE的長度即為等腰RtAABC斜邊上的高AF.設(shè) AB=a»由于4ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF+BF 三 AB：即2Af2 = a2 1Ap=e；F), A72 =乙1所以 Z）52=-.乙BC：=AB：+AC=2AB：=2a由于BODB,所以，在RtZBED中,a2DE2 DE2 y 1奇=赤二目一"從而NEBD=30° （直角三

7、角形中30。角的對邊等于斜邊一半定理的逆定理）.在ZkCBD中,NBCD =: (180° -NEBD)=75° .【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】如圖所示.直角梯形ABCD中，ADBC, ZA=90° , ZADC=135° , CD的垂直平分線交BC于N,交AB延長線于F,垂足為M.求證：AD=BF.【答案】如下解析【解析】解：連接DN,VN是線段DC的垂直平分線MF上的一點(diǎn)，AND=NC.已知 ADBC 及NADC=135° ,.,.ZC=45° , .NNDC=45° （等腰三角形

8、性質(zhì)）.在ANDC中，ZDNC=90° （三角形內(nèi)角和定理），,.ABND是矩形，.,.AFND, ZF=ZDNM=45° .,.BNF是一個含有銳角45°的直角三角形，.,.BN=BF,已證得 AD=BN,.AD=BF.【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】如圖所示.直角梯形ABCD中，ZC=90° , ADBC, AD+BC=AB, E是CD的中點(diǎn).若AD=2, BC=8,求4ABE的而積.【答案】20【解析】 解：取AB中點(diǎn)F,連接EF.由梯形中位線性質(zhì)知EFAD.過A作AG_LBC于G,交EF于H.由平行線等分線段

9、定理知，AH=GH且AH, GH均垂直于EF.在RtABG中，由勾股定理知：AG2=AB2-BG2=(AD+BC) 2- (BC-AD) 2=102-62=82,，AG=8,從而 AH=GH=4,A SAABE=SAAEF+SABEF二 EF-AH+ EF-GH二 EF（AH+GH）二 EF-AG=1/2X5X8=20.【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】如圖所示等腰梯形ABCD中，AB/7CD, AD=CB,對角線AC與BD交于O, ZACD=60“，點(diǎn)S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點(diǎn).求證：PQS是等邊三角形.【答案】如下解析【解析】證明：連CS,AB

10、CD是等腰梯形，且AC與BD相交于0,，A0=B0, C0=D0.VZACD=60° ,/.OCD與AOAB均為等邊三角形.S是0D的中點(diǎn)，ACSXDO.在RtZBSC中，Q為BC中點(diǎn)，SQ是斜邊BC的中線,/. SQ= BC.同理 BPJ_AC.在 RtZBPC 中，PQ= BC.又SP是OAD的中位線，/. SP= AD= BC.SP=PQ=SQ.故SPQ為等邊三角形.【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】如圖，在直角梯形OABD中，DBOA.ZOAB=90%點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的1AB=2, BM： MO=1： 2.正半軸上，對角線OB,

11、AD相交于點(diǎn)M.0A=2,(1)求OB和OM的值;（2）求直線OD所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（3）已知點(diǎn)P在線段OB上（P不與點(diǎn)O, B重合），經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)P的直線交梯形OABD 的邊于點(diǎn)E （E異于點(diǎn)A）,設(shè)OP=t,梯形OABD被夾在NOAE內(nèi)的部分的而積為S,求S 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.【答案】如下解析【解析】 解：（1） V ZOAB=90% OA=2, AB=2/1，（2）由（1）得：OM=與，33，DB=1, D （1, 2小，,.過OD的直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=2V3x依題意：當(dāng)o<t二時，E在OD邊上，3分別過E, P作EFLOA, PN_LOA,垂足分別為F和N,ON，PN

12、=1, 22.直線OD所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=2日, 設(shè) E （n, 2V3n）易證得APNs/aEF, PN_AN.而前2V3n 2-n 整理得：, t _rt2n 2 - n/ 8n - 2nt=2t - nt>/ 8n - nt=2t> n (8 - t) =2t,* n 2t* . n=.8-t由此，SAOAE=|oA«EF-ix2x2V3x1,AS=W3t(0<述)，8-t當(dāng)'<tV4時，點(diǎn)E在BD邊上， 3此時，S格形OABD=S.&ABE+S梯形OAED，VDB/OA.易證：EPBs/APO,.BE BP* *0A OP,.be_

13、4- t 1 »2 tbJ(4 2 , tS,.abeBEAB12 I"。存 2、G(&F.哂、22 ttttAS-i (1+2) x2>/3 - 11x275=36 - AZ1x2仁- 2ttt綜上所述：s=誓 0<Y8- t3T+嗚<t<4l工J(3)解法 2：NAOB=90。，OA=2, AB=2“易求得：ZABO=30°, AOB=4.解法2：分別過E, P作EF_LOA, PN1OA,垂足分別為F和N, 由得，ZOBA=30%VOP=t,，ONt, PN=t,即：P (工, 2),又(2, 0),設(shè)經(jīng)過A, P的直線所對應(yīng)

14、的函數(shù)關(guān)系式是丫=1<'+悅暴+b二岑t乙乙2k+b=0解得：1<=一業(yè)-,1)3上 4- t 4-t經(jīng)過A, P的直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y= - 十等:依題意：當(dāng)0<t建時，在0D邊上, 3，E （儲2瓜）,在直線AP上，.-正1 /返公叵，4-tr 4-t整理得:也-2=2n,. n 2t n=,8-t8-13當(dāng)&<t<4時，點(diǎn)E在BD上，此時，點(diǎn)E坐標(biāo)是（n, 2，m），因為E在直線AP上, 3整理得：ln t 21 =2A8n - nt=2t, t - 4 t - 4-_4t 一匕2 ("t)ok-2 n2，tt'S(1

15、+2) 乂2詹-仁-5畬, 2ttt【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】5 【試題來源】【題目】如圖所示.4ABC外一條直線I, D, E, F分別是三邊的中點(diǎn)，AAi，F(xiàn)Fi，DDi，EEi都 垂直 I 于 Ai，F(xiàn)i，Di，Ei.求證:AAi+EEi=FFi+DDi.【答案】如下解析【解析】 證明：連接EF, EA, ED, AE與DF相交于0,過 0作 OOJAiEi 于 Qi，VD, E, F分別是三邊的中點(diǎn), ，EFAD, DEAF,.四邊形ADEF是平行四邊形，OD=OF, 0A=0E,VAAu FFi, DDi, EEi 都垂直 1 于 A, Fi, Di, Ei. ，AAiFFiD

16、DiEEiOOi，A00i是梯形AAiEiE及FFiDiD的公共中位線，A-l (AAi+EEi)(FFi+DDi) =OOi, 22即 AAi+EEi=FFi+DD!.【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】在梯形 ABCD 中,ADBC, AB=DC, AC 與 BD 相交于點(diǎn) 0, ZBOC=120% AD=7, BD=10,則四邊形ABCD的面積為.【答案】25 3【解析】 解：過點(diǎn)D作DEAC交BC的延長線于點(diǎn)E, DF_LBC于FVDE/AC, ADBC/.四邊形ACED為平行四邊形，ADE=AC=BD.三角形BDE是等腰三角形VZBOC=120

17、76;AZBDE=120°r. ZOBC=ZOCB=30°，DFBD=5, BF=BD=5V3，BE=2BF=l(h/3. 22在aABD IIaCDE 中，ZADB=ZE，BD=DEAAABDACDE (SAS)根據(jù)梯形的面積等于三角形BDE的面積，即3x10x5=25.【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】 【題目】如圖，在梯形ABCD中，ADBC, ZB=30°, ZC=60% E、M、F、N分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，已知BC=7, MN=3,則EF的長為（）【答案】4【解析】 解：作NGAB交BC于G, NHCD交BC于H,

18、VAD/BC.，ABGN, CDNM是平行四邊形,BG=AN, CH=ND,M, N分別是BC, AD的中點(diǎn),BG=CH,，GM=HM,V ZB=30°, ZC=60°,，NHGN=30。，NNHG=60。，ZGNH=90%AMN=1gH=1 (BC-AD), 22，AD=1,/. EF=i (BC+AD) =4.2【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題【難度系數(shù)】3;習(xí)題演練【試題來源】【題目】如圖所示，四邊形ABED與四邊形AFCD都是平行四邊形,AF和DE相交成直角，AG=3cm,DG=4cm,二ABED的面枳是36cm2,則四邊形ABCD的周長為（【答案】46【解析】

19、 解：四邊形ABED與四邊形AFCD都是平行四邊形，*BED的而積是36cm2,A°AFCD的面積是36cnrVAG=3, DG=4,AG是平行四邊形ABED的高，DG是平行四邊形AFCD的高，DE=AB=12, CD=AF=9,又AGD是直角三角形，AAD=BE=CF=5如圖，延長CD與BA延長線交于H,可得 CH=CD+DH=CD+AG=12, BH=ED+DG=16,V NEDC=NEGF=NBAF=90。，NHAG=NAGD=NHDG=90。，.四邊形AGDH是矩形，即aBHC是直角三角形，則 BC=20,A ABCD 周長為 AB+BC+CD+DA= 12+20+9+5=4

20、6.【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，CDAB,對角線AC、BD相交于O, ZAOD=120%點(diǎn)S、 P、Q分別為OD、OA、BC的中點(diǎn).（1）判斷4SPQ的形狀并證明你的結(jié)論:1(2)若 AB=5, CD=3,求aPQS 的面積:(3)1野J,求空的值.AAOD & 研【答案】如下解析【解析】 解：(1)連接SC、PB,四邊形ABCD為等腰梯形，AAD=BC, NADC=NBCD,又 DC=CD, AAADCABCD, AZODC=ZOCD,.-.OD=OC,即ODC是等腰三角形， WZAOD=120°,則

21、NDOC=60。， 二.ODC是等邊三角形，S為OD的中點(diǎn)，ACS1DO,同理 BPLAP,又Q為BC的中點(diǎn)，即SQ為RtABSC斜邊上的中線, ，PSAD, SQjBC, PQ=AbC,222故可得aSPQ是等邊三角形； (2)作DE_LAB,垂足為E,VAB=5, CD=3, c: - 3AAE=-=L BE=5-1=4, 2.-.DE=BE*tan60°=4V3>在RtAADE中，ADR血2 + de匚7, Sapqs=:16(3)設(shè) CD=a, AB=b (a<b),BC2=SC2+BS2=(乎a) + (b+-|) 2=a2+b2+ab,ASaspq=1 (a2

22、+ab+b2), 16又.*野,SAAOD=SABOC=isxOB=Ax2/axb=ab,aaod *22 248x2/1 (a2+ab+b2) =7x2/Iab, 164即 2a2 - 5ab+2b2=O,A (a-2b) (2a-b) =0,Aa=2b (不合題意舍去)或2a=b,化筒得衛(wèi)上， b 2故里工AB 2Dy基三【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC, AB=CD,點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)，PE1AB, PF _LCD,問PE+PF的值是否為一定值？若為一定值，求出這個定值；若不為定值，求出這個值的 取值范圍.【答

23、案】能【解析】解：能.證明：過點(diǎn)B作BG_LCD,垂足為G,過點(diǎn)P作PH_LBG,垂足為H, VBG±CD> PF±CD, PH_LBG,/. NPHG=NHGC=NPFG=90。，四邊形PHGF是矩形，APF=HG, PHCD,，NBPH=NC,在等腰梯形ABCD中，NPBE=NC,，NPBE=NBPH,VZPEB=ZBHP=90% BP=PB, NPBE=NBPH,AAPBEABPH (AAS)APE=BH, ，PE+PF=BH+HG=BG.故PE+PF的值是為一定值.【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】如圖，梯形ABCD中，AB=CD, B

24、C=3AD, E為腰AB上一點(diǎn).(1)若 CEJ_AB, BE=3AE, AB=CD,求/B：(2)設(shè)BCE和四邊形AECD的面積分別為Si，S2，若2si=3S2,求典.AE【答案】如下解析【解析】 解：(1)設(shè)AE=x, BE=3x,作DFAB,交BC于F,交CE于G, 則 BF=AD, DF=AB=4x,CF=BC - BF=2AD,FG： BE=CF： BC=2： 3,所以，F(xiàn)G=2x, DG=DF-FG=4x-2x=2x,G為DF邊的中點(diǎn)，又 CELAB, DFAB,所以，CG±DF,G為DF邊的垂足，所以，CD=CF,又 CD=AB=DF,所以，三角形DFC為等邊三角形，所以 NDFC=60。，所以 NB=NDFC=60°；(2)如圖，把梯形ABCD補(bǔ)成平行四邊形ABCF,連接AC, 設(shè) Sabce=3s, S 四邊形 aecd=2s，則 DF=2AD, 又設(shè) Saacd=x» 則 Saace=2s - x, Sacdf=2x, 由 Saabc=Saacf> 得 3s+2s - x=x+2x,則 x=s, 4/Saace=2S - St4q 3、ACE=-»BE.sabce【知識點(diǎn)】梯形【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【