高數(shù)競賽試題集

1、高等數(shù)學(xué)競賽一、填空題若 lim sinx (cosx -b) =5，則 a = ieX -a設(shè) f(X)= lim (n 2 x ,貝U f (x)的間斷點為 X = .nx +1曲線y=lnx上與直線X+y=1垂直的切線方程為 .已知 f (eX) =xe，且 f(1)= 0,貝u f (X) = .lx =t3+3t +1設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方程彳 3確定，則曲線y = y(x)向上凸的x取值y =t -3t +11.2.3.4.5.范圍為6.j 2x 設(shè) y =arctaneX -lnVe2x，則型+1 dx xA17.若 XT 0時，(1 -ax2)4 -1xex2設(shè)f(X)才-1與

2、xsinx是等價無窮小，則a=10,則存在6 0，使得 【(A) f(x)在(0,6)內(nèi)單調(diào)增加.(C)對任意的 X 忘(0, 5)有 f(x)f(0).13 .設(shè) f(X)=|x(1-X)|，則 【】=0是f (X)的極值點，但(0, 0)不是曲線y = f (X)的拐點.=0不是f (X)的極值點，但(0, 0)是曲線y = f(x)的拐點.=0是f (X)的極值點，且(0, 0)是曲=0不是f (X)的極值點，(0, 0)也不f(0).(A )(B)(C)(D )線y =是曲線f (x)的拐點. y = f (x)的拐點.14 . limIn n (1 + -)2(1 +2)2 川(1

3、+衛(wèi))2 等于V n nn血X2n2(B) Zjxdx.(c)2J In(1+x)dx.2 2(D)J In2(1 + x)dx15 .函數(shù)f(X)= 1 x|sin(xL在下列哪個區(qū) x(x-1)(x-2)2(A) ( T , 0).(B) (0 , 1).間內(nèi)有界.【(C) (1 , 2).(D) (2,3).r 1丨 f () X 16 .設(shè)f (X)在(乂 , +君內(nèi)有定義，且lim f(x)=a， g(x) = 乂八，則X*0 ,x=0(A) X = 0必是g(x)的第一類間斷點.(B) X = 0必是g(x)的第二類間斷點.(C) X = 0必是g(x)的連續(xù)點.(D) g(x)在

4、點x = 0處的連續(xù)性與a的取值17 .設(shè)f (X)在a , b上連續(xù)，且f (a) 0, f(b) *0，則下列結(jié)論 中錯誤的是【X0 (a, b)，X)亡(a,b)，X0 丘(a,b)，X0 亡(a,b)，(A)(B)(C)(D)18 .設(shè)(A)(B)(C)(D)至少存在一點至少存在一點至少存在一點至少存在一點使得使得使得使得f (Xo) f (a). f (X0) f (b).f(X0)=O. f (X0)=0.,1, X 0 f(x) =40,x =0，F(xiàn)(x)-1, x 0)及 y = 0圍成一曲 邊梯形.該曲邊梯形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為V(t),側(cè)面積為S(t),在X

5、= t處的底面積為F(t).( I )求的值;(V(t)24 .設(shè) f (X) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足 J f (t)dt J g(t)dt，x 引a , b)，/aaan ) lim 型.t-就 F(t)bbf(t)dt= rg(t)dt.a證明：bxf(x)dx g (0=) 0, 4 g) = ab)且 fX 另，0 g”(x)c0 ,I1 =f（X）dx，I25、1= Jog(x)dx，I3I1 l2圖形0axb, 0y I3 二 I1 ( C)V =2兀 J xf( X dx( B) V =2花 J f ( x) dXC)VP(1,3,4)關(guān)于平面 3x + y2z

6、=0的對稱點是_( A) (5, 1,0) 設(shè)D為 X2 + y20)，已知送的面積為 S，則943z23 gS。dxdydz =曲面積分-be級數(shù)zn zt三元函數(shù)u=z-exy在點（1,1,1）處沿該點的向徑方向的方向?qū)?數(shù)為1X9*、10、x2時的收斂區(qū)間為3n10*、設(shè) f （丄）=，且 f（x）可微，_則 f（x）=。X 1 +x11、設(shè) y = J0 Jsin t dt (0 x 兀)，則曲線 y = y(x)的長度為 。X11*、若 Jf(x)dx=xe +C，貝U f(X)=。4川4斗斗片彳 -4 H 4 H 412、設(shè)a,b,c都是單位向量，且滿足a +b + C = 0，_

7、則a ”b + b + c 三12*、函數(shù)y的拐點為。3三、按要求做下列各題。1、求極限Ji mx2 & x+ 2 血X + 歹X。)、已知函數(shù)y=f(x)對一切x滿足 xf(x-) 3k f X ) 且在點Xo hO處取得極值，問f (x0)是極大值還是極小值，并證明你的結(jié)論。四、1+1 n X計算下面積分。1、 rdx 2、-x +xK五、六、七、2 2 8f (x, y)為 D : X +y 0 上的連續(xù)函數(shù)， f(x,y)=d1x - yff f (u, v)dudv，求 f (x, y)兀D周長為2l的等腰三角形繞其底邊旋轉(zhuǎn)，問此等腰三角形的腰和底邊之長各為多少時，才可使旋轉(zhuǎn)體的體積

8、為最大？a + bf (a) f ()c0。證明：在(a,b)內(nèi)存在 ，使得 f()=f()。2f(x)a,b連續(xù)(a,b)可導(dǎo)，f(a).f(b)A 0八、設(shè)函數(shù)y =y(x)由方程組4 2t 一 y + asin-be 丄21、已知f e0y=2dy d y(Oca0)的上側(cè)。5169展開成x的冪級數(shù),2、如下圖，曲線C切線，其交點為(2,提示：先補充兩個曲面 V ：=( x, y, Z)| Z = 0, X2 + y2 a2,_d +_IL 1，取下側(cè)；169=( X, y, z) I z = Ja2 -x2 -y2，取下側(cè)，其中常數(shù)a充分小，使上 半球面1：2與積分曲面互不相交。九*、

9、1、已知F(x)是f (x)的一個原函數(shù)，而F(x)是微分方程xy+y= e滿足初始 條件lim y(x1的解，試將f (x)-be n并求s的和。心(n+1)!的方程為y = f (X)，點(3, 2)是它的一個拐點，直線11與12分別是曲線C在點(0, 0)與 (3,2)處的 32定積分 L (x + X ) f ”(X )dK高等數(shù)學(xué)競賽一、填空題lim F +n +1設(shè)函數(shù)y = y(x)由方程y =1 一xey確定，則 一q+y2=a2繞x =(ba0)旋轉(zhuǎn)所 成的旋轉(zhuǎn)體的體積為1.3.5.7.9.10.12 n忌+川川荷廣義積分妊爲(wèi)(1+X2)2Z =z(x, y)由 z=e2x亞

10、+2y確定，則 3+ 空 dx 內(nèi) 設(shè) r = Jx2 +y2 +Z2，貝U div(gradr)。6. X21,_2 , 2。2.lim fX- 一7 (xxtanx丿O 4.0 J2x x2dx =。& z = x2 +y2與2x + 4y -z=0平行的 切平面的方程是01 _y交換二次積分次序的積分次序dy f(x,y)dx =1 X y si nz11.dx/yjoud12. 設(shè)L為正向 圓周X2 +y2 =2在第一象 限中的部分，則曲線積分 xdy -2ydx的值 為 二、單項選擇題13. 設(shè)函數(shù)f(X)=(A)充分必要條件.14 .設(shè)f (x)在0，1上連續(xù)，(A) F(1)-F

11、(0)._p(X)，其中欽X)在X=1處連續(xù)，則護(1)=0是f(x)在X=1處可導(dǎo)的【 】充分但非必要條件.(D)既非充分也非必要條件.】(B )必要但非充分條件.(C)1F(x)= f(x), aH 0, f (ax)dx【(B) F(a)-F(0).( C)F(a)-F(0).(D) aF(a)-F(0).15.下列等式中正確的是【-JX(C) 一 f f (x -t)dt = f (x -t). dx 0】(A) Jf(2x)dx = f (2x)+C.1(D) d xf (xt)dt = f (x).(B) Jdf(2x) = f(2x)+C.16 . nimH(1+1)2(1+2)

12、2(-)2n等于(A)2 2 2f ln2xdx (B) 2f ln xdx.1M22 *1 n(1+x)dx.( D)1In 2(1 + x)dx.】(A) J02dxJ f (X, y)dy.習(xí)*1t2(D) J02dyJ0 f(x, y)dx.且申y(x,y)H 0已知(x0, y0)是f (X, y)在約束條件W(x,y)= 0下的一個極值 )若 fx(x0, y。)=0，則 fy(x0, y。)=0.(B)若 fX(x0, y。)=0，則 f；%, y。)#。.(C)若 fx(x0, y。)HO，則 fy(X0, y。)=0. (d)若 fx。，y。)hO，則 f；(X0,y0)HO

13、.f (x, y)為連續(xù)函數(shù)，貝u Jo4d0 JoJ02dxJ0f(x, y)dy. (C)f (x, y)與(x, y)均為可微函數(shù)， 點，下列選項正確的是【】(A17.設(shè)(B)18.設(shè)f(rcos9,rsin6)rdr 等于 【J/ dyj：kf(x, y)dx.2 219. 設(shè)I為橢圓X +y =1，其周長記為a ,4320. 級數(shù)藝an收斂，級數(shù)【】(A)2 ann #則 1 (2xy+3x2+4y2)ds =【】(A) 4a . ( B ) 8a . ( C)12a(D)16a.n壬三、解答題0）,（I）討論L的凹凸性；（n）過點（）引L的切線，求切點（Xo, yo）,L （對應(yīng)于

14、X x的部分）及X軸所圍成的平面圖形的面積。高等數(shù)學(xué)競賽一、填空題ax+b1、設(shè)函數(shù)f（X）估-藥西4,則常數(shù)a, b用數(shù)組（a, b）表示為（1極限limcos7x）x的值是（2、3、4、(5、6、7、X H 1，在X=1處連續(xù),X=1設(shè)y=f（x）有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且點（Xo, f（xo）是曲線y = f（x）上的 拐點則鵲畑+：:學(xué)+侮亠）f（X）=（2 -X）4的三階麥克勞林展開式的余項 R3（x）=（）式中0 0 1）X dt 設(shè)F（x）珥育+,兀 xsin X , f dx =0 1 +cos2 XX -y -z = 0設(shè)曲線 222 在點（1,1,0）處的法平面為S,則點（0,2,

15、2）到S的距離是（）/ -y -Z =0設(shè) f（x,y） =arcsinJ#，則 fx（2,1）=（）1 dt市，則F(x)=(二、選擇題9、極限lim lnxT的值為（）I x-eA. 1 B. e C. e D. 010、設(shè)a,b適合,3a2 5b,則方程，x5 +2ax3 +3bx+4c =0, 則必有（）B.有唯一實根D.有5個不同的實根A.無實根C.有三個不同的實根11、半徑為R的半球形水池正裝滿水。將水全部吸完，需作功WA.g;i(R2-y2)dyB.R 20 gjiy dyC.R 2 2g 兀y(R -y )dyD.g 兀y3dy12、dx=1,13、14、15、A.A. 1B.

16、 2C.D.A.y2 =5yx設(shè) z ；= yA.-yyx -1y ycz在點（1,2,）處的切線方程為z +3B.B.x-1z+3C.x-3-1-8D.-1-2y2若 JJ f (X, y)d =x2 +y2 0c.ax , a c 0D.+ y2 016刀為z=2 - （x2+y2）在xoy上方部分，JJds=(rf3d兀2ro2+ 4r rdrB.(兀d0 f+4r2rdrC.2兀 .2廠dQ J (2-r2 “1 +4r2rdrD.17、右(3j: +4y)2 十(2+3y)2A. ab =03 +壬G,必護G）是某二元函數(shù)的全微分,則a,b的關(guān)系是（）18、設(shè)曲線C是由極坐標(biāo)方程r=

17、r( 0 )(Q1A. f(rcos9,rsin & r2 + 嚴(yán)d日C. J f (r cos日,r sin9 )d919、比J d _ a n!a為任意正的實數(shù)，若級數(shù)Zn rnB. a +b = 0 C. a -b =10 1 0 eB. aC.a n1一 V a V e2有（D. 0下列級數(shù)中發(fā)散的級數(shù)是（_1 n繪 1 J ；（ B）Zn z23C(A) Z Lniv n +1(D )(1)n=2 J n + (T y解答題求極限1、lim亡匕拿xT tan X sin xIJ2 -2cos Xf(x)xxae3、求dx 2sin X cosx +55.設(shè)f(x,y)=廠 si nt

18、2X -y*0a為何值時，f （x）在x = 0處連續(xù)。X04、設(shè) f (x)在 a b 上連續(xù)，且 F(x) = J (x-t)f(t)dt x【b，試求 F （X）。dt，求 f伴五:I 44 )。6 .計算二次積分(a0)*7計算二重積分 JJ 21 -dxdy 其中 D: X2 +y2 4, X2 +y2 4x。 D Jx2 +y21X2 Jv28.計算極限刊 ln (x+2y+3)db 其中 d : 0xt, 0yt。二、證明題H o試證：F(t) = L ln(t2 +2tcosx +1)dx為偶函數(shù)。3兀兀3兀證明恒等式X2 arctan(secx + tan 乞-在一-時成立。

19、設(shè)f (X)對一切X, y滿足f (x + y) =ey f (x)+ef (y )且f (x)在x = 0處連續(xù)，求證: b-t2 r b 2a f (x)g(x)dx 丨 | f (X a1.2.3.4.設(shè)f ( x), g ( x)均在a, b:上連續(xù)，證明柯西不等式af(x)在任意X處連續(xù)。)dxf g2(x)dx14 .21+2X3g(x j 0)及y = 0圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體,2其體積為V(t),側(cè)面積為S(t),在x = t處的底面積為F(t).( I )求的值;(n )計算極限limV(t)t-探 F(t)高等數(shù)學(xué)競賽一、填空1.設(shè) f (X )

20、= tan X, f g x = X 2 求 lim rctan (n! ”：( Jn +1 t/T ) -I -,_21石2 Z設(shè)z=f(xy )+yW(x + y), f,W具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則=Xcxcy15 .函數(shù) f(X, y, z)= coS xyZ在點i,1處函數(shù)值 增加最快 的方向為13 3丿5nn!17 .求 lim ry(2 n)n16 .求 limi2sin =52n4 i4 u 2nd fe -1 18 .dx20.設(shè)L為橢圓 =1，其周長為C，43、幕級數(shù)表達式為丿X2y219 求三重積分 jjj exdV =X2刊2棺2蘭 2 2則(2xy + 3x +4y )ds

21、 =二.培訓(xùn)的及要求培訓(xùn)目的19 *.設(shè)f gy )是有界閉區(qū)域：D = (x, yjX + y a上的連續(xù)函數(shù),1則四荷 DJf(X,y)dXdy =1X220匸 把dx L f(X2 +y )dy在極坐標(biāo)系中進行轉(zhuǎn)化：1x220dx.0 f(x2 +y2 )dy =二、解答題Vn(n + 1 1 川(2 n1)1求極限lim 丄.2、求極限Fn3、求曲線X(cost+tsint),上任一點的法線 y =a(si nt t cost).x + xF e lim LJT 1 - cosx到原點的距離4、設(shè)f(U,V )具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，c2f且滿足2 r 厶CU云2 f=1，又 g(x, y

22、 戶CV*,扣2-y2,小2求亠g-.2_ 2-excy1 1 2 ；f (x)dx.5、設(shè)函數(shù) f(x)連續(xù)，且 J0tf (2 Xt) dt=- arctan( x ,) f(1) =1。求(6、計算二重積分 JJeMQxdy ，其中 D =(x,冏0 x1,0 y 0 U連續(xù)，證明：廣-.af (x)dx = .0 f (x)+f (-x)dx，并計算竝4設(shè)f (X )在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f(1)=丄(xM f X dk0,證明至少存在一點k-(0,1 )，使得卩戶口一巴點).3.比(1n +1、證明級數(shù)S 1丄一1n 1 f收斂，并求極限心5n丿、綜合題1 11

23、+ ：+川丄 lim 2 - Y In n)dy， C %從點I = J-2x6 sin y )dx +(cosy +x4C(1,0)到點(一1,0)的半圓 y = “1 -X2 ( 1 x 0 )上某點A處作一切線，使之與曲線以及切點A的坐標(biāo)； 過切點 A的切線方程；由上述所圍平面圖形繞2.計算I = JJ zdxdy+ ydzdX xdyd其中工為圓柱面x2 + y2 IN2229222 .在球面X +y +z =-與橢球面3x +(y 1)41x軸所圍成圖形的面積為，試求:12x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.=1被z = 0, z = 3截的部分外側(cè).217+ z = 交線上對應(yīng)于x=1點處的切線方程和法線方程.4oC3 .求常數(shù)項級數(shù) 2 =的和.心 n!+(n+1 l+(n +2Jn +2c3審求常數(shù)項級數(shù)無(_1)2斗的和.其中專業(yè)理論知識內(nèi)容包括：保安nz2理論知識、消防業(yè)務(wù)知識、職業(yè)道德、法律常識、保安禮儀、救護知識。作技能訓(xùn)